2019年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科)含答案解析.pdf
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1、2019 年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题 1已知复数 z 满足( 1+i)z=1+3i(i 是虚数单位),则z 的共轭复数为() A1i B1+i C2i D2+i 2已知集合 A=x| x1| 2 ,B= x| x=2n1,nZ,则 AB=() A1,3 B 0,2C 1 D 1,1,3 3已知向量=(1,2), =(2,m), =(7,1),若 ,则 ? =() A8 B10 C15 D18 4已知两条直线 m,n 和两个不同平面 , ,满足 , =l ,m ,n , 则() Amn Bmn Cml Dnl 5“a+b=1” 是“ 直线 x+y+1=0 与圆(xa) 2
2、+(yb)2=2 相切” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 6已知一个样本为x,1,y,5,若该样本的平均数为2,则它的方差的最小值 为() A5 B4 C3 D2 7执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出 S=() A B C D 8某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A16 B16 C8 D8 9过双曲线=1(a0,b0)的左焦点 F,作圆 x 2 +y 2= 的一条切线, 切点为 E,延长 FE 与双曲线的右支交于点P,若 E 是线段 FP的中点,则该双曲 线的离心率为() ABCD 10已知数列 an为等差数列,且a1
3、1,a25,a58,设数列 an 的前 n 项和 为 Sn,S15的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=( ) A500 B600 C700 D800 二、填空题 11 已知函数f(x) 是定义域为R的奇函数,当x0,1 时,f(x)=log2(x+1), 则 f(1)= 12在区间 1,1 上任取一个数 a,则曲线 y=x 3 x2在点 x=a 处的切线的 倾斜角为锐角的概率为 13若( x) n 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等,则直线y=nx 与曲线 y=x 2 围成的封闭图形的面积为 14已知函数f(x)=2sin(x +)(xR,0,)的部分图象如 图所示,若将函数f(x
4、)的图象向右平移个单位得到函数 g(x)的图象,则 函数g(x)的解析式是 15对于函数 f(x),方程 f(x)=x 的解称为 f(x)的不动点, 方程 f f(x) =x 的解称为 f(x)的稳定点 设函数 f(x)的不动点的集合为M,稳定点的集合为 N,则 M? N; 函数 f(x)的稳定点可能有无数个; 当 f(x)在定义域上单调递增时,若x0是 f(x)的稳定点,则 x0是 f(x)的 不动点; 上述三个命题中,所有真命题的序号是 三、解答题 16( 12 分)在锐角ABC 中,角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acosB +bcosA=2ccosC ()求角 C; ()若
5、 c=2,求ABC 周长的取值范围 17(12 分)在四棱锥 PABCD 中,E 为棱 AD 的中点, PE平面 ABCD, ADBC,ADC=90 ,ED=BC=2,EB=3,F 为棱 PC 的中点 ()求证: PA平面 BEF; ()若二面角 FBEC 为 60 ,求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正切值 18 (12分)设Sn,Tn分别是数列 an 和bn 的前n项和,已知对于任意nN*, 都有 3an=2Sn+3,数列 bn 是等差数列,且T5=25,b10=19 ()求数列 an 和bn的通项公式; ()设 cn= ,数列 cn的前 n 项和为 Rn,求使 Rn2019 成立的
6、 n 的取 值范围 19(12 分)以 “ 赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美” 为宗旨的中国诗词 大会,是央视科教频道推出的一档大型演播室文化益智节目,每季赛事共分为 10 场,每场分个人追逐赛与擂主争霸赛两部分,其中擂主争霸赛在本场个人追 逐赛的优胜者与上一场擂主之间进行,一共备有 9 道抢答题,选手抢到并答对获 得 1 分,答错对方得 1 分,当有一个选手累计得分达到5 分时比赛结束, 该选手 就是本场的擂主,在某场比赛中,甲、乙两人进行擂主争霸赛,设每个题目甲答 对的概率都为,乙答对的概率为,每道题目都有人抢答,且每人抢到答题 权的概率均为,各题答题情况互不影响 ()求抢答一道题目,甲
7、得1 分的概率; ()现在前 5 题已经抢答完毕,甲得2 分,乙得 3 分,在接下来的比赛中,设 甲的得分为 ,求 的分布列及数学期望E 20(13 分)已知椭圆 C: +=1(ab0)的离心率为,一个顶点在 抛物线 x2=4y 的准线上 ()求椭圆 C 的方程; ()设 O 为坐标原点, M,N 为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON 的 斜率分别为 k1和k2,是否存在常数P,当k1k2=P时MON 的面积为定值; 若存 在,求出 P 的值,若不存在,说明理由 21(14 分)已知函数 f(x)=(x 2+a)ex(a 是常数, e=2.71828是自然对数 的底数),曲线 y=f(x)
8、与 x 轴相切 ()求实数 a的值; ()设方程 f(x)=x 2+x 的所有根之和为 S,且 S(n,n+1),求整数 n 的 值; ()若关于 x 的不等式 mf(x)+2x+22e x 在(, 0)内恒成立,求实数 m 的取值范围 2019 年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题 1已知复数 z 满足( 1+i)z=1+3i(i 是虚数单位),则z 的共轭复数为() A1i B1+i C2i D2+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解:( 1+i)z=1+3i(i 是虚数单位), (1i)
9、(1+i)z=(1i)(1+3i),化为 2z=4+2i,z=2+i 则 z 的共轭复数为 2i 故选: C 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义, 考查了推理能力与计算 能力,属于基础题 2已知集合 A=x| x1| 2 ,B= x| x=2n1,nZ,则 AB=() A1,3 B 0,2C 1 D 1,1,3 【考点】 交集及其运算 【分析】 由绝对值不等式的解法求出A,由条件和交集的运算求出AB 【解答】 解:由题意知, A= x| x1| 2 =x| 1x3= 1,3 , 又 B=x| x=2n1,nZ 是奇数集, 则 AB=1,1,3 , 故选 D 【点评】 本题考查交集
10、及其运算,以及绝对值不等式的解法,属于基础题 3已知向量=(1,2), =(2,m), =(7,1),若 ,则 ? =() A8 B10 C15 D18 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量的坐标运算性质、向量公式定理即可得出 【解答】 解:向量=(1,2), =(2,m), , m22=0, 解得 m=4, =(2,4), =(7,1), ? =2741=10, 故选: B 【点评】本题考查了向量的坐标运算性质、向量公式定理, 考查了推理能力与计 算能力,属于基础题 4已知两条直线 m,n 和两个不同平面 , ,满足 , =l ,m ,n , 则() Amn Bmn Cml D
11、nl 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系; 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】利用直线与平面平行于垂直的关系,平面与平面垂直的关系判断选项即 可 【解答】解:两条直线 m,n 和两个不同平面 , ,满足 , =l ,m , n ,则 m,n 的位置关系是,平行,相交或异面,直线n 与 l 的位置关系是垂 直,如图: 故选: D 【点评】本题考查空间直线与平面, 平面与平面的位置关系的判断与应用,考查 空间想象能力 5“a+b=1” 是“ 直线 x+y+1=0 与圆(xa)2+(yb) 2=2 相切” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【
12、考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由直线 x+y+1=0 与圆( xa) 2+(yb)2=2 相切可得,从而可得 a,b 之间的关系,即可作出判断 【解答】 解:直线 x+y+1=0 与圆( xa) 2+(yb)2=2相切 =, | a+b+1| =2, a+b=1 或 a+b=3, “a+b=1” 是“ 直线 x+y+1=0 与圆(xa)2+ (yb)2=2相切” 的充分不必要条件, 故选: A 【点评】本题以充分与必要条件的判断为载体,主要考查了直线与圆相切的性质 的应用 6已知一个样本为x,1,y,5,若该样本的平均数为2,则它的方差的最小值 为() A5 B4 C3
13、 D2 【考点】 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数 【分析】 求出 x+y=2,求出 xy 的最小值,根据方差的定义求出其最小值即可 【解答】 解:样本 x,1,y,5 的平均数为 2, 故 x+y=2,故 xy1, 故 S2= (x2) 2+(y2)2+10 = + (x 2 +y 2) +?2xy+2=3, 故方差的最小值是 3, 故选: C 【点评】本题考查了求数据的方差和平均数问题,考查不等式的性质, 是一道基 础题 7执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出 S=() A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 算法的功能是求S=+的值,根据条件确定跳出循 环的 i
14、值,利用裂项相消法计算输出S 的值 【解答】 解:由程序框图知:算法的功能是求S=+的值, 输入 n=10,跳出循环的i 值为 12, 输出 S=+ +=+=(1)= 故选: B 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能 是解答本题的关键,属于基础题 8某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A16 B16 C8 D8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥 【解答】 解:由三视图可知:该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥 该几何体的体积V= =8 故选: D 【点评】 本题考查了三棱台的三
15、视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题 9过双曲线=1(a0,b0)的左焦点 F,作圆 x 2 +y 2= 的一条切线, 切点为 E,延长 FE 与双曲线的右支交于点P,若 E 是线段 FP的中点,则该双曲 线的离心率为() ABCD 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 通过双曲线的特点知原点O 为两焦点的中点,利用中位线的性质,求 出 PF 的长度及判断出 PF 垂直于 PF,通过勾股定理得到a,c 的关系,进而求出 双曲线的离心率 【解答】 解:如图,记右焦点为F ,则 O 为 FF 的中点, E为PF的中点, OE 为FFP 的中位线, PF
16、 =2OE=a , E 为切点, OEPF, PF PF, 点 P 在双曲线上, PFPF =2a, PF=PF +2a=3a, 在RtPFF 中,有:PF 2+PF 2=FF2, 9a 2 +a 2=4c2,即 10a2=4c2, 离心率 e= , 故选: A 【点评】本题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识, 考查运算求解 能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,在圆锥曲线中,求离心率关键就是 求三参数 a,b,c 的关系,注意解题方法的积累,属于中档题 10已知数列 an为等差数列,且a11,a25,a58,设数列 an 的前 n 项和 为 Sn,S15的最大值为 M,最小值为
17、m,则 M+m=() A500 B600 C700 D800 【考点】 数列的应用 【分析】 利用已知条件求出公差的最大值以及公差的最小值,即可求解S15的最 大值为 M,最小值为 m 推出结果 【解答】 解:数列 an 为等差数列,且a11,a25,a58,设数列 an 的前 n 项和为 Sn,S15的最大值为 M,最小值为 m, 可知公差最大值时, M 最大,公差最小时, m 最小, 可得 a1=1,a2=5,此时公差 d=4 是最大值, M=S15=115+=435,a2=5,a5=8,此时 d=1, m=S15=415=165 M+m=435+165=600 故选: B 【点评】本题考
18、查等差数列的性质的应用,考查转化思想以及计算能力,判断数 列和何时取得最值是解题的关键 二、填空题 11 已知函数 f (x) 是定义域为 R 的奇函数,当 x 0, 1 时,f (x)=log2(x+1), 则 f(1 )= 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 根据已知,先求出 f( 1)的值,进而根据奇函数的性质,可得答 案 【解答】 解:当 x 0,1 时,f(x)=log2(x+1), f(1)=log2=, 又函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, f(1)=f(1)=, 故答案为: 【点评】 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度中档 12在区间 1,1 上任取一个
19、数 a,则曲线 y=x 3 x2在点 x=a 处的切线的 倾斜角为锐角的概率为 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求得函数的导数, 可得曲线在 x=a 处切线的斜率, 由题意可得斜率大于 0,解不等式可得a 的范围,再由几何概率的公式,求出区间的长度相除即可得 到所求 【解答】 解:y=x3x2在的导数为 y=2x 2x, 则曲线 y=x 3 x 2 在点 x=a处的切线的斜率为k=2a 2a, 倾斜角为锐角,即为2a 2a0, 解得 a或 a0, 由1a1,可得a1 或1a0, 则切线的倾斜角为锐角的概率为= 故答案为: 【点评】本题考查导数的应用:求切线的斜率和倾斜角,考查
20、不等式的解法,同 时考查几何概率的求法,注意运用区间的长度,考查运算能力,属于中档题 13若( x) n 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等,则直线y=nx 与曲线 y=x 2 围成的封闭图形的面积为 【考点】 二项式系数的性质;定积分 【分析】先确定 n 的值,再求出直线 y=nx 与曲线 y=x 2 交点坐标,利用定积分求 得直线 y=nx 与曲线 y=x 2 围成图形的面积 【解答】 解:( x) n 的展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等, Cn1=Cn3, n=4, 由直线 y=4x 与曲线 y=x 2,可得交点坐标为( 0,0),( 4,16), 直线 y=nx 与
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