2019年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)含答案解析.pdf
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1、2019 年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题 :本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1已知集合A= 1,2 ,B=(x,y)| xA,yA,xyA,则 B 的子集共有() A2 个 B4 个C6 个D8 个 2复数 z=1+ai(aR)在复平面对应的点在第一象限,且| =,则 z 的虚部为() A2 B4 C2i D4i 3对于直线m,n 和平面 , ,能得出 的一个条件是() Amn,m ,n Bmn,=m,n? Cmn,n , m? Dmn,m , n 4执行如图的程序框图,如果输入x=1,则输出 t 的值为
2、() A6 B8 C10 D12 5已知 an为等差数列, 3a4 +a 8=36,则 an 的前 9 项和 S9 =( ) A9 B17 C36 D81 6已知函数f(x)=x 2 x+2,则函数y=f( x)的图象为() ABCD 7已知变量x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测数据 算得的线性回归方程可能是() A=0.4x+2.3 B=2x2.4 C=2x+9.5 D=0.3x+4.4 8如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的体积为() A64 B C16 D 9D 是 ABC 所在平面内一点, =
3、+( , R),则 0 1,0 1 是点 D 在 ABC 内部(不含边界)的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分且必要条件D既不充分也不必要条件 10命题 p:“ ? x0 0, ,sin2x0+cos2x0a” 是假命题,则实数a 的取值范围是() Aa1 BaCa1 Da 11过抛物线C:y 2=4x 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,点 M( 1,2),若? =0,则直线 l 的斜率 k=() A 2 B 1 C1 D2 12函数 f(x)=e ax lnx(a0)存在零点,则实数a 的取值范围是() A0aB0aCaDa 二、填空题 :本大题共4 小题,每小题
4、5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上的相应位置上 13将 3 本不同的数学书和2 本不同的语文书在书架上排成一行,若2 本语文书相邻排放, 则不同的排放方案共有_种(用数字作答) 14设 F1、F2分别是双曲线 C:=1(a0,b0)的左右焦点,点M(a,b)若 MF1F2=30 ,则双曲线的离心率为 _ 15已知函数f(x)= ,若曲线 y=f(x)在点 Pi (x i,f(xi) (i=1,2,3,其中 x1,x2, x3互不相等)处的切线互相平行,则a 的取值范围是 _ 16若数列 an满足: a1=0,a2=3 且( n1)an+1=( n+1)an n十 1( nN * ,n2)
5、,数 列bn 满足 bn= ?() n1,则数列 b n 的最大项为第 _项 三、解答题:本大题共5 小题,共70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17( 12 分)( 2019?大连二模)已知a,b,c 分别为 ABC 三个内角A,B,C 的对边, b=acosC+asinC (I)求 A; ()若a=2,b+c4,求 ABC 的面积 18( 12 分)( 2019?大连二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,根据以往 比赛的胜负情况, 每一局甲胜的概率为,乙胜的概率为,如果比赛采用 “ 五局三胜制 ”(先 胜三局者获胜,比赛结束) (1)求甲获得比赛胜利的概率; (2
6、)设比赛结束时的局数为X,求随机变量X 的分布列和数学期望 19( 12 分)( 2019?大连二模)如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中, AB BC,AA1=2, AC=2,M 是 CC1的中点, P是 AM 的中点,点 Q 在线段 BC1上,且 BQ=QC1 (1)证明: PQ平面 ABC ; (2)若直线BA1与平面 ABM 成角的正弦值为,求 BAC 的大小 20(12分)(2019?大连二模)已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率e= , 且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2 (1)求椭圆C 的方程; (2)如图,设点 D为椭圆上任意一点,直线y=m 和椭
7、圆 C交于A、B两点,且直线DA、 DB 与 y 轴分别交于P、Q 两点,试探究PF1F2和 QF1F2之间的等量关系并加以证明 21( 12 分)( 2019?大连二模)已知函数f( x)=lnx +kx(kR) (1)当 k=1 时,求函数f(x)的极值点; (2)当 k=0 时,若 f(x)+a0(a,bR)恒成立,试求ea1b+1 的最大值; (3)在( 2)的条件下,当ea 1 b+1取最大值时,设 F( b)=m(mR),并设 函数 F(x)有两个零点x1 , x 2,求证: x1?x2 e 2 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时
8、 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号 选修 4-1:几何证明选讲 22 (10 分)(2019?大连二模) 已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上, CA 切圆 O 于 A 点, CD 分别交 AE、AB 于点 F、D, ADF=45 (1)求证: CD 为 ACB 的平分线; (2)若 AB=AC ,求的值 选修 4-4:坐标系与参数方程 23(2019?大连二模)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建 立极坐标系,已知圆C 的极坐标方程为 =4sin 从极点作圆C 的弦,记各条弦中点的轨迹 为曲线 C1 (1)求 C1的极坐标方程; (2)已知
9、曲线l 的参数方程为,( 0 ,t 为参数,且t0), l 与 C 交于 点 A,l 与 C1交于点 B,且 | =,求 的值 选修 4-5:不等式证明选讲 24( 2019?大连二模)已知a,b,c 均为正实数,且+=1 (1)证明: +; (2)求证: +1 2019 年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题 :本大题共12 小题,每小题5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1已知集合A= 1,2 ,B=(x,y)| xA,yA,xyA,则 B 的子集共有() A2 个 B4 个C6 个 D8 个 【考点】 子集与真子集
10、【分析】 先确定集合B,再求出B 的子集的个数 【解答】 解:集合A= 1,2 ,B= (x,y) | xA,y A,xyA, B=( 2,1) , B 的子集共有2个 故选: A 【点评】 本题考查集合的关系,考查学生的计算能力,确定集合B 是关键 2复数 z=1+ai(a R)在复平面对应的点在第一象限,且| | = ,则 z 的虚部为() A2 B4 C2i D4i 【考点】 复数的基本概念 【分析】复数 z=1+ai (aR) 在复平面对应的点在第一象限,可得 a0,=1ai 由| | = , 可得=,解得 a 【解答】 解:复数z=1+ai(aR)在复平面对应的点在第一象限,a 0,
11、=1ai | | = ,=,解得 a=2 则 z 的虚部为 2 故选: A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与 计算能力,属于基础题 3对于直线m,n 和平面 , ,能得出 的一个条件是() Amn,m ,n Bmn,=m,n? Cmn,n , m? Dmn,m , n 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 在 A 中, 与 相交或相行;在B 中, 与 不一定垂直;在C 中,由由面面垂 直的判定定理得 ;在 D 中,由面面平行的判定定理得 【解答】 解:在 A 中, mn,m , n ,则 与 相交或相行,故A 错误; 在 B 中,
12、 mn,=m, n? ,则 与 不一定垂直,故 B 错误; 在 C 中, mn,n ,m? ,由由面面垂直的判定定理得 ,故 C 正确; 在 D 中, mn,m ,n ,则由面面平行的判定定理得 ,故 D 错误 故选: C 【点评】 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培 养 4执行如图的程序框图,如果输入x=1,则输出t 的值为() A6 B8 C10 D12 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行过程,依次写出每次循环得到的x,t 的值,当x=121 时满足条件 x120,退出循环,输出t 的值为 8 【解答】 解:模拟程序的运行过程,可得 x=1,
13、t=0 执行循环体, x=4,t=2 不满足条件x120,执行循环体,x=13,t=4 不满足条件x120,执行循环体,x=40,t=6 不满足条件x120,执行循环体,x=121,t=8 满足条件x120,退出循环,输出t 的值为 8 故选: B 【点评】 本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力, 属于基础题 5已知 an为等差数列, 3a4+a8=36,则 an 的前 9 项和 S9=() A9 B17 C36 D81 【考点】 等差数列的前n 项和 【分析】 由等差数列性质得到a1+4d=a5=9,由此能求出 a n 的前 9项和 【解答】 解: an为等差数列,
14、3a4 +a 8=36, 3(a1+3d)+a1+7d=4a1+8d=36, 解得 a1+4d=a5=9, S 9=( a1 +a 9)=9a5=99=81 故选: D 【点评】 本题考查等差数列的前9 项和的求法, 是基础题, 解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用 6已知函数f(x)=x 2 x+2,则函数y=f( x)的图象为() A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用已知条件求出函数f( x),然后利用二次函数的性质,判断函数的图象即 可 【解答】 解:函数 f(x)=x 2 x+2,则函数 y=f( x)=x2+x+2函数的图象开口向下, 经过( 1,0)与(
15、 2,0), 函数的图象为: 故选: D 【点评】 本题考查函数的图象,二次函数的性质的应用,考查计算能力 7已知变量x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据 算得的线性回归方程可能是() A =0.4x+2.3 B =2x2.4 C =2x+9.5 D=0.3x+4.4 【考点】 线性回归方程 【分析】 变量 x 与 y 正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直 线方程 【解答】 解:变量x 与 y 正相关, 可以排除C,D; 样本平均数=3,=3.5,代入 A 符合, B 不符合, 故选: A 【点评】 本题考查数据的回归直线方程,
16、利用回归直线方程恒过样本中心点是关键 8如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的体积为() A64 B C16 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4 的正方体一部分,画出直观图,由正方 体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积,由椎体的体积公式求出该多面体的体积 【解答】 解:根据三视图知几何体是:三棱锥D ABC 、为棱长为4 的正方体一部分, 直观图如图所示:B 是棱的中点, 由正方体的性质得,CD平面 ABC , ABC 的面积 S= =4, 所以该多面体的体积V=, 故选: D 【点评】 本
17、题考查三视图求几何体的体积,结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的 关键,考查空间想象能力 9D 是 ABC 所在平面内一点,=+( , R),则 0 1,0 1 是点 D 在 ABC 内部(不含边界)的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分且必要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 若= + ( , R),点 D 在 ABC 内部,可得: 0 1,0 1; 反之不成立,例如时,点 D 为边 BC 的中点即可判断出结论 【解答】 解:若= + ( , R),点 D 在 ABC 内部,则0 1,0 1, 反之不成立,例如时,点 D 为边
18、BC 的中点 0 1, 0 1 是点 D 在 ABC 内部(不含边界)的必要不充分条件 故选: B 【点评】 本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题 10命题 p:“ ? x0 0, ,sin2x0+cos2x0a” 是假命题,则实数 a 的取值范围是() Aa1 BaCa1 Da 【考点】 特称命题 【分析】 特称命题转化为全称命题,求出sin( 2x+)的最大值,从而求出a的范围即可 【解答】 解: “ ? x0 0, ,sin2x0+cos2x0a” 是假命题, 即? x 0, ,sin2x+cos2xa是真命题, 由 sin
19、2x+cos2x=sin(2x+ ) a, 得: sin(2x+), 由 x 0, 得: 2x+, , 故 sin(2x+)的最大值是1, 故只需1,解得: a, 故选: D 【点评】 本题考查了特称命题转化为全称命题,考查三角函数问题,是一道中档题 11过抛物线C:y 2=4x 的焦点 F 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,点 M( 1,2),若? =0,则直线 l 的斜率 k=() A 2 B 1 C1 D2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线方程求得焦点坐标,进而设出过焦点弦的直线方程,与抛物线方程联 立消去 y,根据韦达定理表示出x1 +x 2 =2+ , x 1x
20、2=1,y1y2=4,由 ?=0,求得 k 值 【解答】 解:抛物线的方程为y2=4x,F(1,0),设焦点弦方程为y=k(x1),A(x1, y1), B( x2,y2), 代入抛物线方程得k2x2( 2k2+4)x+k 2=0 由韦达定理: x1 +x 2 =2+ , x 1x2=1,y1y2=4,y1 +y 2= M ( 1, 2),?=0, ( x1+1,y12)?( x2+1,y22)=0, 12k+k2=0, k=1 故选: C 【点评】 本题主要考查了抛物线的简单性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归 与转化思想,属于中档题 12函数 f(x)=eax lnx(a0)存在
21、零点,则实数a 的取值范围是() A0aB0a Ca Da 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 先考虑函数f(x)=ax与 g(x)=logax(a1)图象仅有一个交点,且在公共点处 有公共的切线,a 的值,再利用换元法,即可得出结论 【解答】 解:先考虑函数f(x)=ax与 g(x)=logax(a1)图象仅有一个交点, 且在公共点处有公共的切线,a 的值 两函数互为反函数,则该切线即为y=x ,设切点 A, 可求出 A(e,e),此时a=e 若 ae时,则 f(x)=ax与 g( x)=logax( a1)无公共点; 若 1ae时,则 f(x)=ax与 g(x)=log ax(a1)有
22、两个公共点 对 f(x)=eaxlnx(a0),换元令 t=e a ,即得 tx=logt x, 由上知 1ea=te ,得 0a 故选: A 【点评】 本题考查函数的零点,考查数形结合的数学思想,考查学生转化问题的能力,属于 中档题 二、填空题 :本大题共4 小题,每小题5 分,共 20 分。把答案填在答题卡上的相应位置上 13将 3 本不同的数学书和2 本不同的语文书在书架上排成一行,若 2 本语文书相邻排放, 则不同的排放方案共有48种(用数字作答) 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意,使用捆绑法,2 本不同的语文书,将其排在一起当做一个元素,有2 种 情况,再将其与其他
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