一元二次方程教学设计.pdf
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1、2.3.1 一元二次方程解法的教学设计 教学目标 : 1、知道一元二次方程的定义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 0 2 cbxax (a0) 2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过 程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识。 3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。 重点难点 : 1一元二次方程的意义及一般形式,会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程 : 一 做一做: 1问题一绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900 平方米的一块
2、长方形绿地,并且长比宽多10 米,那么绿地的长和宽各为多少? 分析:设长方形绿地的宽为x 米,不难列出方程 x(x 10) 900 整理可得x 2 10x900=0. (1) 2问题 2 学校图书馆去年年底有图书5 万册,预计到明年年底增加到7.2 万册 .求这两年的年平均增长 率. 解:设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5 万册,则今年年底的 图书数是5(1x)万册;同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1x)倍,即5(1 x)(1x)5(1x) 2 万册 .可列得方程 5(1x) 2=7.2, 整理可得5x2 10x2.2=0.(2) 3思考、讨论 这样,问题1 和问
3、题 2 分别归结为解方程(1)和( 2).显然,这两个方程都不是一元一次 方程 .那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢? ( 学生分组讨论,然后各组交流)共同特点: (1) 都是整式方程( 2) 只含有一个未 知数(3) 未知数的最高次数是2 二、一元二次方程的概念 上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一 元二次方程) .通常可写成如下的一般形式: ax 2bxc0(a、b、c 是已知数, a0)。 其中 2 ax 叫做二次项, a 叫做二次项系数; bx 叫 做一次项, b叫做一次项系数,c叫做常数项。 . 三、例题讲解与练
4、习巩固 1例 1 下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。 (1) 3523xx ( 2) 4 2 x (3) 2 1 1 2 x x x (4) 22 )2(4xx 2例 2 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项: 1) yy 2 6 2) (x-2)(x+3)=8 3) 2 )2()43)(3(xxx 说明:一元二次方程的一般形式 0 2 cbxax (a0)具有两个特征:一是方程的 右边为 0;二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到:二次项、二次项系数、 一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。 3例 3 方程( 2a4)x 2 2bx+a
5、=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下 此方程为一元一次方程? 本题先由同学讨论,再由教师归纳。 解:当 a2 时是一元二次方程;当a 2,b0 时是一元一次方程; 4例 4 已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0 有一根为 2,求 m。 分析:一根为2 即 x=2,只需把 x=2 代入原方程。 5练习一将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 xx322 2 2x(x-1)=3(x-5)-4 23112 22 yyyy 练习二关于 x 的方程 0)3( 2 mnxxm ,在什么条件下是一元二次方程?在什么 条件下是一元一次
6、方程? 本课小结: 1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程,叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为 0 2 cbxax (a0) ,一元二次方程的项及系数都是根 据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。 3、在实际问题转化为数学模型(一元二次方程) 的过程中, 体会学习一元二次方程的必 要性和重要性。 布置作业 : 课本 23.2.1一元二次方程的解法 教学目标: 1、会用直接开平方法解形如 bkxa 2 )( (a0,ab0)的方程; 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换远方法。 重点难点
7、 : 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程,理解一元二次方程无实根的 解题过程。 教学过程 : 问:怎样解方程 2 1256x 的? 让学生说出作业中的解法,教师板书。 解: 1、直接开平方,得x+1=16 所以原方程的解是x115,x2 17 2、原方程可变形为 2 12560x 方程左边分解因式,得 (x+1+16 )(x+1 16)=0 即可( x+17)(x15)=0 所以 x 17=0,x15=0 原方程的蟹x115,x2 17 二、例题讲解与练习巩固 1、例 1 解下列方程 (1) (x1) 240; (2) 12(2 x) 290. 分析两个方程都可以转化为 b
8、kxa 2 )( (a0,ab 0) 的形式,从而用直接开平方法求解. 解(1)原方程可以变形为 (x1) 24, 直接开平方,得 x1 2. 所以原方程的解是x11,x2 3. 原方程可以变形为 _, 有_. 所以原方程的解是x1_,x2_. 2、说明:(1)这时,只要把 )1(x 看作一个整体,就可以转化为 bx 2 (b 0)型的方 法去解决,这里体现了整体思想。 3、练习一解下列方程: (1) (x2) 2160; (2)(x 1)2180; (3)(13x) 21; (4)(2x3)2250. 三、读一读 四、讨论、探索:解下列方程 (1)(x+2) 2=3(x+2) ( 2)2y(
9、y-3)=9-3y (3)( x-2) 2 x+2 =0 (4)(2x+1) 2=(x-1)2 (5) 4912 2 xx 。 本课小结 : 1、对于形如 bkxa 2 )( (a0,ab0)的方程,只要把 )(kx 看作一个整体,就可转 化为 nx 2 (n0)的形式用直接开平方法解。 2、当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法 解。 布置作业 :课本习题 232.2 一元二次方程的解法 教学目标 : 1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程 2、使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程。 3在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一
10、些转化的技能。 重点难点 : 使学生掌握配方法,解一元二次方程。 把一元二次方程转化为 qpx 2 )( 教学过程 : 一、复习提问 解下列方程,并说明解法的依据: (1) 2 321x (2) 2 160x (3) 2 210x 通过复习提问,指出这三个方程都可以转化为以下两个类型: 2 2 00xb bxab b和 根据平方根的意义,均可用“直接开平方法”来解,如果b 0,方程就没有实数解。 如 2 12x 请说出完全平方公式。 2 22 2 22 2 2 xaxaxa xaxaxa 。 二、引入新课 我们知道,形如 0 2 Ax 的方程,可变形为 )0( 2 AAx ,再根据平方根的意义
11、, 用直接开平方法求解那么,我们能否将形如 2 0xbxc 的一类方程,化为上述形式求 解呢?这正是我们这节课要解决的问题 三、探索: 1、例 1、解下列方程: 2 x 2x5;( 2) 2 x 4x30. 思考 能否经过适当变形,将它们转化为 2 = a 的形式,应用直接开方法求解? 解( 1)原方程化为 2 x 2x16,(方程两边同时加上1) _, _, _. (2)原方程化为 2 x 4x4 34 (方程两边同时加上4) _, _, _. 三、归纳 上面, 我们把方程 2 x 4x30 变形为 2 2x 1,它的左边是一个含有未知数的完全平 方式,右边是一个非负常数.这样,就能应用直接
12、开平方的方法求解.这种解一元二次方程的 方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后,左边可以用完全平方公式从而转化为用直接 开平方法求解。 那么,在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢? 四、试一试:对下列各式进行配方: 22 _)(_8xxx ; 22 10_(_)xxx 22 _)(_5xxx ; 22 9_(_)xxx 22 _)(_ 2 3 xxx ; 22 _(_)xbxx 通过练习, 使学生认识到; 配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半 的平方。 五、例题讲解与练习巩固 1、例 2、用配方法解下列方程: (1) 2 x 6x70;(2) 2 x
13、3x10. 2、练习: .填空: (1) 2 2 6xx (2) 2 x 8x()( x- ) 2 (3) 2 x x()( x) 2; (4)4 2 x 6x() 4(x) 2 用配方法解方程: (1) 2 x 8x20 (2) 2 x 5 x60. (3) 2 76xx 六、试一试 用配方法解方程x2pxq0(p24q 0). 先由学生讨论探索,教师再板书讲解。 解:移项,得x 2px q, 配方,得x 22x 2 p (2 p )2 ( 2 p ) 2 q, 即(x 2 p ) 2 4 4 2 qp . 因为p2 4q 0 时,直接开平方,得 x 2 p 2 4 2 qp . 所以x -
14、2 p 2 4 2 qp , 即x 2 4 2 qpp . 思考:这里为什么要规定p2 4q 0? 七、讨论 1、如何用配方法解下列方程? 4x 212x10; 请你和同学讨论一下:当二次项系数不为1 时,如何应用配方法? 2、关键是把当二次项系数不为1 的一元二次方程转化为二次项系数为1 的一元二次方程。 先由学生讨论探索,再教师板书讲解。 解: (1)将方程两边同时除以4,得x 23x 4 1 0 移项,得x 23x 4 1 配方,得x 23x+( 2 3 ) 2 4 1 +( 2 3 )2 即(x 2 3 ) 2 2 5 直接开平方,得x 2 3 2 10 所以x 2 3 2 10 所以
15、 x1 2 103 ,x2= 2 103 3,练习:用配方法解方程: (1) 0272 2 xx (2)3x 22x 30. (3) 0542 2 xx (原方程无实数解) 本课小结 :让学生反思本节课的解题过程,归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤:1、 把常数项移到方程右边,用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1;2、在方 程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方; 如果方程的右边整理后是非负数,用直接开平方法解之,如果右边是个负数,则指出原方程 无实根。 布置作业 :习题 23.2 .3一元二次方程的解法 教学目标 : 1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程
16、。 2、使学生经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力。 3、在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,渗透辩证唯物广义观 点。 重点难点 : 1、难点:掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程; 2、重点:对文字系数二次三项式进行配方;求根公式的结构比较复杂,不易记忆;系数和 常数为负数时 ,代入求根公式常出符号错误。 教学过程 : 一、复习旧知,提出问题 1、用配方法解下列方程: (1) xx1015 2 (2) 2 1 3120 3 xx 2、用配方解一元二次方程的步骤是什么? 3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程,计算比较麻烦, 能否研究出一种更
17、好的方法, 迅速求得一元二次方程的实数根呢? 二、探索同底数幂除法法则 问 题1: 能 否 用 配 方 法 把 一 般 形 式 的 一 元 二 次 方 程 2 0 (0)axbxca 转 化 为 2 2 2 4 () 4 bbac x aa 呢? 教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程,让学生分组讨论交流,达成 共识: 因为 0a ,方程两边都除以 a ,得 2 0 bc xx aa 移项,得 2 bc xx aa 配方,得 222 2()() 222 bbbc xx aaaa 即 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 问题 2:当 2 40bac ,且 0a 时,
18、2 2 4 4 bac a 大于等于零吗? 让学生思考、分析,发表意见,得出结论:当 2 40bac 时,因为 0a ,所以 2 40a ,从而 2 2 4 0 4 bac a 。 问题 3:在研究问题1 和问题 2 中,你能得出什么结论? 让学生讨论、交流,从中得出结论,当 2 40bac 时,一般形式的一元二次方程 2 0 (0)axbxca 的根为 2 4 22 bbac x aa ,即 2 4 2 bbac x a 。 由以上研究的结果,得到了一元二次方程 2 0 (0)axbxca 的求根公式: 2 4 2 bbac x a ( 2 40bac ) 这个公式说明方程的根是由方程的系数
19、 a 、b、c所确定的,利用这个公式,我们 可以由一元二次方程中系数 a 、b、 c的值,直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公 式法。 思考:当 2 40bac 时,方程有实数根吗? 三、例题 例 1、解下列方程: 1、 2 260xx ;2、 2 42xx ; 3、 2 54120xx ;4、 2 44101 8xxx 教学要点:( 1)对于方程(2)和( 4) ,首先要把方程化为一般形式; (2)强调确定 a 、b、 c 值时,不要把它们的符号弄错; (3)先计算 2 4bac的值,再代入公式。 例 2、 (补充)解方程 2 10xx 解:这里 1a , 1b , 1c , 22 4(
20、 1)4 1 130bac 因为负数不能开平方,所以原方程无实数根。 让学生反思以上解题过程,归纳得出: 当 2 40bac 时,方程有两个不相等的实数根; 当 2 40bac 时,方程有两个相等的实数根; 当 2 40bac 时,方程没有实数根。 四、课堂练习 : 1、练习。2、阅读“阅读材料”。 小结 :根据你学习的体会,小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法?通常你是如何选择 的?和同学交流一下。 作业 : 22.2 .4一元二次方程的解法 教学目标 : 1、使学生能根据量之间的关系,列出一元二次方程的应用题。 2、提高学生分析问题、解决问题的能力。 3、培养学生数学应用的意识。 重点难
21、点 : 认真审题,分析题中数量关系,适当设未知数,寻找等量关系,布列方程是本节课的重点, 也是难点。 教学过程 : 一、复习旧知,提出问题 1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。 2、用多种方法解方程 22 (31)69xxx 让学生尝试用多种方法解方程,归结为: 解法 1:将方程化为 22 (31)(3)xx ,直接开平方,得 31(3)xx 解得 1 2x , 2 1 2 x 。 解法2:将方程化为一般形式 2 2320xx ,进而转化为 2 3 10 2 xx ,用配方法可 求方程的解。 解 法3 : 将 方 程 化 为 一 般 形 式 2 2320xx , 用 公 式 法 求 解 ,
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