中考数学压轴题(定值问题).pdf
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1、【中考数学压轴题】- 定值问题 一、乘积、比值类型 1 ( 2009株洲) 如图,已知 ABC 为直角三角形,ACB=90 , AC=BC,点 A、 C 在 x 轴上,点B 坐标为( 3,m) (m0) ,线段 AB 与 y 轴相交于点D,以 P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D (1)求点 A 的坐标(用m 表示) ; (2)求抛物线的解析式; (3)设点 Q 为抛物线上点P 至点 B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点 E,连结 BQ 并延长 交 AC 于点 F,试证明: FC(ACEC)为定值 解析: (1)由(3,)Bm可知3OC,BCm,又 ABC 为等腰直角三角形, ACB
2、Cm,3OAm,所以点A 的坐标是(3,0m). 3 分 (2)45ODAOAD 3ODOAm,则点D的坐标是(0,3m) . 又抛物线顶点为(1,0)P,且过点 B、D,所以可设抛物线的解析式为: 2 (1)ya x,得: 2 2 (31) (01)3 am am 解得 1 4 a m 抛物线的解析式为 2 21yxx 7 分 (3)过点Q作QMAC于点M,过点Q作QNBC于点N,设点Q的坐标是 2 ( ,21)x xx, 则 2 (1)QMCNx,3MCQNx. /QMCEPQMPEC QMPM ECPC 即 2 (1)1 2 xx EC ,得2(1)ECx /QNFCBQNBFC QNB
3、N FCBC 即 2 34(1) 4 xx FC ,得 4 1 FC x 又 4AC 444 ()42(1)(22)2(1)8 111 FC ACECxxx xxx 即 FC(ACEC)为定值 8. 12 分 二、定长、定角、定点、定值类型 1 ( 2011?东营)如图所示,四边形OABC 是矩形,点A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) ,点 D 是线段 BC 上的动点(与端点B、C 不重合),过点 D 作直线 y= 1 2 xb 交折线 OAB 于点 E (1)记 ODE 的面积为S,求 S与 b 的函数关系式; (2)当点E 在线段OA 上时,且tanDEO= 1 2 若矩形OA
4、BC 关于直线DE 的对称图形为四边形 O1A1B1C1,试探究四边形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面 积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说 明理由 考点 :一次函数综合题。 分析: (1)要表示出 ODE 的面积, 要分两种情况讨论, 如果点 E 在 OA 边上,只需求出这个三角形的底边OE 长(E 点横坐标) 和高(D 点纵坐标), 代入三角形面积公式即可;如果点 E 在 AB 边上,这时 ODE 的面积可 y x Q PF E D C B AO 用长方形 OABC 的面积减去 OCD、OAE 、BDE 的面积; (2)重叠部分是一个平行四边形,由于
5、这个平行四边形上下边上的高不变,因此决定重叠部分面积 是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化 解答: 解: ( 1)四边形OABC 是矩形,点A、C 的坐标分别为(3,0) , (0,1) , B( 3,1) , 若直线经过点A( 3,0)时,则b= 3 2 , 若直线经过点B( 3,1)时,则b= 5 2 , 若直线经过点C(0,1)时,则b=1, 若直线与折线OAB 的交点在OA 上时,即1b 3 2 ,如图 1, 此时 E(2b,0) , S= 1 2 OE?CO= 1 2 2b 1=b; 若直线与折线OAB 的交点在BA 上时,即 3 2 b 5 2 ,如图
6、 2 此时 E( 3, b 3 2 ) ,D(2b2,1) , S=S 矩( SOCD+SOAE+SDBE)=3 1 2 ( 2b2) 1+ 1 2 (52b)? ( 5 2 b)+ 1 2 3(b 3 2 )= 5 2 b b 2, S= ) 2 5 2 3 ( 2 5 2 3 2 21 bbb bb ; (2)如图 3,设 O1A1与 CB 相交于点M,OA 与 C1B1相交于点N,则矩形 O1A1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积 由题意知, DM NE,DN ME, 四边形 DNEM 为平行四边形, 根据轴对称知,MED= NED , 又 MDE= N
7、ED, MED= MDE , MD=ME , 平行四边形DNEM 为菱形 过点 D 作 DH OA ,垂足为H, 由题易知,= 1 2 ,DH=1 , HE=2 , 设菱形 DNEM 的边长为a, 则在 RtDHN 中,由勾股定理知:a2=(2a) 2+12, a= 5 4 , S四边形DNEM=NE?DH= 5 4 矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为 5 4 2 ( 2011? 遵义)如图,梯形ABCD 中, ADBC,BC=20cm,AD=10cm,现有两个动点P、Q 分别从 B、D 两点同时出发,点P 以每秒 2cm 的速度沿BC 向终点 C 移
8、动,点Q 以每秒 1cm 的速度沿 DA 向终点 A 移动,线段PQ 与 BD 相交于点E,过 E 作 EF BC 交 CD 于点 F,射线 QF 交 BC 的延长线于点H,设动点P、Q 移动的时间为t(单位:秒,0 t10) (1)当 t 为何值时,四边形PCDQ 为平行四边形? (2)在 P、 Q 移动的过程中,线段PH 的长是否发生改变? 如果不变,求出线段PH 的长;如果改变,请说明理由 考点 :相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质;梯形。 分析: (1)如果四边形PCDQ 为平行四边形,则DQ=CP,根据 P、Q 两点的运动速度,结合运动时 间 t,求出 DQ、CP 的长度表达式
9、,解方程即可; (2)PH 的长度不变,根据P、Q 两点的速度比,即可推出QD: BP=1:2,根据平行线的性质推出 三角形相似,得出相似比,即可推出PH=20 解答: 解: ( 1) ADBC,BC=20cm, AD=10cm,点 P、Q 分别从 B、D 两点同时出发,点P 以每 秒 2cm 的速度沿BC 向终点 C 移动,点Q 以每秒 1cm 的速度沿DA 向终点 A 移动, DQ=t,PC=202t, 若四边形PCDQ 为平行四边形,则DQ=PC, 202t=t,解得: t= 20 3 ; (2)线段 PH 的长不变, ADBH,P、Q 两点的速度比为2:1, QD:BP=1:2, QE
10、:EP=ED :BE=1:2, EFBH, ED: DB=EF:BC=1:3, BC=20, EF= 20 3 , EF PH : QE QP = 1 3 , PH=20cm 点评: 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质,解题的关键在于求 得 DQ 和 PC 的长度表达式,推出DQ 和 PC 的长度比为1:2 3 ( 2011?广州)已知关于x 的二次函数y=ax 2bxc(a0)的图象经过点 C(0,1) ,且与 x 轴交 于不同的两点A、B,点 A 的坐标是( 1,0) (1)求 c 的值; (2)求 a的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线y=1 交于 C
11、、D 两点,设A、 B、C、D 四点构成的四边形的对角线相 交于点 P,记 PCD 的面积为S1,P AB 的面积为S 2,当 0a1 时,求证: S1S2为常数,并求出 该常数 考点 :二次函数综合题;解一元一次方程;解二元一次方程组;根的判别式;根与系数的关系;待定 系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与 x 轴的交点;相似三角形的判定与性质。 专题 :计算题。 分析: (1)把 C(0,1)代入抛物线即可求出c; (2)把 A(1,0)代入得到0=a b1,推出 b=1 a,求出方程ax2bx1=0,的 b24ac 的值即可; (3)设
12、A(a,0) ,B(b,0) ,由根与系数的关系得:ab= a a1 , ab= a 1 ,求出 AB= a a1 ,把 y=1 代入抛物线得到方程ax2( 1a)x 1=1,求出方程的解, 进一步求出CD 过 P 作 MN CD 于 M, 交 x 轴于 N,根据 CPD BPA,得出=,求出 PN、PM 的长,根据三角形的面积公式即 可求出 S1S2的值即可 解答: (1)解:把 C(0,1)代入抛物线得:1=00c,解得: c=1, 答: c 的值是 1 (2)解:把A(1,0)代入得: 0=ab1, b=1 a,ax2bx1=0, b 24ac=( 1a)24a=a22a10, a1且
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