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1、一、函数与几何综合的压轴题 1. (2004 安徽芜湖)如图,在平面直角坐标系中,AB、 CD 都垂直于x 轴,垂足 分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知: A(-2,-6), C(1,-3) (1) 求证: E 点在 y 轴上; (2) 如果有一抛物线经过A,E, C 三点,求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变,再将DC 水平向右移动k(k0)个单位,此时AD 与 BC 相交 于 E点,如图,求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式. 解(1)(本小题介绍二种方法,供参考) 方法一:过E 作 EOx 轴,垂足OABEODC , EODOEOBO ABDBCDD
2、B 又 DO+ BO= DB 1 EOEO ABDC AB=6, DC=3, EO=2 又 DOEO DBAB , 2 31 6 EO DODB AB DO= DO,即 O与 O 重合, E 在 y 轴上 方法二:由D(1, 0), A(-2, -6),得 DA 直线方程:y=2x-2 再由 B(-2,0), C(1,-3),得 BC 直线方程:y=-x-2 图 C(1,-3) A (2, -6) B D O x E y 图 C (1+k, -3) A ( 2,-6) B D O x E y 联立得 0 2 x y E 点坐标( 0,-2),即 E 点在 y 轴上 ( 2)设抛物线的方程y=a
3、x2+bx+c(a 0) 过 A(-2,-6), C(1,-3) E( 0,-2)三点,得方程组 426 3 2 abc abc c 解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=- x2-2 ( 3)(本小题给出三种方法,供参考) 由( 1)当 DC 水平向右平移k 后,过AD 与 BC 的交点 E 作 EFx 轴垂足为F。 同( 1)可得:1 E FE F ABDC 得: EF=2 方法一:又E F AB E FDF ABDB , 1 3 DFDB SAE C= SADC- SEDC= 1112 2223 DCDBDCDFDCDB = 1 3 DCDB=DB=3+ k S=3+k 为所求
4、函数解析式 方法二: BADC, SBCA=SBDA SAE C= SBDE 11 323 22 BDE Fkk S=3+k 为所求函数解析式. 证法三: SDE C SAEC=DE AE= DCAB=12 同理: SDE C SDE B=1 2,又 SDE CSABE=DC 2AB2=1 4 221 3 992 AE CABCD SSABCDBDk 梯形 S=3+k 为所求函数解析式. 2. (2004 广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M (1, 0)为圆心、直 径 AC 为22的圆与y 轴交于A、D 两点 . ( 1)求点 A 的坐标; ( 2)设过点A 的直线 y xb 与 x
5、 轴交于点B.探究:直线AB 是否 M 的切线? 并对你的结论加以证明; ( 3)连接 BC ,记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为S2,若 4 2 1 h S S ,抛物线 yax 2bxc 经过 B、M 两点, 且它的顶点到 x轴的距离为h.求这条抛物线的解析 式 . 解(1)解:由已知AM 2,OM 1, 在 RtAOM 中, AO1 22 OMAM, 点 A 的坐标为 A(0,1) ( 2)证:直线y xb 过点 A(0, 1) 1 0b 即 b1 y x1 令 y0 则 x 1 B( 1,0), AB 211 2222 AOBO 在 ABM 中, AB 2,AM 2, BM
6、2 22222 4)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形,BAM 90 直线 AB 是 M 的切线 ( 3)解法一:由得BAC 90 ,AB 2,AC 22, BC10)22()2( 2222 ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC, 2 5 ) 2 10 () 2 ( 22 1 BC S 而2) 2 22 () 2 ( 22 2 AC S 4 2 1h S S , 5, 42 2 5 h h 即 设经过点B( 1, 0)、 M( 1,0)的抛物线的解析式为: y a( 1)( x1),( a0 )即 y ax 2a, a 5, a 5 抛物线的解析式为y 5x25 或
7、y 5x25 解法二:(接上)求得 h5 由已知所求抛物线经过点B( 1,0)、 M(1、 0),则抛物 A B C D x M y 线的对称轴是y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0, 5) 抛物线的解析式为y a(x 0) 2 5 又 B( 1,0)、 M(1,0)在抛物线上,a 50, a 5 抛物线的解析式为y5x 25 或 y 5x25 解法三:(接上)求得h5 因为抛物线的方程为y ax2 bxc(a0 ) 由已知得 5 0 5 5c 0b 5 5 4 4 0 0 2 c b aa a bac cba cba 或 解得 抛物线的解析式为y5x 25 或 y 5x25. 3.(200
8、4 湖北荆门 )如图,在直角坐标系中,以点P(1,1)为圆心, 2为半径作圆,交 x 轴于 A、B 两点,抛物线)0( 2 acbxaxy过点 A、B,且顶点 C 在 P上. (1)求P 上劣弧 AB的长; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否存在一点D,使线段 OC 与 PD 互相平分?若存在, 求出点 D 的坐标; 若不存在,请说明理由. 解(1)如图,连结PB,过 P 作 PMx 轴,垂足为M. 在 Rt PMB 中, PB=2,PM=1, MPB 60 , APB120 AB的长 3 4 2 180 120 ( 2)在 RtPMB 中, PB=2,PM=1, 则 MB MA
9、3. 又 OM=1 , A( 13, 0), B(13,0), 由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上, 则 C(1, 3). 点 A、B、C 在抛物线上,则 A B C O x y P (1, 1) A B C O x y P (1,1) M cba cba cba 3 )31 ()31(0 )31()31(0 2 2 解之得 2 2 1 c b a 抛物线解析式为22 2 xxy ( 3)假设存在点D,使 OC 与 PD 互相平分,则四边形OPCD 为平行四边形,且 PCOD. 又 PC y 轴,点D 在 y 轴上, OD 2,即 D(0, 2) . 又点 D( 0, 2)在抛物线
10、22 2 xxy上,故存在点D( 0, 2), 使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4.(2004 湖北襄樊)如图,在平面直角坐标系内,RtABC 的直角顶点C(0, 3) 在 y轴的正半轴上, A、 B 是 x轴上是两点,且OAOB 31,以 OA、OB 为直径 的圆分别交AC 于点 E,交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. ( 1)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; ( 2)请猜想:直线EF 与两圆有怎样的位置关系?并证明你的猜想. ( 3)在 AOC 中,设点M 是 AC 边上的一个动点,过M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问:在 x轴上是否存在点P,使得
11、PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角 三角形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)在 RtABC 中, OCAB, AOC COB. OC 2OA OB. OA OB31,C(0, 3), 2 ( 3)3.OB OB OB 1. OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 2 .yaxbxc 则 930, 0, 3. abc abc c 解之,得 3 , 3 2 3, 3 3. a b c 经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 2 32 33. 33 yxx (2)EF 与 O1、 O2都相切 . A y x B E F O1 Q O O2 C
12、B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 M P C 证明:连结O1E、OE、OF. ECF AEO BFO 90 , 四边形EOFC 为矩形 . QE QO. 1 2. 3 4,2+490 , EF 与 O1相切 . 同理: EF 理 O2相切 . (3)作 MPOA 于 P,设 MNa,由题意可得MPMNa. MNOA, CMN CAO. . MNCN AOCO 3 . 3 3 aa 解之,得 3 33 . 2 a 此时,四边形OPMN 是正方形 . 3 33 . 2 MNOP 3 33 (,0). 2 P 考虑到四边形PMNO 此时为正方形, 点 P 在原点时仍可满足P
13、NN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点P 使得 PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 3 33 (,0) 2 P 或(0,0).P 5.(2004 湖北宜昌)如图,已知点A(0 ,1)、C(4,3)、E( 4 15 , 8 23 ),P 是以 AC 为 对角线的矩形ABCD 内部 (不在各边上 )的 个动点,点 D 在 y 轴, 抛物线 y ax2+bx+1 以 P 为顶点 (1)说明点A、C、E 在一条条直线上; (2)能否判断抛物线yax 2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由; (3)设抛物线yax 2+bx+1 与 x 轴有交点 F、G(F 在 G 的
14、左侧 ),GAO 与 FAO 的 面积差为3,且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值 吗?若能,请求出a、b 的值;若不能,请确定a、b 的取值范围 X O P D C A B Y 由方程组 y=ax 26ax+1 y= 2 1 x+1 得: ax2( 6a+ 2 1 )x=0 (本题图形仅供分析参考用) 解( 1) 由题意,A(0 , 1)、 C(4, 3)确定的解析式为: y= 2 1 x+1. 将点 E 的坐标 E( 4 15 , 8 23 )代入 y= 2 1 x+1 中,左边 = 8 23 , 右边 = 2 1 4 15 +1= 8 23 , 左边 =右边,点
15、E 在直线y= 2 1 x+1 上,即点A、C、E 在一条直线上. ( 2)解法一: 由于动点P 在矩形ABCD 内部, 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标, 而点 A 与点 P 都在抛物线上,且P 为顶点,这条抛物线有最高点,抛物线的开口 向下 解法二: 抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 a ba 4 4 2 ,且 P 在矩形 ABCD 内 部, 1 a ba 4 4 2 3,由 1 1 a b 4 2 得 a b 4 2 0, a 0,抛物线的开口向下. ( 3) 连接 GA 、 FA, SGAOSFAO=3 2 1 GO AO 2 1 FOAO=3 OA=1 , GO
16、FO=6. 设 F( x1,0)、 G( x2,0),则 x1、x2为方程ax2+bx+c=0 的两个根,且 x1x2,又 a0, x1x2= a 1 0, x10x2, GO= x2, FO= x1, x2( x1)=6, 即 x2+x1=6, x2+x1= a b a b =6, b= 6a, 抛物线解析式为:y=ax2 6ax+1, 其顶点P的坐标为 (3, 1 9a), 顶点 P 在矩形ABCD 内部, 1 19a3, 9 2 a 0. X G F O P D E C A B Y x=0 或 x= a a 2 1 6 =6+ a2 1 . 当 x=0 时,即抛物线与线段AE 交于点 A
17、,而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交 点,则有:06+ a2 1 4 15 ,解得: 9 2 a 12 1 综合得: 9 2 a 12 1 b= 6a, 2 1 b 3 4 6. (2004 湖南长沙)已知两点O(0,0)、B(0,2), A 过点 B 且与 x 轴分别相交于 点 O、C, A 被 y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为31,直线 l 与 A 切于点O, 抛物线的顶点在直线l 上运动 . (1)求 A 的半径; (2)若抛物线经过O、 C 两点,求抛物线的解析式; (3)过 l 上一点 P 的直线与A 交于 C、E 两点,且PC CE,求点 E 的坐标; (4)若抛物线与x 轴分
18、别相交于C、F 两点,其顶点P 的横坐标为m,求 PEC 的 面积关于m 的函数解析式. 解(1)由弧长之比为31,可得 BAO 90o 再由 AB AO r,且 OB 2,得 r2 (2) A 的切线l 过原点,可设l 为 ykx 任取 l 上一点 (b, kb),由 l 与 y 轴夹角为45o可得: b kb 或 b kb,得 k 1 或 k1, 直线 l 的解析式为y x 或 yx 又由 r2,易得 C(2, 0)或 C( 2, 0) 由此可设抛物线解析式为y ax(x2)或 yax(x2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为yx 2 2x 或 yx22x 6 分 (3)当
19、l 的解析式为y x 时,由P 在 l 上,可设P(m, m)(m 0) 过 P 作 PP x 轴于 P , OP |m|, PP |m|, OP2m2, 又由切割线定理可得:OP2 PC PE,且 PC CE,得 PCPEm PP 7 分 C 与 P 为同一点,即PEx 轴于 C, m 2,E(2, 2)8分 同理,当l 的解析式为yx 时, m 2, E(2, 2) (4)若 C(2,0),此时l 为 y x, P 与点 O、点 C 不重合,m 0且 m 2 , 当 m0 时, FC2(2m),高为 |yp|即为 m, S 2 2(2)() 2 2 mm mm 0 x y 同理当 0m 2
20、 时, S m22m;当 m2 时, Sm2 2m; S 2 2 2 (02) 2(02) mm mm mmm 或 又若 C(2,0), 此时 l 为 yx,同理可得;S 2 2 2 (20) 2 ( 20) mm mm mmm 或 7. (2006 江苏连云港) 如图,直线4kxy与函数)0,0(mx x m y的图像交于A、 B 两点,且与x、y 轴分别交于C、D 两点 ( 1)若COD的面积是AOB的面积的2倍,求k与m之间的函数关系式; ( 2) 在(1)的条件下, 是否存在k和m,使得以 AB为直径的圆经过点)0, 2(P 若 存在,求出k和m的值;若不存在,请说明理由 解(1)设)
21、,( 11 yxA,),( 22 yxB(其中 2121 ,yyxx), 由 AOBCOD SS2,得)(2 BODAODCOD SSS 2 1 OC2OD( 2 1 OD1y 2 1 OD2y),)(2 21 yyOC, 又4OC,8)( 2 21 yy,即84)( 21 2 21 yyyy, 由 x m y可得 y m x,代入4kxy可得04 2 kmyy 4 21 yy,kmyy 21 , 8416km,即 m k 2 又方程的判别式08416km, 所求的函数关系式为 m k 2 )0(m O P D C B A NMOPD C B A A A x y O ( 2)假设存在k,m,使
22、得以 AB为直径的圆经过点)0,2(P 则 BPAP ,过 A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为M 、N MAP与BPN都与APM互余,MAPBPN RtMAP RtNPB, NB MP PN AM 2 1 2 1 2 2y x x y ,0)2)(2( 2121 yyxx,0)2)(2( 21 21 yy y m y m , 即0)(4)(2 2 212121 2 yyyyyymm 由( 1)知4 21 yy,2 21 yy,代入得0128 2 mm, 2m或6,又 m k 2 , 1 2 k m 或 3 1 6 k m , 存在k,m,使得以 AB为直径的圆经过点)0,2(P ,且 1 2
23、k m 或 3 1 6 k m 8. ( 2004 江苏镇江)已知抛物线 2 (5)5(0)ymxmxm与x 轴交于两点 1 (,0)A x、 2 (,0)B x 12 ()xx,与 y 轴交于点C,且 AB=6. (1)求抛物线和直线BC 的解析式 . (2)在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线BC. (3)若P过 A、 B、 C 三点,求P的半径 . (4)抛物线上是否存在点M,过点M 作MNx轴于点 N,使MBN被直线BC 分成面积比为1 3的两部分?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明 理由 . 解(1)由题意得: 121221 55 ,6. m xxxxxx mm 2 2 1
24、212 520 ()436,36, m xxx x mm 解得 12 5 1,. 7 mm 经 检 验m=1 , 抛 物 线 的 解 析 式 为 : 2 45.yxx 或:由 2 (5)50mxmx得,1x或 5 x m 0,m 5 16,1.m m 抛物线的解析式为 2 45.yxx 由 2 450xx得 12 5,1.xx A( 5, 0), B(1,0), C(0, 5). 设直线 BC 的解析式为,ykxb 则 5,5, 0.5. bb kbk 直线 BC 的解析式为55.yx (2)图象略 . ( 3)法一:在RtAOCD中,5,45 .OAOCOAC 90BPC. 又 22 26,
25、BCOBOC P的半径 2 2613. 2 PB 法二: 由题意, 圆心 P 在 AB 的中垂线上, 即在抛物线 2 45yxx的对称轴直线2x 上,设 P( 2, h)( h 0), 连结 PB、PC,则 222222 (12),(5)2PBhPCh, 由 22 PBPC,即 2222 (12)(5)2hh,解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径 22 (1 2)213PB. 法三: 延长 CP 交P于点 F. CF为P的直径,90 .CAFCOB 又,.ABCAFCACFOCBD D ,. CFACAC BC CF BCOCOC 又 22 555 2,AC 22 5,5126,COBC
26、 5 226 2 13. 5 CF P的半径为13. ( 4)设MN 交直线BC 于点E,点M 的坐标为 2 ( ,45),t tt则点E 的坐标为 ( ,55).tt 若1 3, MEBENB SS DD :则1 3.ME EN: 2 4 3 4,45(55). 3 ENMNttt: 解得 1 1t(不合题意舍去), 2 5 , 3 t 5 40 ,. 39 M 若3 1, MEBENB SS DD :则3 1.ME EN: 2 1 4,454(55).ENMNttt: 解得 3 1t(不合题意舍去), 4 15,t15,280 .M 存在点M,点 M 的坐标为 5 40 , 39 或( 1
27、5, 280). 9.如图, M 与 x 轴交于A、 B 两点,其坐标分别为)03(,A、)01( ,B,直径 CD x 轴于 N,直线 CE 切 M 于点 C,直线FG 切 M 于点 F,交 CE 于 G,已知点 G 的横坐标为3. (1) 若抛物线mxxy2 2 经过 A、 B、D 三点,求m 的值及点D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 . (3) 是否存在过点G 的直线,使它与(1)中抛物线的两个交点的横坐标之和等 于 4?若存在,请求出满足条件的直线的解析式;若不存在,请说明理由. 解 (1) 抛物线过A、 B 两点, 1 1)3( m , m=3. 抛物线为32 2 xx
28、y. 又抛物线过点D, 由圆的对称性知 点 D 为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(,. (2) 由题意知:AB=4. CD x 轴, NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得:NANB=NDNC, NC 4=22. NC=1. C 点坐标为) 11(,. 设直线 DF 交 CE 于 P,连结CF,则 CFP=90. 2+3= 1+4=90. GC、GF 是切线, GC=GF . 3=4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)17( , 设直线 DF 的解析式为bkxy 则 17 4 bk bk 解得 8 27 8 5 b k 直线 DF 的解析式为:
29、8 27 8 5 xy (3) 假设存在过点G 的直线为11bxky, 则13 11 bk,13 11 kb. 由方程组 32 13 2 11 xxy kxky 得034)2( 11 2 kxkx 由题意得42 1 k,6 1 k. F A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 (第 9 题图) A y x O N M G F E D C 当6 1 k时,040, 方程无实数根,方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10.( 2004 山西)已知二次函数 2 1 2 yxbxc的图象经过点A( 3,6),并与 x 轴交于点B( 1,0)和点 C,顶点为P. ( 1)求这个
30、二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象; ( 2)设 D 为线段 OC 上的一点,满足DPC BAC ,求点 D 的坐标; ( 3)在 x 轴上是否存在一点M,使以 M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切?如果存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)解:二次函数 2 1 2 yxbxc的图象过点A( 3,6),B( 1,0) 得 9 36 2 1 0 2 bc bc 解得 1 3 2 b c 这个二次函数的解析式为: 2 13 22 yxx 由解析式可求P(1, 2), C(3,0) 画出二次函数的图像 (2)解法一:易证:ACB PCD45
31、 又已知: DPC BAC DPC BAC DCPC BCAC 易求 6 2,2 2,4ACPCBC 4 3 DC 45 3 33 OD 5 ,0 3 D 解法二:过A 作 AE x 轴,垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证 AEB PFD、 PEEB PFFD .易求: AE6,EB2, PF2 2 3 FD 25 1 33 OD 5 ,0 3 D (3)存在 . (1 )过 M 作 MH AC,MG PC 垂足分别为H、G,设 AC 交 y 轴于 S, CP 的延长线交y 轴于 T x O y SCT 是等腰直角三角形,M 是 SCT 的内切圆圆心, MG MH OM 又2
32、MCOM且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得 3 23,0M (2 )在 x 轴的负半轴上,存在一点M 同理 OM OCM C,2OMOCOM 得3 23OM M 3 23,0 即在 x 轴上存在满足条件的两个点. 11. ( 2004 浙江绍兴)在平面直角坐标系中,A( 1,0), B(3,0). (1)若抛物线过A,B 两点,且与y 轴交于点(0, 3),求此抛物线的顶点 坐标; (2)如图,小敏发现所有过A,B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C, M 为抛物线的顶点,那么ACM 与 ACB 的面积比不变,请你求出这个比值; M T 1 1 -1 -2 4 -3 2 3
33、 0 5 6 E -1 -2 2 3 C x y B D M F S G H P A B C M O x y (3)若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E,F, 与 y 轴交于点C, 过 C 作 CP x 轴交 l 于点 P,M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内 角为 60 的菱形,求次抛物线的解析式. 解(1)32 2 xxy,顶点坐标为(1, 4). ( 2)由题意,设y a(x1)( x3), 即 yax 2 2ax3a, A( 1,0), B(3, 0), C( 0, 3a), M(1, 4a), SACB 2 1 4a36a, 而 a 0, SACB 6A
34、、 作 MD x 轴于 D, 又 SACM SACO SOCMDSAMD 2 1 1 3a 2 1 (3a4a) 2 1 2 4a a, SACM: SACB 1:6. (3)当抛物线开口向上时,设ya(x1) 2k,即 y ax2 2axak, 有菱形可知kak,a k0,k0, k 2 a , yax 22ax 2 a ,2EF. 记 l 与 x 轴交点为D, 若 PEM 60 ,则 FEM 30 ,MD DE tan30 6 6 , k 6 6 ,a 3 6 , 抛物线的解析式为 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy. 若 PEM 120 ,则 FEM 60 ,MD DE tan6
35、0 2 6 , k 2 6 ,a6, 抛物线的解析式为 2 6 626 2 xxy. 当抛物线开口向下时,同理可得 6 6 6 3 2 6 3 1 2 xxy, 2 6 626 2 xxy. 12.(2005 北京)已知:在平面直角坐标系xOy 中,一次函数ykxk4的图象与 x 轴交于点A,抛物线yaxbxc 2 经过 O、 A 两点。 ( 1)试用含a 的代数式表示b; ( 2)设抛物线的顶点为D,以 D 为圆心, DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两 部分。若将劣弧沿x 轴翻折,翻折后的劣弧落在D 内,它所在的圆恰与OD 相切, 求 D 半径的长及抛物线的解析式; ( 3)设点 B
36、是满足( 2)中条件的优弧上的一个动点,抛物线在x 轴上方的部分上 是否存在这样的点P,使得POAOBA 4 3 ?若存在,求出点P 的坐标;若不 存在,请说明理由。 解(1)解法一:一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为( 4, 0) 抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点 cab01640, ba4 解法二:一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为( 4, 0) 抛物线yaxbxc 2 经过 O、A 两点 抛物线的对称轴为直线x2 x b a2 2 ba4 (2)由抛物线的对称性可知,DO DA 点 O 在 D 上,且 DOA DAO 又由( 1)
37、知抛物线的解析式为yaxax 2 4 点 D 的坐标为(24,a) 当a0时, 如图 1,设 D 被 x 轴分得的劣弧为 OmA,它沿 x 轴翻折后所得劣弧为OnA , 显然OnA 所在的圆与D 关于 x 轴对称,设它的圆心为D 点 D与点 D 也关于x 轴对称 点 O 在 D上,且 D 与 D相切 点 O 为切点 DOOD DOA DOA 45 ADO 为等腰直角三角形 OD2 2 点 D 的纵坐标为2 42 1 2 42 a aba, 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 当a0时, 同理可得:OD2 2 抛物线的解析式为yxx 1 2 2 2 综 上 , D半 径 的 长 为22, 抛
38、 物 线 的 解 析 式 为yxx 1 2 2 2 或 yxx 1 2 2 2 (3)抛物线在x 轴上方的部分上存在点P,使得POAOBA 4 3 设点 P 的坐标为( x,y),且 y0 当点 P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时(如图2) 点 B 是 D 的优弧上的一点 O B AA D O 1 2 45 P O AO B A 4 3 60 过点 P 作 PE x 轴于点 E t a n t an P O E EP OE y x yx 60 3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得: x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 ,(舍去) 点 P 的坐标为42 3
39、643, 当点 P 在抛物线yxx 1 2 2 2 上时(如图3) 同理可得, yx3 由 yx yxx 3 1 2 2 2 解得: x y x y 1 1 2 2 42 3 64 3 0 0 , (舍去) 点 P 的坐标为42 364 3, 综上,存在满足条件的点P,点 P 的坐标为 42364 3,或42 364 3, 13. ( 2005 北京丰台)在直角坐标系中, O1经过坐标原点O,分别与x 轴正半 轴、 y 轴正半轴交于点A、 B。 (1)如图,过点A 作O1的切线与 y 轴交于点C,点 O 到直线AB 的距离为 y B O1 O A x C 123 sin 55 ABC,求直线A
40、C 的解析式; (2)若O1经过点 M( 2,2),设 BOA的内切圆的直径为d,试判断d+AB 的 值是否会发生变化,如果不变,求出其值,如果变化,求其变化的范围。 解(1)如图 1,过 O 作OGB于 G,则OG 12 5 设OA k kAOBABC3090 3 5 (),sin ABkOBk54, OA OBAB OGSkkk AOB 2345 12 5 1, OAOBAB345, A(3, 0) A O B 90 ,AB 是O1的直径 AC切O1于 A,BA ACBAC,90 在Rt ABC中 cos,ABC AB BC BC OCBCOB 4 5 25 4 9 4 C()0 9 4
41、, 设直线 AC 的解析式为ykxb,则 30 9 4 kb b kb 3 4 9 4 , 直线 AC 的解析式为yx 3 4 9 4 (2)结论: dAB的值不会发生变化 设 AOB的内切圆分别切 OA、OB、AB 于点 P、 Q、T,如图2 所示 y B M O1 Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOP d BQBTOB d APATOA d ABBTATOB d OA d OAOBd , 2 22 22 , 则d ABdOAOBdOAOB 在 x 轴上取一点N,使 AN=OB ,连接 OM 、BM 、AM 、MN MOM( , ),2 2平分AOBOM,2 2 B
42、O MM O NAMBM MANOBM OBAN 45 , ,又 B O MA N MB O MA N MA N MM O N,45 OMNMOMN,90 OAOBOAANONOMMNOM 22 222 24 dAB的值不会发生变化,其值为4。 14. ( 2005 福建厦门)已知:O 是坐标原点,P(m,n) (m0) 是函数y k x (k 0) 上的点, 过点 P 作直线PAOP 于 P,直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点A(a, 0)(am) . 设 OPA 的面积为s,且 s1 n 4 4 . ( 1)当 n 1 时,求点A 的坐标; ( 2)若 OPAP,求 k 的值; (3 )
43、 设 n 是小于 20 的整数,且k n 4 2 ,求 OP 2 的最小值 . 解过点 P作 PQ x 轴于 Q,则 PQn,OQm (1) 当 n1 时,s 5 4 a 2s n 5 2 (2) 解 1: OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 m n a 2 1 n 4 4 1 2 an 即 n 44n240 k 2 4k4 0 k2 解 2:OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 mn 设 OPQ 的面积为s1 则: s1 s 2 1 2mn 1 2(1 n 4 4 ) 即: n44n24 0 k2 4k4 0 k2 (3) 解 1:PAOP, PQOA OPQ OAP 设:
44、 OPQ 的面积为s1,则 s1 s PO 2 AO 2 即: 1 2k 1 n 4 4 n 2k 2 n 2 4 (1 n 4 4 )2 n 2 化简得: 2n42k2 k n44k0 (k2)( 2kn4) 0 k 2 或 k n 4 2 (舍去 ) 当 n 是小于 20 的整数时,k2. OP2n2 m2 n2 k 2 n 2 又 m0, k 2, n 是大于 0 且小于20 的整数 当 n1 时, OP 25 当 n2 时, OP 25 当 n3 时, OP 2324 3 29 4 9 85 9 当 n 是大于 3 且小于20 的整数时, 即当 n4、5、 6、 19 时, OP 2
45、得值分别是: 4 24 4 2、52 4 5 2、62 4 6 2、 192 4 19 2 192 4 19 2182 4 18 2 32 4 3 25 OP2的最小值是5. 解 2: OP 2n2m2n2k 2 n 2 n 22 2 n 2 (n 2 n) 2 4 当 n 2 n 时,即当n2时, OP 2 最小; 又 n 是整数,而当n1 时, OP 25;n 2 时, OP25 OP2的最小值是5. 解 3:PAOP, PQOA OPQ P AQ PQ QA OQ PQ n am m n 化简得: 2n42k2 k n44k0 (k2)( 2kn 4) 0 k 2 或 k n 4 2 (舍去 ) 解 4:PAOP, PQOA OPQ P AQ s1 ss1 OQ 2 PQ 2 化简得: 2n42k2 k n44k0 (k2)( 2kn 4) 0 k 2 或 k n 4 2 (舍去 ) 解 5:PAOP, PQOA OPQ OAP OP OA OQ OP OP2OQOA 化简得: 2n 42k2 k n44k0 (k2)( 2kn4) 0 k 2 或 k n 4 2 (舍去 ) 15. ( 2005 湖北黄冈课改)如图,在直角坐标系中,O 是原点, A、 B、C 三点的坐 标分别为A(18,0), B(18,6), C(8,6),四边形OABC 是梯形,点P、Q 同
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