中职数学平面向量教案.pdf
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1、复习引入: 新授: 1. 向量的概念 把既有大小、又有方向的量,叫做向量记为向量a,b,c,.等,在书写时,则在小写西文字 符的上方加一个小箭头,例如 a ,b ,c ,.等 如果向量的方向限于平面内,则叫做平面向量 向量的大小是一个非负数量,叫做向量的模记为 |a |,|b|,|c|,.或|a |,|b |,|c |,. 特别地,若一个向量的模为单位1,则叫做 单位向量 ,单位向量常记作e若一个向量的模为 0,则叫做 零向量 ,零向量总是记作0零向量的长度为0,且规定 零向量0的方向是可以任意确 定的 为了更直观的反映确定向量的大小、方向,我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的
2、短线段,箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向,而线段的长度则是它所表示的向量 的模 (即大小 )有时,为了突出短线段的起终点,会以字符标 出起终点 (见图 7-2(2) ,此时可以以AB ,CD, 11C B等表 示向量,而向量的模,也就对应地表示为| AB |,|CD|,| 11C B| 由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素,因此,即使当我们用带箭头的短线段表 示向量时,与带箭头的短线段的起终点是没有关系的为了突出这一点,有时又把向量记作自由 向量 例 1 设矩形 ABCD 的边长为2 和 3,其所有的边及对角线,能构成多少向量?这些向量的 模是多少? 课内练习1 1. 一个正六边
3、形的所有边及中心到各顶点的连线,能构成多少向量?试写出全部所构成的向 量;若正六边形的边长为1,求全部向量的模,并判断哪些向量是单位向量? ca 图 7-2(1) b D C 图 7-2(2) B A B1 C1 2. 向量的比较 (1)向量相等 任意两个数量a,b 都可以比较,其关系不外乎相等(a=b)或不相等 (a b)两种,只要根据两个 数的大小就可以下结论因为向量不但有大小,而且有方向, 所以比较两个向量a ,b 的相等与否, 不但要比较它们的大小,还要比较它们的方向当且仅当a,b 的大小相等 、方向相同时,才能说 a,b 相等 ,并表示成a =b;否则 a , b 就不相等 (ab)
4、在例 1 中的相等向量有且仅有 AB = DC , BA =CD, BC = AD , CB = DA , 更仔细地说, 不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系, 那么向量之间是否也能有大于、 小于关系呢?因为大小、方向的整体组成向量,方向是不能比较大小的,因此向量本身之间也不 能比较大小 ,即两个向量不能谈及孰大孰小当然,向量的模是数量,因此向量的模是可以比较 大小的即使两个向量a ,b 有相同的方向,且|a |b|,我们仍然只能说向量a 的模大于向量b 的 模,而不能说向量a 大于向量b 若 a=b,则把表示 a ,b 的箭头短线段的始点移到同一点时,它们必重合;反之把两条箭头短 线段的
5、始点移到同一点时重合,那么这两条短线段表示相等的向量 或同一向量 例 2 物体从点A 出发位移,第一次沿水平线位移到B,位移量为3;然后继续沿铅直方向 向下位移到C,位移量为4 (1)试以向量表示这二次位移,并在平面上作出这两个位移向量; (2)在 A 的铅直下方4 处标注点D,能否说第二次位移的位移向量是AD ?为什么? (2)相反向量 对数量,若两个数a,b 的绝对值相等但符号相反,则把a,b 叫做一对相反数对向量,若两 个向量 a , b 的长度相等但方向相反,则这一对向量叫做相反向量,记作a=-b 或-a =b对调一个 向量的始点和终点,即得到了它的相反向量,即AB =-BA例如在例1
6、 所有的向量中,共有如 下六对相反向量: AB =- BA , BC =- CB , DC =-CD, DA =- AD , AC =-, CA , BD =- DB 例 3 对例 2 的问题,若记第一次位移向量为a ,第二次位移向量为b,现继续作第三、四 次位移,第三次位移是从C 出发向左移动3 到 D,第四此则从D 返回 A试以 a, b 表示第三、 四次位移 (3)平行向量 若两个向量a , b 的方向相同或相反,则把这一对向量叫做平行向量,也可以说向量a 平行 于向量 b 或向量 b 平行于向量a 规定零向量平行于任意向量. 根据平行向量的方向特征,若向量a 位于直线l 上(即 a 的
7、始终点都在l 上),则只要平移a 的平行向量b,b 也必定能位于直线l 上,因此又把平行向量叫做共线向量 例 4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系 课内练习2 1. 课内练习1 的所有向量中,有哪些是相等向量?哪些是相反向量? 2. 作出一个梯形及其中线,可以构成多少向量?这些向量之间存在哪些关系? 3. 以 F,F1都表 ,示方向向上、大小为 10N 的力,考察把F 作用在 物体 W 的左上角和F1作用在物体W 的右上角两种情况(如附图 ),物 体受力后的移动情况肯定不同,这与F=F1的结论矛盾吗?试作出合理 的解释 第 3 题图 W F1 F 复习引入: 新授: (1
8、)向量的加法运算 向量加法运算的法则 向量 a 加向量 b 的结果 a +b 是按照下列法则生成的一个向量c: 把 b 的始点移到a 的终点 后、从 a 的始点连到b 的终点 记作 c=a+b 与数量相加一样,把a 叫做被加向量,b 叫做加向量, c 叫做和向量 在 a , b 不平行的情况下,c 是重合 a, b 的始 点、以 a , b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量, 其指向与 a , b 同侧 (平行四边形法则,见图 9-9(1) ; 也是是以 a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量 (三角形法则 ,见图 9-9(2)对于三角形 法则我们可以归纳为:首尾相连首尾连 例
9、 4用两种方法作出图9-10(1)中向量 a , b 的和向量c 解(1)按平行四边形法则,把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形,对角线向量即为和向量c (见图 9-10(2) (2)移 b 的始点到a 的终点,从a 的 始点连向 b 的终点的向量即为和向量c(见图 9-10(3) 例 5 (1)若 b=-a,求 c=a+b; (2)若 a , b 平行,求c=a+b 例 6 已知向量a , b, c , d 如图 9- 12,求 f=a +b+c+d 解逐次应用向量加法的法则 移加向量的始点到被加向量的终点,从 图 9-9(1) c ab 图 9-9(2) c a b 图 9
10、-10(3) a b b c 图 9-10(2) c a b 图 9-10(1) 图 9-12 a b d c a b c d f 被加向量的始点连向加向量的终点,得 到和向量f 如图 9-12 所示,其中虚线表 示的向量,从左向右依次是a+b, a +b+c 课内练习3 1. 请举一个向量相加的实际问题 2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况? 3. a+(-a )=0,因此 |a |+|-a|=0,这个结论正确吗?一般地,c=a+b,因此 |c|=|a|+|b|,这个结论 正确吗?由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论? 4. 矩形 ABCD如图,试求 AB
11、+ BC , BC + AB ,BA+ BC ,BA+CB 得到的和向量之间有哪些关系? 5. 矩形 ABCD如第 4 题,求 ( AB + BC )+CD, AB +( BC +CD), AB + BC +DC , BA + BC + DA 得到的和向量之间有哪些关系? 数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律 (a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c),向量的加法运算 同样满足交换律和结合律 a+b=b+a , a +b+c=(a +b)+c=a +(b+c), (2)向量的减法运算 如同数量a,b 相减 a-b, 是被加数a 与加数 b 的相反数 -b 相加一样,所谓向量a ,
12、 b 相减 a - b, 实际上是向量a 与向量 b 的相反向量 - b 相加,即a+(- b)应用向量加法法则,可以得出向量减 法运算的法则图9- 13(1)中是已知向量a , b;图 9-13(2) 显示了 a +(- b);图 9-13(2)显示了 a- b 的直接运算法则,法则的文字 表述是: a- b 的结果是一个向量c, 把 a , b 的始点移到同一点,从 b 的终点连向a 的终点的向量就是c(三角形法则 ) 对于三角形法 则我们可以归纳为:首同尾连,剪头指向被减 第 4 题图 A B C D 图 9-13(1) a b 图 9-13(2) -b a -b a c 图 9-13(
13、3) a b c 记作c=a- ba 叫做被减向量,b 叫做减向量, c 叫做差向量 例 7 在ABC 中,把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量,并把这些向量叫做边 向量为了使CA 是另两条边向量的差,另两条边向量应是怎样的? 例 8 在ABC 中,若边向量为AB ,AC , BC ,求 (1)a= AB + BC + AC ;(2)求 b= AB - BC - AC 课内练习4 1. 在ABC中,把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量,并把这些向量叫做边向 量为了使AB 是另两条边向量的差,另两条边向量应是怎样的? 2. 在矩形 ABCD 中的边向量为AB ,BC ,CD,求 (1
14、)a= AB - BC ;(2)b= BC - AB ;(3)c=CD- BC ;(4)d = AB - BC - CD 因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加,而向量相加运算满足交换律、结合律,这 样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了,例如 a- b=-b+a,a - b- c=a- c- b=a- (b+c) (3)向量的数乘运算 在数量运算中,若a=2,b 是 a 的两倍,则b=2a在例8 向量运算中,我们两次都遇到 a = AC + AC ,b = CB + CB 这样两个相同的向量相加问题,能不能也能简写成a =2 AC , b=2 CB 呢 ? 这 完 全 取 决 与
15、 如 何 规 定2 AC ,2 CB 的 含 义 , 若 规 定 它 们 的 含 义 确 实 与 AC + AC ,CB +CB 相同,那么这种简写就完全合法且合理了为此我们作如下的定义: 一个实数乘以向量a 的结果是一个平行于a 的向量 b,b 的模是 a 的模 | |倍,即 |b|=| | |a|; b 的方向当0 时与 a 的方向相同 ,当0 时与 a 的方向相反 记作 b=a或 b= a , 把向量的这种运算叫做向量的数乘运算 根据向量数乘运算的这种规定,立即可知 -a=-1 a ,a +a=2a, -a-a =-2a 把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来,立即可得向量数乘运算满足
16、下述两个分配 律: ( + )a = a + a , (a+b)= a +b, 其中, 是任意实数, a , b 是任意向量 根据向量的数乘运算,我们有: 如果有一个实数,使 b=a(a 0) ,则 a 与 b 是平行向量; 反之,如果a 与 b 是平行向量,则有且只有一个实数,使 b=a (a 0 ) 例 8 设 c=-2a , d =-3a, f=-2b, g =a -2b,求 h =2a +3f- 3d+4g+2b- 2c 解h =2a +3f -3d +4g+2b- 2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b- 2(-2a ) =2a - 6b+9a +4a -8
17、b+2b+4a =(2+9+4+4) a-( 6+8-2)b=19a -12b 例 9 ABC 的 AC 边长为 a,现把 AB ,BC 边各延长原来的0.8 倍成为A1BC1,求边 A1C1 的长 (见图 9-15) 课内练习5 1. 已知向量a,作出向量 -2a , 3a 2. 已知向量a 的模为 s,求向量b=0.1a , c =-3a , d =2.5a 的模 3. 设 c=-a , d =-3b, f =2b, g =-2a -b,求 h=2a- 3c + 3f- 3d- 3g-2b 4. 甲、乙两人从同一点出发,取不同方向前行 当甲行进2km、 乙行进 6km 时两人相距4km,
18、问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km 时,两人相距多少? 复习引入: 新授: 1 平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量 设在平面上已经建立了一个直角坐标系xOy 方向为 x 轴正向的 单位向量i、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向 量(见图 9-16) (2)平面向量的直角坐标 在坐标平面上给定了向量a ,平移其始点到原点后(见图 7-17),设 其终点 A 的坐标为 (x,y)把 (x,y )叫做向量a 的坐标,记作 a=OA=(x,y) 若向量 a 的坐标为 (x,y),则其模可以用坐标表示为 |a |= 22 yx (7-2-1) 坐标基底向量也
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