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1、二元一次方程 (组)及其应用 一、选择题 1. (2014?山东烟台, 第 5 题 3 分) 按如图的运算程序, 能使输出结果为3 的 x, y 的值是() A x=5,y= 2 Bx=3,y=3 Cx=4,y=2 Dx=3,y=9 考点: 实数的运算,二元一次方程的解 分析: 根据运算程序列出方程,再根据二元一次方程的解的定义对各选项分析判断利用 排除法求解 解答: 由题意得, 2xy=3,A、x=5 时, y=7,故本选项错误; B、 x=3 时, y=3,故本选项错误;C、x=4 时, y=11,故本选项错误; D、x=3 时, y=9,故本选项正确故选D 点评: 本题考查了代数式求值,
2、主要利用了二元一次方程的解,理解运算程序列出方程 是解题的关键 2.(2014?江西抚州,第6 题, 3 分)已知a、b满足方程组 22 26 ab ab ,则3ab的值为 () A. 8 B. 4 C. -4 D. -8 解析:选A. 方程 (1)+ 方程 (2) 即可得ab38. 3.(2014?娄底 4 ( 3 分) )方程组的解是() A BCD 考点 :解二元一次方程组 分析:用加减法解方程组即可 解答: 解:, (1)+(2)得, 3x=6, x=2, 把 x=2 代入( 1)得, y=1, 原方程组的解 故选 D 点评:此题考查二元一次方程组的解法 二、填空题 1. (2014?
3、山东枣庄,第14 题 4 分)已知 x、y 是二元一次方程组的解,则代数式 x 24y2 的值为 考点 :二元一次方程组的解;因式分解-运用公式法 分析:根据解二元一次方程组的方法,可得二元一次方程组的解,根据代数式求值 的方法,可得答案 解答: 解:, 2得 8y=1, y=, 把 y=代入得 2x=5, x=, x 24y2 =()=, 故答案为: 点评:本题考查了二元一次方程组的解,先求出二元一次方程组的解,再求代数式 的值 2. (2014?浙江杭州,第13 题, 4 分)设实数x、y 满足方程组,则 x+y=8 考点 :解二元一次方程组 专题 :计算题 分析:方程组利用加减消元法求出
4、解得到x 与 y 的值,即可确定出x+y 的值 解答: 解:, +得:x=6,即 x=9; 得:2y=2,即 y=1, 方程组的解为, 则 x+y=9 1=8 故答案为: 8 点评:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加 减消元法 3. (2014?江苏苏州 , 第 16 题 3 分)某地准备对一段长120m的河道进行清淤疏通若甲工程 队先用 4 天单独完成其中一部分河道的疏通任务,则余下的任务由乙工程队单独完成需要9 天;若甲工程队先单独工作8 天,则余下的任务由乙工程队单独完成需要3 天设甲工程队 平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym,则(
5、 x+y)的值为20 考点 :二元一次方程组的应用 分析:设甲工程队平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym ,就有 4x+9y=120, 8x+3y=120,由此构成方程组求出其解即可 解答:解:设甲工程队平均每天疏通河道xm,乙工程队平均每天疏通河道ym,由题意,得 , 解得: x+y=20 故答案为: 20 点评:本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,工程 问题的数量关系的运用,解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键 4. (2014?年山东东营, 第 15 题 4 分) 如果实数x,y 满足方程组,那么代数式 (+2)的值为1 考点
6、:分式的化简求值;解二元一次方程组菁优网 专题:计算题 分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,同时利用除法法则变形, 约分得到最简结果,求出方程组的解得到x 与 y 的值,代入计算即可求出值 解答:解:原式 =?( x+y) =xy+2x+2y, 方程组,解得:, 当 x=3,y=1 时,原式 =3+62=1 故答案为: 1 点评:此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键 5. (2014?江苏徐州 , 第 11 题 3 分)函数y=2x 与 y=x+1 的图象交点坐标为(1,2) 考点:两条直线相交或平行问题菁优网 专题:计算题 分析:根据两条直线的交点坐标
7、,就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二 元一次方程组的解,所以解方程组即可得到两直线的交点坐标 解答:解:解方程组得, 所以函数y=2x 与 y=x+1 的图象交点坐标为(1,2) 故答案为( 1,2) 点评:本题考查了两条直线相交或平行问题:两条直线的交点坐标,就是由这两条直线相 对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解;若两条直线是平行的关系,那么他们 的自变量系数相同,即k 值相同 三、解答题 1. (2014?山东威海,第19 题 7 分)解方程组: 考点 :解二元一次方程组 专题 :计算题 分析:方程组利用加减消元法求出解即可 解答: 解:方程组整理得:, 得: 3
8、y=3,即 y=1, 将 y=1 代入得: x=, 则方程组的解为 点评:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有: 代入消元法与加减消元法 2.(2014 山东济南,第24 题, 8 分) (本小题满分8 分) 2014 年世界杯足球赛在巴西举行, 小李在网上预订了小组赛和淘汰赛两个阶段的球票共10 张,总价为5800 元其中小组赛球 票每张 550 元,淘汰赛球票每张700 元,问小李预定了小组赛和淘汰赛的球票各多少张? 【解析】设小李预定了小组赛球票x张,淘汰赛球票y张,由题意有 5 8 0 0700550 10 yx yx ,解之 2 8 y x 所以,小李预定了小组
9、赛球票8 张,淘汰赛球票2 张 3. (2014?山东聊城,第22 题, 8 分)某服装店用6000 元购进 A,B 两种新式服装,按标价 售出后可获得毛利润3800 元(毛利润 =售价进价) ,这两种服装的进价、标价如表所示: 类型 价格 A 型B 型 进价(元 /件)60 100 标价(元 /件)100 160 (1)这两种服装各购进的件数; (2)如果 A 中服装按标价的8折出售, B 中服装按标价的7 折出售,那么这批服装全部售 完后,服装店比按标价出售少收入多少元? 考点 :二元一次方程组的应用 分析:(1)设 A 种服装购进x 件, B 种服装购进y 件,由总价 =单价 数量和利润
10、 =售价进 价建立方程组求出其解即可; (2)分别求出打折后的价格,再根据总利润=A 种服装的利润 +B 中服装的利润,求出 其解即可 解答:解: (1)设 A 种服装购进x 件, B 种服装购进y 件,由题意,得 , 解得: 答: A 种服装购进50 件, B 种服装购进30 件; (2)由题意,得 380050(100 0.8 60) 30(160 0.7100) =38001000 360 =2440(元) 答:服装店比按标价出售少收入2440 元 点评:本题考查了销售问题的数量关系的运用,列二元一次方程组解实际问题的运用,解答 时由销售问题的数量关系建立二元一次方程组是关键 4.(20
11、14 年贵州黔东南)黔东南州23 (12 分)某超市计划购进一批甲、乙两种玩具,已知5 件甲种玩具的进价与3 件乙种玩具的进价的和为231 元, 2 件甲种玩具的进价与3 件乙种玩 具的进价的和为141 元 (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元? (2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过20 件,超出部分可以享受 7 折优惠,若购进x(x0)件甲种玩具需要花费y 元,请你求出y 与 x 的函数关系式; (3)在( 2)的条件下,超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种,且数量超过20 件,请 你帮助超市判断购进哪种玩具省钱 考点:一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一
12、元一次不等式的应用 分析:(1)设每件甲种玩具的进价是x 元,每件乙种玩具的进价是y 元,根据 “ 5 件甲种 玩具的进价与3 件乙种玩具的进价的和为231 元, 2 件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进 价的和为141 元” 列出方程组解决问题; (2)分情况:不大于20 件;大于20 件;分别列出函数关系式即可; (3)设购进玩具x 件( x20) ,分别表示出甲种和乙种玩具消费,建立不等式解决问题 解答:解: (1)设每件甲种玩具的进价是x 元,每件乙种玩具的进价是y 元,由题意得 , 解得, 答:件甲种玩具的进价是30 元,每件乙种玩具的进价是27 元; (2)当 0x 20 时, y=
13、30x; 当 x20 时, y=20 30+( x20) 30 0.7=21x+180; (3)设购进玩具x 件( x20) ,则乙种玩具消费27x 元; 当 27x=21x+180 , 则 x=30 所以当购进玩具正好30 件,选择购其中一种即可; 当 27x21x+180 , 则 x30 所以当购进玩具超过30 件,选择购甲种玩具省钱; 当 27x21x+180 , 则 x30 所以当购进玩具少于30 件,选择购乙种玩具省钱 点评:此题考查二元一次方程组,一次函数,一元一次不等式的运用,理解题意,正确劣 势解决问题 5.( ( 2014 年河南 ) 21,10 分)某商店销售10 台 A
14、型和 20 台 B 型电脑的利润为4000 元,销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利润为3500 元 (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润; (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100 台,其中B 型电脑的进货量不超过A 型电 脑的 2 倍。设购进A 掀电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润为y 元。 求 y 与 x 的关系式; 该商店购进A 型、 B 型各多少台,才能使销售利润最大? (3)实际进货时,厂家对A 型电脑出厂价下调m( 0m100)元,且限定商店最多购进A 型电脑 70 台。若商店保持两种电脑的售价不变,请你以上信息及(2)中的条件,设计出使
15、 这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案。 解: ( 1)设每台A 型电脑的销售利润为a元,每台B 型电脑的销售利润为b 元, 则有 10a20b4000 20a 10b=3500 解得 a=100 b=150 即每台 A 型电脑的销售利润为100 元,每台B 型电脑的销售利润为150 元. 4分 (2)根据题意得y100x150(100x),即 y 50x15000 5分 根据题意得100x2 x,解得 x 33 1 3 , y 50x+15000, 500, y 随 x 的增大而减小. x 为正整数,当x=34 最小时, y 取最大值,此时100 x=66. 即商店购进A 型电脑 34
16、 台, B 型电脑 66 台,才能使销售总利润最大7 分 (3)根据题意得y( 100+m)x 150(100 x),即 y( m50)x15000. 33 1 3 x 70. 当 0m50 时, m500,y 随 x 的增大而减小 当 x =34 时, y 取得最大值 即商店购进34 台 A 型电脑和66 台 B 型电脑才能获得最大利润;8 分 当 m=50 时, m50=0,y15000 即商店购进A 型电脑数最满足33 1 3 x 70 的整数时,均获得最大利润;9 分 当 50m100 时, m50 0,y 随 x 的增大而增大 x=70 时, y取得最大值 即商店购进70 台 A 型
17、电脑和30 台 B 型电脑才能获得最大利润10分 6( 2014?四川宜宾,第21 题, 8 分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x、y 均 为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的 格点数记为L,例如图中 ABC 是格点三角形,对应的S =1,N=0, L=4 (1)求出图中格点四边形DEFG 对应的 S,N,L (2)已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中 a,b 为常数,若某格点多边形对应 的 N=82,L=38,求 S的值 考点 :规律型:图形的变化类;三元一次方程组的应用 分析:(1)理解题意,观察图形,即可求得结论;
18、(2)根据格点多边形的面积S=N+aL+b,结合图中的格点三角形ABC 及 格点四边形DEFG ,建立方程组,求出a, b 即可求得S 解答:解:( 1)观察图形,可得S=3,N=1,L=6; ()根据格点三角形ABC 及格点四边形DEFG 中的 S、N、L 的值可得, , 解得 a, S=N+L1, 将 N=82,L=38 代入可得S=82+381=100 点评:此题考查格点图形的面积变化与多边形内部格点数和边界格点数的关系, 从简单情况分析,找出规律解决问题 7( 2014?四川遂宁,第19 题, 9 分)我市某超市举行店庆活动,对甲、乙两种商品实行打 折销售打折前,购买3 件甲商品和1
19、件乙商品需用190 元;购买2 间甲商品和3 件乙商品 需用 220 元而店庆期间,购买10 件甲商品和10 件乙商品仅需735 元,这比不打折前少花 多少钱? 考点 :二元一次方程组的应用 专题 :应用题 分析:设甲商品单价为x,乙商品单价为y,根据购买3 件甲商品和1 件乙商品需用190 元; 购买 2 间甲商品和3 件乙商品需用220 元, 列出方程组, 继而可计算购买10 件甲商品 和 10 件乙商品需要的花费,也可得出比不打折前少花多少钱 解答:解:设甲商品单价为x,乙商品单价为y, 由题意得:, 解得:, 则购买 10 件甲商品和10 件乙商品需要900 元, 打折后实际花费735
20、, 这比不打折前少花165 元 答:这比不打折前少花165 元 点评:本题考查了二元一次方程组的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的 条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解 8.(2014?四川凉山州,第24 题, 8 分)我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1000 株用以绿 化校园,甲种树苗每株25 元,乙种树苗每株30 元,通过调查了解,甲,乙两种树苗成活率 分别是 90%和 95% (1)若购买这种树苗共用去28000 元,则甲、乙两种树苗各购买多少株? (2)要使这批树苗的总成活率不低于92%,则甲种树苗最多购买多少株? (3)在( 2)的条件下,应如何选购树苗,使购买
21、树苗的费用最低?并求出最低费用 考点 :一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用 分析:(1) 设购甲种树苗x 株, 乙种树苗y 株, 根据购买两种树苗的总价为28000 元建立方程组求出其解即可; (2)购买甲种树苗a 株,则购买乙种树苗(1000a)株,由这批树苗的 总成活率不低于92%建立不等式求出其解即可; (3)设购买树苗的总费用为W 元,根据总费用 =两种树苗的费用之和建立 解析式,由一次函数的性质求出结论 解答:解:( 1)设购甲种树苗x 株,乙种树苗y 株,由题意,得 , 解得: 答:购甲种树苗400 株,乙种树苗600 株; (2)购买甲种树苗a 株,则购买乙种树苗(1000a)株,由题意,得 90%a+95%(1000a) 92% 1000, 解得: a600 答:甲种树苗最多购买600 株; (3)设购买树苗的总费用为W 元,由题意,得 W=25a+30(1000a) =5a+30000 k=50, W 随 a 的增大而减小, 0a600 , a=600 时, W 最小 =27000 元 购买家中树苗600 株 乙种树苗400 株时总费用最低, 最低费用为27000 元 点评:本题考查了总价=单价 数量的运用,列二元一次方程解实际问题的运用, 一元一次不等式的解法的运用,一次函数的运用,解答时求出一次函数的 解析式是关键
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