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1、第一讲勾股定理 模块 1、常见勾股数及辅助线 例 1 (1)如图,下列未知边的长度分别是、。 (2)如图,下列图形的面积分别是、。 解: (1)应用勾股定理: 第 1 个直角三角形中两条直角边分别是3 和 4,所以斜边长为5; 第 2 个直角三角形中斜边长为13,一条直角边长为5,所以另一条直角边的长为12; 第 3 个直角三角形中,斜边长为25,一条直角边长为24,所以另一条直角边的长为7。 (2)第 1个直角三角形的斜边长为10,一条直角边长为8,另一条直角边长为6, 所以三角形的面积是 1 8 624 2 ; 第 2 个直角三角形的斜边长为1.3,一条直角边长为1.2,另一条直角边长为0
2、.5, 所以三角形的面积是 1 1.2 0.50.3 2 ; 第 3 的图形中,小直角三角形的两条直角边分别为2 和 1.5,它的面积是S1=1.5, 斜边长为2.5,大直角三角形的斜边是6.5,一条直角边长为2.5,所以另一条直角边长为6, 面积 S2= 1 2.5 67.5 2 , 于是面积等于S1+S2=9. 例 2 (1)如左图,梯形的周长为,面积为;如右图,梯形的周长为,面积 为; ? ? ? 25 24 13 5 4 3 10 8 1.3 1.2 0.6 1.5 1.2 1.3 20 22 10 16 12 20 22 10 0.60.5 0.9 0.6 1.5 1.2 1.3 6
3、.5 1.5 2 (2) 下图的梯形ABCD 的对角线AC 和 BD 相互垂直,已知 AD=3, AC=9, BD=12, 则 BC 的长度为。 解: (1)如图,平移得到直角三角形,斜边为20,一条直角边长为12,所以另一条直角边长为16, 于是周长 =20+10+16+22=68 ,面积 = 1 16(1022)256 2 ; 第 2 个图中,做出两条高线,得到两个直角三角形,求得两条直角边长分别为0.5, 0.9, 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2 , 梯形的周长 =0.6+2+1.3+1.5=5.4 , 面积 = 1 1.2 (0.62)1.56 2 。 (2)如图平移AC
4、 到 DE,连结 CE,CE=AD=3,DE=AC=9, 在直角三角形BDE 中, BD=12,DE=9,所以斜边BE=15, 解得 BC=BE- CE=15-3 =12。 模块 2、勾股定理及其重要模型 例 3 (1)以直角三角形ABC 的三边向外做三个正方形,正方形内的数代表正方形的面积,求未知正方形 的面积为。 (2)下面的图形是以直角三角形ABC 的三边为直径向外做半圆得到,半圆内的数表示所在半圆的面积,求 未知半圆的面积为。 解: (1)AB2=3,BC 2=14,所以 AC2=3+14=17 ; D C B A 12 9 3 E C B A D C B A ? 14 3 15 7
5、? (2)最小的半圆面积等于 2 r1 2=7,第二个半圆面积等于 2 r2 2=15, 所以最大的半圆的面积等于 2 (r1 2+r 2 2)=7+15=22. 例 4 (1)下图是由两个直角三角形构成,求问号处的边长是。 (2)下图是由一个两条直角边长都是1 的直角三角形向外做直角三角形得到的,形成一共一个美丽的螺旋 图案,第8 个直角三角形的斜边长是;如果一直螺旋下去,第个直角三角形的斜边长是10. 解: (1)由勾股定理,下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、 2,斜边的平方=1+4=5, 这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4,它们的和等于9,所以问号处的边长等于3.
6、(2)最小的直角三角形的斜边长的平方,等于 2,第 2 个直角三角形的斜边的平方等于3, 第 3 个直角三角形的斜边的平方等于4, ,第 8 个直角三角形的斜边的平方等于9, 斜边长等于3, 第 n 个直角三角形的斜边的平方等于10 2=100,所以这是第 99 个直角三角形。 例 5 (1)某直角三角形三条边长都是整数,其中一条直角边长是8,求另外两条边的长度分别为 和。 (2)某直角三角形的一条直角边长为6,周长是15,求它的面积为。 (3) 如图, 长方形 ABCD 的长是 5, 宽是 1, 现将长方形的右下角折到左上角,三角形 ABM 的面积是。 解: (1)设斜边长为a,另一条直角边
7、的长为b,所以 a2- b2=64,得 64=(a+b)(a- b), 64=2 6,又 a+b、a- b 都是整数,且 a+b与 a- b 同奇同偶, 2 2 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N M D CB A 5 所以可以是 32 2 ab ab ,或 16 4 ab ab ,解得 17 15 a b 或 10 6 a b 。 (2)直角三角形的一条直角边长为6,周长是15,设斜边为a,则另一条直角边是9- a, 得 22 36(9)aa,解得 a=6.5, 9- a=2.5,所以三角形的面积= 1 62.57.5 2 ; (3)设 BM=a,MC=5- a,AM=M C
8、=5- a,在直角三角形ABM 中,有勾股定理得 AM 2=AB2+BM2,得22 (5)1aa,解得 a=2.4,所以三角形ABM 的面积 = 1 1 2.41.2 2 。 模块 3 有趣的路径问题 例 6 (1)如图是一个铁丝围成的长方体铁架,长、宽、高分别为7 厘米、 2 厘米、 3 厘米,一只蚂蚁在A 点,蚂蚁需要爬到B 点处,如果只能沿着长方体的棱爬,最短路径是厘米。 (2)如图是一个长方体木块,长、宽、高分别为9 厘米、 7 厘米、 5 厘米,一只蜘蛛在A 点蜘蛛需要爬到B 点,如果只能沿着长方体木块的表面爬,最短路径为厘米。 解: (1)7+3+2=12 厘米; (2)有三种路线
9、,分别是7+94=71310.6; 2+949=2+589.6; 3+494=3+5310.28; 所以最短路径为9.6 厘米。 随堂测试 1下图是一个长方形点阵,相邻两点距离为1 厘米,求图中多边形的周长为厘米。 B A B A 解:如图,连结两条辅助线,把图形分成一个小正方形和两个直角三角形, 小正方形的边长为1,小直角三角形的斜边长是5,大直角三角形的斜边长是13, 所以图形的周长为5+2+1+13+13=34 。 2如图是一个直角梯形ABCD,其中 AD=4,AB=12, BC=9,求阴影三角形的周长为。 解:过 D 做 DE 垂直于 BC,交 BC 于点 E,则 BE=4, EC=5
10、,DE=AB=12, 在直角三角形DEC 中,斜边DC=13,在直角三角形ABC 中, AB=12,BC=9,所以斜边AC=15, 所以三角形ACD 的周长是4+13+15=32 。 3下图是由三个直角三角形组成的,求问号处的边长为。 解:最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1 和 6,所以它的斜边长的平方等于1+36=37, 中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16 和 37,它的斜边的平方等于53, 最上面的直角三角形的斜边的平方是53,一条直角边的平方等于4, 所以另一条直角边的平方等于53- 4=49,于是这条直角边的长度是7。 4三角形 ABC 中,AD 是一条高,分别以AB、
11、BD、DC、CA 为边向外做正方形,一些正方形的面积已知, 正方形内的数代表正方形的面积,求问号处正方形的面积为。 D CB A 9 4 12 54 E D CB A4 12 1 ? 6 4 2 解:由图知AC 的平方等于10,CD 的平方等于6,所以 AD 的平方等于10- 6=4, 问号处的正方形的面积等于BD 2,BD2=AB2- AD2=27-4 =23 5如图,一个直角三角形ABC 的直角边AB 长为 5,BC 长为 12,将直角折到斜边上,即三角形ABD 折到 三角形 AED 的位置,求三角形DEC 的面积为。 解:直角三角形ABC 的直角边AB 长为 5,BC 长为 12,所以斜边AC=13, 由题意知AE=AB,所以 AE=5,CE=13-5 =8, 设 BD=DE=x,则 DC=12- x,有勾股定理得DC 2=DE2+EC2, 所以 (12- x)2=x2+82,解得 x= 10 3 ,所以三角形DEC 的面积等于 110 8 23 = 40 3 。 10 6 ? 27 D C B A E D C B A
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