人教版七年级下数学第七章-三角形-知识点考点典型例题(含答案).pdf
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1、第七章三角形 【知识要点】 一认识三角形 1关于三角形的概念及其按角的分类 定义:由 不在同一直线上的三条线段 首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2三角形的分类: 三角形按内角的大小分为三类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 三角形按边分为两类:等腰三角形和不等边三角形。 2关于三角形三条边的关系(判断三条线段能否构成三角形的方法、 比较线段的长短) 根据公理“ 两点之间,线段最短”可得: 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 3与三角形有关的线段 :三角形的角平分线、中线和高 三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段; 三角形的中线:连接
2、三角形的一个顶点与对边中点的线段,三角形任意一条中线将三角形分成面积 相等的 两个部分; 三角形的高:过三角形的一个顶点做对边的垂线,这条垂线段叫做三角形的高。 注意:三角形的角平分线、中线和高都是线段 ,不是直线,也不是射线; 任意一个三角形都有三条角平分线,三条中线和三条高; 任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置: 锐角三角形的三条高都在三角形的内部;直角三角形有一条高在三角形的内部,另两条高恰好是它两条直 角边;钝角三角形一条高在三角形的内部,另两条高在三角形的外部。 一个三角形中,三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在的直线交于
3、一点。(三 角形的三条高(或三条高所在的直线)交与一点,锐角三角形高的交点在三角形的内部,直角三角形高的 交点是直角顶点,钝角三角形高(所在的直线)的交点在三角形的外部。) 4三角形的内角与外角 (1)三角形的内角和:180 引申:直角三角形的两个锐角互余; 一个三角形中至多有一个直角或一个钝角; 一个三角中至少有两个内角是锐角。 (2)三角形的外角和:360 (3) 三角形外角的性质: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;常用来求角度 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。常用来比较角的大小 5. 多边形的内角与外角 (1)多边形的内角和: (n-2 )180 (2)多边形
4、的外交和:360 引申:(1)从 n 边形的一个顶点出发能作(n-3 )条对角线; (2)多边形有 2 )3(nn 条对角线。 (3)从 n 边形的一个顶点出发能将n 边形分成( n-2 )个三角形; 6镶嵌 (1)同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌; (2)正三角形与正四边形、正三角形与正六边形可以进行平面镶嵌; (1)同一种任意三角形、任意四边形可以进行镶嵌。 【典型例题】 考点一:三角形的分类 例题 1:具备下列条件的三角形中,不是直角三角形的是( B ) 。 A: A+B=C B : A= B= C C : A=90- B D : A-B=90 例题 2:等腰三角形一腰
5、上的高与另一腰的夹角为30,则顶角的度数为( D ) A60 B120 C60或 150 D 60或 120 考点二:三角形三边的关系 例题 1:已知:如图1, ABC 中, D 是 AB 上除顶点外的一点., 求证: AB+ACDB+DC; 变式一:已知:如图3, ABC 中,点 P 为 ABC 内任一点求证:AB+BC PB+PC 延长 BP 与 AC 交于点 D, 根据三角形三边的关系:有)1 (BDBPADABBDADAB即 )2(PCDCPD (1)+(2)-PD 得PCPBACAP 变式二:如图2,点 P 为 ABC 内任一点,求证:PA+PB+PC 2 1 (AB+BC+AC);
6、 变式三:如图3, D、 E是 ABC 内的两点,求证:AB+ACBD+DE+EC. 例题 2:现有两根木棒,它们的长分别是40cm 和 50cm,若要钉成一个三角形木架,则在下列四根木棒中 应选取长为(C) A.100cm 的木棒B.90cm 的木棒C.40cm 的木棒D.10cm 的木棒 练习: 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( D ) P C B A 图 2 ED C B A 图 3 图1 A B C D A、 3 ,4,8 B、 5 ,6,11 C 、 1 ,2,3 D 、 5 ,6,10 2. 一个等腰三角形的两条边长分别为8 和 3 ,那么它的周长为 19cm . 考点三
7、:三角形的中线的性质 例题 1:将 ABC 分成面积相等的四个三角形。 例题 2:已知:如图,AD 、BC 、DE是 ABC 的三条中线, O 为交点。 求证:(1) ABCAOE SS 6 1 (2) 1:2: ODAO 练习 : 1. 如图 5, 在 ABC中,已知点 D, E, F 分别为边BC , AD , CE的中点, 且 ABC S= 4 2 cm, 则S阴影等于 ( B ) A2 2 cm B. 1 2 cm C. 1 2 2 cm D. 1 4 2 cm 考点四:三角形的稳定性 三角形的三边确定了,那么它的形状、大小都确定了,三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性例如起 重机的支
8、架采用三角形结构就是这个道理 练习: 1. 不是利用三角形稳定性的是( ) A、自行车的三角形车架 B 、三角形房架 C 、照相机的三角架 D、矩形门框的斜拉条 2. 下列图形中具有稳定性的有() A 、正方形 B、长方形 C、梯形 D、 直角三角形 考点五:三角形的外角与不相邻的内角的关系 例题 1:如图,已知点P在 ABC内任一点,试说明A与 P的大小关系。 例题 2:如图 4, 1+2+3+4 等于多少度;( 280) A C B D E F O A B C 方法一 A B C 方法二 A B C 方法三 _ F _ E _ D_ B_ C _ A P C B A ? 4 4 3 2 1
9、 40 4题图 E BD A C H 练习: 1、如图,下列说法错误的是( A ) A、 B ACD B、 B+ACB =180 A C、 B+ACB B 2、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( C ). A、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定 考点六: 三角形的内角和、外角和相关的计算与证明 例题 1:若三角形的三个外角的比为3:4:5,则这个三角形为( B ) A锐角三角形 B直角三角形 C等边三角形D钝角三角形 例题 2:已知等腰三角形的一个外角为150,则它的底角为_. 练习: 1、如图,若AEC=100 , B=45, C=38,则
10、 DFE等于 ( A ) A. 125 B. 115 C. 110 D. 105 2、如图, 1=_. 3、如图,则1=_, 2=_, 3=_, 4、已知等腰三角形的一个外角是120,则它是 ( C ) A.等腰直角三角形 B.一般的等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰钝角三角形 5、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180,那么与这个外角相邻的内角的度数为 ( C ) A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 6、已知三角形的三个外角的度数比为2 34,则它的最大内角的度数( D ). A. 90 B. 110 C. 100 D. 120 例题 2:如图 , 已知ABC
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