2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第8讲立体几何中的向量方法二求空间角练习理北师大版.pdf
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1、第 8 讲立体几何中的向量方法(二)求空间角 一、选择题 1. (2016长沙模拟) 在正方体A1B1C1D1ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0 , 0,0) ,C(1,1,0),B1(1 , 0,1) ,D(0,1,0). AC (1 ,1,0) ,B1D ( 1,1, 1), AC B1D 1( 1)110( 1)0, AC B1D , AC与B1D所成的角为 2 . 答案D 2. (2017郑州调研) 在正方体ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面ACD 1所成角的正弦值为
2、( ) A. 3 2 B. 3 3 C. 3 5 D.2 5 解析设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 则B(1 ,1, 0) ,B1(1 ,1, 1) ,A(1 ,0, 0),C(0 ,1,0) ,D1(0,0, 1) , 所以BB1 (0, 0,1),AC ( 1,1,0),AD1 ( 1,0,1). 令平面ACD1的法向量为n(x,y,z) ,则nAC xy0,nAD1 xz0,令x 1,可得n (1 ,1, 1) , 所以 sin |cos n,BB1 | 1 31 3 3 . 答案B 3. 在正方体AB
3、CDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面 角的余弦值为 ( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 2 解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,设棱长为1, 则A1(0 ,0,1) , E1,0,1 2 ,D(0 ,1,0) , A1D (0 ,1, 1), A1E 1,0, 1 2 , 设平面A1ED的一个法向量为n1(1 ,y,z) ,所以有 A1D n10, A1E n10, 即 yz0, 1 1 2z 0, 解得 y2, z2. n1 (1 ,2, 2). 平面ABCD的一个法向量为n2(0 ,0,1) , co
4、s n1,n2 2 31 2 3. 即所成的锐二面角的余弦值为 2 3. 答案B 4.(2017 西安调研) 已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正三棱 柱,D是侧棱CC1的中点,则直线CC1与平面AB1D所成的角为 ( ) A.45 B.60 C.90 D.30 解析如图所示,取AC的中点N,以N为坐标原点,建立空间直角坐标系. 则A0, a 2, 0 , C0,a 2,0 , B1 3a 2 ,0,a,D0, a 2, a 2 ,C10,a 2, a, AB1 3a 2 , a 2, a,AD 0,a, a 2 ,CC1 (0 ,0,a). 设平面AB1D的法向量为n(x,y,z
5、) , 由nAB1 0,nAD 0,可取n(3,1, 2). cosCC1 ,n CC1 n |CC1 |n| 2a a22 2 2 , 直线CC1与平面AB1D所成的角为45. 答案A 5. 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是 ( ) A. 3 2 B. 2 2 C.2 2 3 D. 23 3 解析如图建立坐标系. 则D1(0,0,2) ,A1(2 ,0,2) ,B(2,2,0) ,D1A1 (2 ,0,0) ,DB (2, 2,0), 设平面A1BD的一个法向量 n(x,y,z) ,则 nDA1 0, nDB 0, 2x2z0, 2x2y0,令 z
6、1,得n( 1,1, 1). D1到平面A1BD的距离d |D1A1 n| |n| 2 3 23 3 . 答案D 二、填空题 6. (2017新余月考) 如图所示, 在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC, ABBCAA1,ABC90,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线 EF和BC1所成的角是 _. 解析以BC为x轴,BA为y轴,BB1为z轴,建立空间直角坐标系. 设ABBCAA12, 则C1(2 ,0, 2) ,E(0 ,1,0) ,F(0 , 0,1) , 则EF (0, 1,1),BC1 (2,0,2),EF BC1 2, cosEF ,BC1 2 222 1 2, EF
7、和BC1所成的角为60. 答案60 7. 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1 2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 _. 解析以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图. 设AA12AB2, 则D(0 ,0,0) ,C(0,1,0),B(1 ,1,0) ,C1(0 ,1,2) ,则DC (0 ,1, 0) ,DB (1 ,1,0), DC1 (0,1,2). 设平面BDC1的一个法向量为n(x,y,z) ,则nDB ,nDC1 ,所以有 xy0, y2z0, 令y 2,得平面BDC1的一个法向量为n (2 , 2,1). 设CD与平面BDC1所成的角为,则 sin |cos
8、n,DC | nDC |n|DC | 2 3. 答案 2 3 8. 已知点E,F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,则 平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_. 解析延长FE,CB相交于点G,连接AG,如图所示 . 设正方体的棱长为3,则GBBC3,作BHAG于点H,连接EH,则 EHB为所求二面角的平面角. BH3 2 2 ,EB1, tan EHBEB BH 2 3 . 答案 2 3 三、解答题 9. (2015全国卷) 如图,四边形ABCD为菱形,ABC120, E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面AB
9、CD, BE2DF,AEEC. (1) 证明:平面AEC平面AFC, (2) 求直线AE与直线CF所成角的余弦值. (1) 证明如图,连接BD,设BDACG,连接EG,FG,EF. 在菱形ABCD中,不妨设GB1. 由ABC120,可得AGGC 3. 由BE平面ABCD,ABBC,可知AEEC. 又AEEC, 所以EG3,且EGAC. 在 Rt EBG中,可得BE2,故DF 2 2 . 在 RtFDG中,可得FG 6 2 . 在直角梯形BDFE中,由BD2,BE2,DF 2 2 ,可得EF 32 2 , 从而EG 2 FG 2 EF 2,所以 EGFG. 又ACFGG,可得EG平面AFC. 因
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