人教版八年级数学分式知识点及典型例题.pdf
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1、分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中, yx 15 、8a2b、- 23 9a 、 yx ba 2 5 、 4 3 22 ba 、2- a 2 、 m 1 、 6 5xy x 1 、 2 1 、 2 1 2 x 、 xy3 、 yx 3 、 m a 1 中分式的个数为()(A) 2 (B)3 (C) 4 (D) 5 练习题: (1)下列式子中,是分式的有 . 27 5 x x ; 1 23 x ; 2 5a a ; 2 2xx ; 2 2 b b ; 22 2 xy xy . (2)下列式子,哪些是分式? 5 a ; 2 3 4x ; 3 y y ; 7 8 x ; 2
2、 xxy xy ; 1 45 b . 2、分式有,无意义,总有意义: (1)使分式有意义:令分母 0 按解方程的方法去求解; (2)使分式无意义:令分母 =0 按解方程的方法去求解; 注意: (1 2 x0) 例 1:当 x 时,分式 5 1 x 有意义;例 2:分式 x x 2 12 中,当_x时,分式没 有意义 例 3:当 x 时,分式 1 1 2 x 有意义。例 4:当 x 时,分式 1 2 x x 有 意义 例 5:x, y 满足关系时,分式 xy xy 无意义; 例 6:无论 x 取什么数时,总是有意义的分式是() A 1 2 2 x x B. 12x x C. 1 3 3 x x
3、D. 2 5 x x 例 7: 使分式 2x x 有意义的 x的取值范围为() A2xB2xC2xD2x 例 8: 要是分式 )3)(1( 2 xx x 没有意义,则 x 的值为 () A. 2 B.-1 或-3 C. -1 D.3 同步练习题: 3、分式的值为零: 使分式值为零:令分子 =0 且分母0,注意:当分子等于0 使,看看是否使分母 =0 了,如果 使分母 =0 了,那么要舍去。 例 1:当 x 时,分式 1 21 a a 的值为 0例 2:当 x 时,分式 1 1 2 x x 的 值为 0 例 3:如果分式 2 2 a a 的值为为零 ,则 a的值为 ( ) A. 2B.2 C.
4、2D.以 上全不对 例 4:能使分式 1 2 2 x xx 的值为零的所有x的值是 () A 0xB 1xC0x或1xD0x或1x 例 5:要使分式 65 9 2 2 xx x 的值为 0,则 x 的值为()A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6:若01 a a ,则 a 是( )A.正数B.负数C.零D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用: 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式,分式的值不变。 例 1: abya xy ; zyzy zyx 2 )(3 )(6 ;如果 7 5 )13(7 )13(5 a a 成立,则 a 的取值范围是 _; 例 2: )
5、( 1 33 2 ba ab )( cb a cb CB CA B A CB CA B A 0C 例 3:如果把分式 ba ba2 中的 a 和 b 都扩大 10倍,那么分式的值() A、扩大 10倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变 例 4:如果把分式 yx x10 中的 x,y 都扩大 10 倍,则分式的值() A扩大 100倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的 10 1 例 5:如果把分式 yx xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值() A、扩大 2 倍;B、扩大 4 倍;C、不变;D 缩小 2 倍 例 6:如果把分式 yx yx 中的 x 和
6、y 都扩大 2 倍,即分式的值() A、扩大 2 倍;B、扩大 4 倍;C、不变;D 缩小 2 倍 例 7:如果把分式 xy yx 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值() A、扩大 2 倍;B、扩大 4 倍;C、不变;D 缩小 2 1 倍 例 8:若把分式 x yx 2 3 的 x、y 同时缩小 12倍,则分式的值() A扩大 12倍B缩小 12 倍C不变D缩小 6 倍 例 9:若 x、y 的值均扩大为原来的2 倍,则下列分式的值保持不变的是() A、 y x 2 3 B、 2 2 3 y x C、 y x 2 3 2 D、 2 3 2 3 y x 例 10:根据分式的基本性质,分式
7、 ba a 可变形为() A ba a B ba a C ba a D ba a 例 11:不改变分式的值, 使分式的分子、 分母中各项系数都为整数, 05.0 012.02 .0 x x ; 例 12: 不改变分式的值, 使分子、分母最高次项的系数为正数, 2 1 1 xx x = 。 5、分式的约分及最简分式: 约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 分式约分的依据:分式的基本性质 分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式 约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式) 约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主
8、要分数字,同字母进行约分。 第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的 因式约去。 例 1:下列式子(1) yxyx yx1 22 ; (2) ca ba ac ab ; (3)1 ba ab ; (4) yx yx yx yx 中正确的是()A 、1 个B 、2 个C、 3 个D、 4 个 例 2:下列约分正确的是() A、 3 2 6 x x x ;B、0 yx yx ;C、 xxyx yx1 2 ;D、 2 1 4 2 2 2 yx xy 例 3:下列式子正确的是 ( ) A0 2 2 yx yx B.1 ya ya C. x zy x z x y
9、D.0 a dcdc a dc a dc 例 4:下列运算正确的是() A、 aa abab B 、 241 2xx C、 2 2 aa bb D、 111 2mmm 例 5:下列式子正确的是() A 2 2 a b a b B0 ba ba C1 ba ba D ba ba ba ba 2 3 2. 0 3 . 01.0 例 6:化简 2 2 9 3 m mm 的结果是()A、 3m m B、 3m m C、 3m m D、 m m 3 例 7: 约分: 2 2 6 4 xy yx ; 9 3 2 x x = ; xyxy 1 3 2 ; yx yx yx 53 6.0 3 1 5 1 。
10、例 8:约分: 2 2 4 44 a aa ; yx xy 2 16 4 ; )( )( bab baa ; 2 )(yx yx 22 yx ayax ; 168 16 2 2 xx x ; 62 9 2 x x 23 3 14 _ 21 a bc a bc 2 9 _ 3 m mba ab 2 20 5 _ 96 9 2 2 xx x _。 例 9:分式 3a 2a 2 , 22 ba ba , )ba(12 a4 , 2x 1 中,最简分式有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6、分式的乘,除,乘方: 分式的乘法:乘法法测: b a d c = bd ac . 分式的除法:除
11、法法则: b a d c = b a c d = bc ad 分式的乘方:求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是 ( b a )n.分式的乘方, 是把分子、分母各自乘方 .用式子表示为: ( b a )n= n n b a (n 为正整数 ) 例题: 计算: (1) 7 4 6 2 39 25 15 26 y x x x (2) 13 4 10 43 100 56 125 16 a x a yx (3) a aa 1 计算: (4) 2 422 2 aab aba aba ba (5) 4 25 5 2 2 2 x x x x (6) 2 1 44 1 2 2 a a aa
12、 a 计算: (7) 3 22 3 4 6 y x yx(8) a b ab 2 3 6 2 (9) 2xy xyx xy 计 算 :( 10 ) 22 2 21 10 6 5 3 2 x y x y y x ( 11 ) 2 22 13 (1) 69 xx x xxxx ( 12 ) 2 2 12 1 441 aa a aaa 计算: (13) 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a (14) 6 3 3 44 62 22 aa a a aa a 求值题: (1)已知: 4 3 y x ,求 xyx yxy yxyx yx 2 2 22 22 2 的值。 (2)已知:xyyx
13、39,求 22 22 yx yx 的值。 (3)已知:3 11 yx ,求 yxyx yxyx 2 232 的值。 例题: 计算: (1) 2 32 () 3 y x (2) 5 2 b a = (3) 3 2 3 2 3 x y = 计算: (4) 3 2 2 2a b = (5) 4 3 2 2 ab a b b a (6) 22 2 2 1 1 11a a a a a aa 求值题: (1)已知: 432 zyx 求 222 zyx xzyzxy 的值。 (2)已知:032510 2 yxx求 yxy xx 22 2 的值。 例题:计算 yx x x yx yx 2 2 2 )(的结果是
14、()A yx x 2 2 Byx 2 C y 1 D y1 1 例题:化简 xy x x 1 的结果是()A. 1 B. xy C. x y D . y x 计算: (1) 42 2 44 82 2 3 x x xx xx ; (2) 1 22 1 12 2 2 x x x xx (3)(a 21) 2 22 21 a aa 1 22 a a 7、分式的通分及最简公分母: 通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分 解) 分为三种类型:“二、三”型;“二、四”型;“四、六”型等三种类型。 “二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。 例
15、如: 22 2 x x x 最简公分母就是22 xx。 “二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。 例如: 42 2 2 x x x 最简公分母就是224 2 xxx “四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的; 相同的都要有。 例如: 2 2 22xxx x 最简公分母是:22xx 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用,仔细的去发现之间的区别与联系。 例 1:分式 nmnmnm 2 , 1 , 1 22 的最简公分母是() A)( 22 nmnm B 222 )(nm C)()( 2 nmnm D 22 nm
16、例 2:对分式 2 y x , 2 3 x y , 1 4xy 通分时,最简公分母是() A x 2y B 例 3:下面各分式: 2 2 1x xx , 22 xy xy , 1 1 x x , 22 22 xy xy ,其中最简分式有()个。 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 例 4:分式 4 1 2 a , 42a a 的最简公分母是. 例 5:分式 a 与 1 b 的最简公分母为 _ ; 例 6:分式 xyxyx 222 1 , 1 的最简公分母为。 8、分式的加减: 分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。 1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。 2、异分母分式要先通分
17、,在变成同分母分式就可以了。 通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出 最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型, 继续通分。 分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。 例 1: m n m 22 = 例 2: 1 4 1 32 2 2 2 2 a a a a = 例 3: xy x yx y = 例 4: 222222 22 yx x xy y yx yx = 计算: (1) 41 33 m mm (2) ab b ba a (3) 2 2 2 2 )()(ab b ba a (4) 2 2
18、53a b ab 2 2 35a b ab 2 2 8a b ab . 例 5:化简 1 x + 1 2x + 1 3x 等于() A 1 2x B 3 2x C 11 6x D 5 6x 例 6: c a b c a b 例 7: 2 21 42 a aa 例 8: x x x x 3)3( 3 2 例 9: xxx x x x1 3 6 3 2 例 10: 2 21 2 a aa 2 2 4 a a 例 11: 1 1 a a a 例 12: 2 1 1 x x x 练习题: (1) 22 ab ab ba b (2) x x xx2 1 4 4 2 1 2 (3) 2 12 9a + 2
19、 3a . (4)ba b-a b 2 (5) 2 xy xyyx 例 13:计算 1 1 a a a的结果是()A 1 1 a B 1 1 a C 1 1 2 a aa D 1a 例 14:请先化简: 2 12 24 x xx ,然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值. 例 15:已知:034 2 xx求 44 21 2 2 xx x x x 的值。 9、分式的混合运算: 例 1: 44 2 16 4 2 x x xx 例 2: 34 12 1 3 1 1 2 2 2 xx xx x x x 例 3: 2 2 2 ) 2 2 2 2 ( x xx x x x x 例 4: 13 4 2
20、 x x x 例 5: 11 1 1 x x x 例 6: 22 22 442 1 yxyx yx yx yx 例 7 22 112 () 2 y xyxyxxyy 例 8: xxx x xx x1 12 1 22 例 9: x x xx x xx x4 ) 44 1 2 2 ( 22 练习题: 10、分式求值问题: 例 1:已知 x 为整数,且 2 3x + 2 3x + 2 218 9 x x 为整数,求所有符合条件的x 值的和 . 例 2:已知 x2,y 1 2 ,求 22 2424 ()()xyxy 11 xyxy 的值. 例 3:已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O,则代数式 2
21、x+ x2 1 的值为 _ 例 4:已知实数 a 满足 a22a8=0,求 34 12 1 3 1 1 2 2 2 aa aa a a a 的值. 例 5:若 1 3x x 求 1 24 2 xx x 的值是() A 8 1 B 10 1 C 2 1 D 4 1 例 6:已知 11 3 xy ,求代数式 2142 2 xxyy xxyy 的值 例 7:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值 2 2 1369 324 aaaa aaa 练习题: (1) 168 4 2 2 xx xx ,其中 x=5. (2) 16 168 2 2 a aa , 其中 a=5 (3) 22 2 2baba aba
22、 , 其中 a=-3,b=2 (4) 2 1 44 1 2 2 a a aa a ;其中 a=85;(5) x x xx x xx x4 ) 44 1 2 2 ( 22 ,其中 x= -1 (6)先化简,再求值: 3 24 x x (x+2 5 2x ).其中 x2. (7) 3, 3 2 , 1)() 2 ( 22 2 22 2 ba ba a ba a baba a ba a 其中 输入 n 计算 n( n+1) n 50 Yes No 输出结果m (8)先化简, 2 11 1 x xx ,再选择一个你喜欢的数代入求值 11、分式其他类型试题: 例 1:观察下面一列有规律的数: 3 2 ,
23、 8 3 , 15 4 , 24 5 , 35 6 , 48 7 ,根据其规律可知第 个数应是( n 为正整数) 例 2: 观察下面一列分式: 2345 124816 ,., x xxxx 根据你的发现,它的第8 项是, 第 n 项是。 例 3:按图示的程序计算,若开始输入的n 值为 4,则最后输出的结果m是() A 10 B 20 C 55 D 50 例 4:当 x=_时,分式 x5 1 与 x32 10 互为相反数 . 例 5:在正数范围内定义一种运算,其规则为ab ba 11 ,根据这个规则x 2 3 ) 1(x 的解为 () A 3 2 xB1xC 3 2 x或 1 D 3 2 x或1
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- 人教版 八年 级数 分式 知识点 典型 例题
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