最全最实用指数函数复习资料(精练+答案).pdf
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1、睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导,首选睿韬奥博。报名电话: 15750199340 (杨老师) 指数与指数函数 【知识梳理】 一、指数运算 1、根式 (1)概念:若 n xa(Nnn且1) ,则称 x 为 a 的 n 次方根, “ n ” 是方根的记号 (2)a 的 n 次方根的性质: 在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0 的奇次方根是0;正数的偶次方 根是两个绝对值相等符号相反的数,0 的偶次方根是0,负数没有偶次方根 n n aa; n 为奇数, nn a=a;n 为偶数, nn a=|a|= .0,
2、 ,0, aa aa 2、有理数指数幂 (1)分数指数幂的意义: )0(1 0 Raaa且(注: 0 0无意义); ) 1,0( * nNnmaaa nm n m ; )1,0( 11 * nNnma a a a nm n m n m (2)指数幂的运算性质 (0, ,) rsrs aaaar sR; (0, ,) rsrs aaaar sR; (0, ,) s rrs aaar sR; ( ,0,) r rr ababa brR 二、指数函数 1、指数函数的概念:一般地,函数) 1,0(aaay x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R 注意: 指数函数的底数的取值范围,底数不
3、能是负数、零和1 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导,首选睿韬奥博。报名电话: 15750199340 (杨老师) 2、指数函数)1,0(aaay x 的图象与性质 图象 01 性质 定义域 :R 值域为: (0,+ ) 过定点: (0,1),即 x=0 时, y=1 当0x时,10y; 当 0x 时,1y 当0x时,1y; 当 0x 时,10y 在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 【典型例题】 题型一、根式的化简、指数幂的运算 例题 1:化简: (1) 7 7 )2(;(2) 4 4 )3(;(3) 4 4 )2(a 【解析】( 1
4、)2)2( 7 7 ;(2)3)3( 4 4 ; ( 3) 4 4 )2(a= .2,2 ,2,2 aa aa 【点评】不注意n的奇偶性对式子 nn a的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准, 记熟,会用,活用 本题易错的是第(3)题,往往忽视a 与 2 大小的讨论,造成错解 例题 2:计算: (1) 10 1 1 23 0.25610 23 2 3 ; (2)33 3 3 6 3 【解析】( 1)原式382032101 2 3 4; ( 2)33 3 3 6 3= 3 3 2 1 3 3 1 3 6 1 =3 6 1 3 1 2 1 1 =3 2=9 【点评】利用分
5、数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂, 再由幂的运算性质来运算 变式 1:化简: (1)) 3 1 ()3)( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 bababa; (2) 14623 )(yxyx)0,0(yx; x O y=1 (0,1) x O y=1 (0,1) y y 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导,首选睿韬奥博。报名电话: 15750199340 (杨老师) (3)52674 364 2 【解析】( 1)原式 =) 3 1 (3)( 6 1 2 1 3 2 a 6
6、5 3 1 2 1 baab99 0 ; ( 2)原式 2 11 2 1 6 22 ) 2 1 (1) 2 1 (4 6 )6( 3 1 yyxyxyx; ( 3)原式22223223)22()32()23( 222 【点评】本题考查的是有理数指数幂的综合运算能力,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式 变式 2:若103 x ,104 y ,则 2 10 xy _ 【解析】 4 9 431010101010 2 2 22yxyxyx 【点评】本题考查的是分数指数幂运算的逆运算以及整体思想的运用,将10 x 、10 y 看作一个整体,再进行代数运 算 题型二、指数函数概念、定义域和值域 例题 3
7、:下列函数中属于指数函数的有()个 (1) x y32; ( 2) 1 3 x y; (3) x y)3(; (4) x y) 3 1 (; (5) 2 3xy; (6) x y4; (7) x ay)12( A2 B3 C4 D5 【解析】选A只有( 4) (6)属于指数函数)1,0(aaay x 的形式 【点评】在判断是否为指数函数时,应严格按照)1,0(aaay x 的形式来判断,特别要注意函数中是否有表 明a的取值范围 例题 4:求下列函数的定义域和值域: (1)y2 4 1 x ;(2)y( 3 2 ) |x ;(3)y=a x-1 (a0, a 1) 【解析】( 1)令 x-40
8、,则 x4 ,所以函数y=2 4 1 x 的定义域是xRx4 , 又因为 4 1 x 0 ,所以 2 4 1 x 1 ,即函数y=2 4 1 x 的值域是 y|y0 且 y1 ( 2)因为 -|x| 0,所以只有x=0. 因此函数y=( 3 2 ) |x 的定义域是 xx=0 而 y=( 3 2 ) |x =( 3 2 ) 0=1,即函数 y= ( 3 2 ) |x 的值域是 yy=1 ( 3)定义域为R,因为 x ay的值域为),0(,所以1 x ay的值域为), 1( 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导,首选睿韬奥博。报名电话: 15
9、750199340 (杨老师) 【点评】 由于指数函数y=a x,(a0 且 a 1) 的定义域是 R,所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要借助指数 函数的定义域来求,并利用好指数函数的单调性 例题 5:如图,设a,b,c,d0,且不等于1,y=a x,y=bx,y=cx,y=dx 在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d 的大小顺序【】 A、a1 时,指数函数底数越大,图象越靠近y 轴;当 05(+aaay x 恒过定点 _ 【解析】因为y=ax过点( 0,1) ,所以当x=0 时, y=1+5=6,所以原函数过定点(0,6) 【点评】解决定点问题,关键是理解指数函数的定点 变式 4
10、:已知指数函数的图象过点(, 3) , (1)求(-3),(1),(0)fff的值; (2)利用图像比较三个函数值的大小 【解析】( 1)设指数函数f (x)=ax(a0 且 a1 )因为图象过点(3, ) ,所以 f (3)=a3= ,即 a= 3 1 ,f (x)=( 3 1 ) x 再把 0,1,3 分别代入 ,得: f (0)= 0=1,f (1)=1= ,f (-3)=-1=1 (2)由图易知f (1)f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式,这是方程思想的运用 变式 5:当a0时,函数yaxb和 ax by的图象只可能是() A B C D 【解析】选项A 中一次
11、函数1,0 ba,指数函数应是减函数,故A 对 选项 B 中一次函数1,0 ba,指数函数应是增函数,故B 错 选项 C 中一次函数1,0 ba,指数函数应是减函数,故C 错 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O y=d x y=c x y=b x y=a x O y x 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导,首选睿韬奥博。报名电话: 15750199340 (杨老师) 选项 D 中一次函数1,0 ba,指数函数应是增函数,故D 错 故答案选 A 【点评】利用一次函数和指数函数ba,的关系来确定图象,是本题的关键
12、题型三、解指数式方程、不等式 例题 6:解下列方程: (1)1232 1xx ;(2)12 12 2 xx 【解析】( 1)23661232 3 1 1232 1 x xxxxx ; ( 2)3401212 212 2 xxxx xx 或 【点评】解此类方程时,常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解 例题 7:解下列不等式: (1)16 14x ;(2) 14 2 2 1x x 【解析】( 1) 4 1 01416 14 xx x ( 2) 5 1 14222 2 11414 xxx xxx x 【点评】解此类不等式时,常化为同底,再利用函数单调性求解 变式 6:解下列方程: (1)2732
13、9 1 xx ; (2)2353 252xx 【解析】( 1)原方程化为 2 )3( x 6 3 -x27=0, (3-x3)(3-x9)=0 3 -x3 0,由 3 -x9=0 得 3-x=32,故 x=2 是原方程的解 ( 2)原方程化为0235)3(3 222xx ,0)23)(13( 23xx , 0)23( 2x ,013 3x 得13 3x ,3x 【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想,例如题(1) ,把 x 3看成未知数x,解得的一元二次方程的 根等于 x 3,再解出最终结果;解得的结果一定要进行检验 题型四、指数函数性质的应用 例题 8:比较下列两个数的大小: (1)
14、 0.70.8 3,3;(2) 0.1-0.1 0.75,0.75; (3) 1.60.6 0.8,1.8;( 4) 3 2 ) 3 1 (,2 5 3 【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较: 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导,首选睿韬奥博。报名电话: 15750199340 (杨老师) 对( 1)因为函数y=3x在 R 上是增函数,0.80.7,所以 30.830.7; 对( 2)因为函数y=0.75x在 R 上是减函数, 0.1-0.1,所以 0.75-0.10.75 0.1; 对( 3)由指数函数的性质知1.8 0.
15、61.80=1=0.800.81.6,所以 1.80.60.81.6; 对( 4)由指数函数的性质知( 3 1 ) 3 2 ( 3 1 ) 0= 1= 202 5 3 ,所以 ( 3 1 ) 3 2 2 5 3 【点评】 首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函数的两个 函数值, 则寻求一个中间量“1” ,两个数都与这个中间量进行比较,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“ 中 间量法 ” 例题 9:求函数 23 2 3 1 2 xx y的单调区间和值域 【解析】令 2231 32() 24 uxxx在 3 (, 2 上递减,在 3 ,) 2 上递增
16、,又 u y 3 1 2为减函数, 所以 23 2 3 1 2 xx y在 3 (, 2 上递增,在 3 ,) 2 上递减,当 2 3 x时, 4 4 1 32 3 1 2y为最大值, 所以 23 2 3 1 2 xx y的值域为32, 0( 4 【点评】首先要考察函数的定义域,再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间 变式 7:已知mxf x 13 2 )(是奇函数,求常数m的值 【解析】由)(xf是奇函数,得0)()(xfxf, 即0 13 2 13 2 mm xx ,02 31 32 13 2 m x x x ,02 31 )13(2 m x x ,得1m 【点评】此题中
17、函数的定义域为0x,所以不能利用0)0(f来求解,应利用奇函数的定义)()(xfxf求 出m值 变式 8:判断函数 12 12 )( x x xf的单调性、奇偶性 【解析】任取Rxx 21、 ,使 21 xx, )12)(12( )22(2 12 12 12 12 )()( 21 21 2 2 1 1 21xx xx x x x x xfxf, 因为02 x ,所以0)12)(12( 21xx , x y2为增函数,所以022 21 xx ,所以0)()( 21 xfxf, 所以)(xf在R上单调递增; 睿韬奥博高中数学资料 一对一贴心辅导辅导老师:杨老师 睿韬奥博,孩子放飞梦想的起点;要辅导
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