初三数学专题讲义-存在性问题.pdf
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1、初三数学讲义 存在性问题 教学过程: 一、教学衔接(课前环节) 1、回收上次课的教案,了解家长的反馈意见; 2、检查学生的作业,及时指点 3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容 二、知识点解析 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较 强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中 考的“热点” 。 这类题目解法的一般思路是:假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果,就做出“存 在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断。 由于“存在性” 问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征,在假设
2、存在性以后进行的推理或计算, 对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对我们知 识、能力的一次全面的考验。 一、函数中的存在性问题(相似) 1. (2011 枣 庄 10 分 )如图,在平面直角坐标系xoy中,把抛物线 2 yx向左平移1 个单位,再向下平移 4 个单位,得到抛物线 2 ()yxhk. 所得抛物线与x 轴交于 A, B两点(点A在点 B的左边),与y轴交 于点 C,顶点为D. (1)写出hk、的值; (2)判断 ACD的形状,并说明理由; (3)在线段 AC上是否存在点M ,使 AOM ABC ?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明
3、理由. 二、函数中的存在性问题(面积) 2. 如图,抛物线 2 0yaxbx a与双曲线 k y x 相交于点A,B已知点 B的坐标为( 2, 2) ,点 A 在第一象限内,且tan AOX 4过点 A作直线 AC x轴,交抛物线于另一点C (1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)计算 ABC 的面积; (3)在抛物线上是否存在点D,使 ABD的面积等于 ABC 的面积若存在,请你写出点D的坐标;若不 存在,请你说明理由 三、函数中的存在性问题(四边形) 3 如图,二次函数y= x 2 ax b 的图像与x 轴交于 A( 2 1 ,0)、 B(2, 0)两点,且与y轴交于点C; (1) 求该拋
4、物线的解析式,并判断ABC 的形状; (2) 在 x 轴上方的拋物线上有一点D,且以 A、C、D、B 四 点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D 点的坐标; (3) 在此拋物线上是否存在点P,使得以A、 C、B、P 四点 为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P 点的坐标;若不存在,说明理由。 巩固练习,及时反馈 1. 如图,已知抛物线经过A( 2,0) ,B( 3,3)及原点 O,顶点为C (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O 、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点 D的坐标; (3) P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作 PMx轴,垂
5、足为M ,是否存在点P,使得以P、M 、A为 顶点的三角形 BOC 相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由 y A B C O x 2. 如图,第一象限内半径为2 的C 与y轴相切于点A,作直径 AD ,过点 D作C 的切线 l 交x轴于点 B, P为直线 l 上一动点,已知直线PA的解析式为:y=kx+3。 (1) 设点 P的纵坐标为p,写出 p 随 k 变化的函数关系式。 (2) 设C 与 PA交于点 M ,与 AB交于点 N ,则不论动点P处于直线l 上(除点B以外)的什么位置时,都 有AMN ABP 。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3) 是否存在使
6、AMN的面积等于 32 25 的 k 值?若存在,请求出符合的k 值;若不存在,请说明理由。 3已知直角坐标系中有一点A( 4,3) ,点 B 在 x 轴上, AOB 是等腰三角形 (1)求满足条件的所有点B 的坐标; (2)求过 O、A、B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条即可); (3)在( 2)中求出的抛物线上存在点P,使得以 O,A,B,P 四点为顶点的四边形是梯形,求满足条 件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积 4、在直角坐标系 xoy中,已知点 P 是反比例函数 2 3 =y x ( x 0)图象上一个动点,以P 为圆心的圆始 终与y轴相切,设切点为A (
7、1)如图 1,P 运动到与 x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA 的形状,并说明理由 (2)如图 2,P 运动到与 x轴相交,设交点为B, C 当四边形ABCP是菱形时: 求出点A ,B,C的坐标 在过 A,B,C三点的抛物线上是否存在点M ,使 MBP的面积是菱形ABCP 面积的 1 2 若存在,试求出所 有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由 5 如图所示,抛物线与x轴交于点103 0AB, 、,两点,与y轴交于点03 .C,以AB为直径作M, 过抛物线上一点P作M的切线PD,切点为D,并与M的切线AE相交于点E,连结DM并延长交 M于点N,连结.ANAD、 (1)求抛物线所对
8、应的函数关系式及抛物线的顶点坐标; (2)若四边形EAMD的面积为4 3 ,求直线PD的函数关系式; (3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于DAN的面积?若存在,求出点P的坐 标;若不存在,说明理由. 1、 【答案】 解: (1)由平移的性质知, 2 ()yxhk的顶点坐标为(,), 14hk,。 (2)由( 1)得 2 =14yx. 当=0y时, 2 140x 解之,得 12 31xx,。 A(30)B 1 0, , ( , ). 又当0x时, 22 =140143yx, C 点坐标为( 0, 3) 。 又抛物线顶点坐标D( 1, 4) , 作抛物线的对称轴1x交 x轴于点
9、 E,DF y轴于点 F。易知 在 RtAED中, AD 2=22+42=20,在 RtAOC中, AC2=32+32=18, 在 RtCFD中, CD 2=12+12=2, AC2 CD2AD2。 ACD是直角三角形。 ( 3)存在作OM BC交 AC于 M ,点即为所求点。 由( 2)知, AOC为等腰直角三角形, BAC 45 0,AC 183 2 。 由AOM ABC ,得 AOAM ABAC 。即 3AM9 , AM2 44 3 2 。 过 M点作 MG AB于点 G ,则 AG=MG= 2 9 2 8194 2164 , OG=AO AG=3 93 44 。又点 M在第三象限,所以
10、M ( 3 4 , 9 4 ) 。 2、 【答案】 解: (1)把点 B( 2, 2)的坐标代入 k y x 得,2 2 k ,k4。 双曲线的解析式为: 4 y x 。 设 A点的坐标为(m ,n) A点在双曲线上, mn 4。 又tan AOX 4, m n 4,即 m 4n。n 21,n1。 A 点在第一象限, n 1,m 4。A点的坐标为(1,4) 。 把 A、B点的坐标代入 2 yaxbx得, 4 422 ab ab ,解得,a1,b3。 抛物线的解析式为: 2 3yxx。 (2)AC x轴,点C的纵坐标y4, 代入 2 3yxx得方程, 2 340xx,解得x1 4,x21(舍去)
11、。 C 点的坐标为(4, 4) ,且 AC 5。 又 ABC的高为 6, ABC的面积 1 2 56 15。 (3)存在 D点使 ABD的面积等于 ABC 的面积。理由如下: 过点 C作 CD AB交抛物线于另一点D ,此时 ABD 的面积等于ABC的面积(同底:AB ,等高: CD和 AB的距离)。 直线 AB相应的一次函数是:22yx,且 CD AB , 可设直线CD解析式为2yxp, 把 C点的坐标(4,4)代入可得,12p。 直线 CD相应的一次函数是:212yx。 解方程组 2 3 212 yxx yx ,解得, 3 18 x y 。 点 D的坐标为( 3,18) 。 3、答案:解
12、(1) 根据题意,将 A( 2 1 ,0),B(2,0)代入 y= x 2 ax b 中,得 024 0 2 1 4 1 ba ba , 解这个 方程,得 a= 2 3 ,b=1,该拋物线的解析式为y= x2 2 3 x 1,当 x=0 时,y=1, 点 C 的坐标为 (0,1)。在 AOC 中,AC= 22 OCOA= 22 1) 2 1 (= 2 5 。 在BOC 中,BC= 22 OCOB= 22 12=5。 AB=OA OB= 2 1 2= 2 5 ,AC 2 BC 2= 4 5 5= 4 25 =AB 2,ABC 是直角三角形。 (2) 点 D 的坐标为 ( 2 3 ,1)。 (3)
13、 存在。由 (1)知,AC BC。 若以 BC 为底边,则 BC/AP,如图 1 所示,可求得直线 BC 的解析式为 y= 2 1 x 1,直线 AP 可以看作是由直线 BC 平移得到的,所以设直线AP 的解析式为 y= 2 1 x b, y A B C O x P 把点 A( 2 1 ,0)代入直线 AP 的解析式,求得b= 4 1 , 直线 AP 的解析式为 y= 2 1 x 4 1 。点 P 既在拋物线上,又在直线AP 上, 点 P 的纵坐标相等,即x 2 2 3 x 1= 2 1 x 4 1 ,解得 x1= 2 5 , x2= 2 1 (舍去)。当 x= 2 5 时,y= 2 3 ,点
14、 P( 2 5 , 2 3 )。 若以 AC 为底边,则 BP/AC,如图 2 所示。 可求得直线 AC 的解析式为 y=2x 1。 直线 BP 可以看作是由直线AC 平移得到的, 所以设直线 BP 的解析式为 y=2x b,把点 B(2,0)代 入直线 BP 的解析式,求得b= 4, 直线 BP 的解析式为 y=2x 4。点 P 既在拋物线 上,又在直线 BP 上,点 P 的纵坐标相等, 即 x 2 2 3 x 1=2x 4,解得 x1= 2 5 ,x2=2(舍去)。 当 x= 2 5 时,y= 9,点 P 的坐标为 ( 2 5 , 9)。 综上所述,满足题目条件的点P 为( 2 5 , 2
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