中考初三数学冲刺拔高专题训练(含答案).pdf
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1、. . 中考数学冲刺拔高 专题训练 目 录 专题提升 ( 一) 数形结合与实数的运算 . 1 专题提升 ( 二) 代数式的化简与求值 8 专题提升 ( 三) 数式规律型问题 13 专题提升 ( 四) 整式方程 ( 组)的应用 23 专题提升 ( 五) 一次函数的图象与性质的应用 31 专题提升 ( 六) 一次函数与反比例函数的综合 41 专题提升 ( 七) 二次函数的图象和性质的综合运用 51 专题提升 ( 八) 二次函数在实际生活中的应用 . 59 专题提升 ( 九) 以全等为背景的计算与证明 66 专题提升 ( 十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 73 专题提升 ( 十一) 以平行
2、四边形为背景的计算与证明 84 专题提升 ( 十二) 与圆的切线有关的计算与证明 94 专题提升 ( 十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 . 101 专题提升 ( 十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 . 111 专题提升 ( 十五) 巧用旋转进行证明与计算 . 118 专题提升 ( 十六) 统计与概率的综合运用 . 126 . . 专题提升 (一)数形结合与实数的运算 类型之一数轴与实数 【经典母题】 如图 Z11,通过画边长为1 的正方形的边长,就能准确地把2和2表示在数 轴上 图 Z11 【思想方法】(1)在实数范围内,每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过 来,数轴上的每一
3、个点都可以表示一个实数我们说实数和数轴上的点一一对 应; (2)数形结合是重要的数学思想,利用它可以比较直观地解决问题利用数轴进行 实数的大小比较,求数轴上的点表示的实数,是中考的热点考题 【中考变形】 12017 北市区一模 如图 Z12,矩形 ABCD 的边 AD 长为 2,AB 长为 1,点 A 在数 轴上对应的数是 1,以 A 点为圆心,对角线AC 长为半径画弧,交数轴于点E, 则这个点 E 表示的实数是(C) . . 图 Z12 A.51 B.5 C. 51 D15 【解析】AD 长为 2,CD 长为 1, AC22125, A 点表示 1, E 点 表示的数为51. 22016 娄
4、底已知点 M,N,P,Q 在数轴上的位置如图Z13,则其中对应的数的 绝对值最大的点是(D) 图 Z13 AMBNCPDQ . . 32016 天津实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图Z14 所示,把 a,b,0 按照从小到大的顺序排列,正确的是(C) 图 Z14 Aa0bB0ab Cb0aD0ba 【解析】从数轴可知 a0b, b0,a0, b0a. 42017 余姚模拟 如图 Z15,数轴上的点 A,B,C,D,E 表示连续的五个整数, 若点 A,E 表示的数分别为x,y,且 xy2,则点 C 表示的数为 (B) 图 Z15 A0 B1 C2 D3 . . 【解析】根据题意,知 yx4
5、,即 yx4,将 yx4 代入 xy2,得 xx 42,解得 x1,则点 A 表示的数为 1,则点 C 表示的数为 121. 5如图 Z16,在平面直角坐标系中,点P 的坐标为 (2,3),以点 O 为圆心,以 OP 为半径画弧,交 x 轴的负半轴于点 A,则点 A 的横坐标介于(A) 图 Z16 A4 和3 之间B3 和 4 之间 C5 和4 之间D4 和 5 之间 【解析】点 P 的坐标为 (2,3), OP223213. 点A,P 均在以点 O 为圆心,以 OP 为半径的圆上, OAOP13, 91316, 3134. 点A 在 x 轴的负半轴上, 点A 的横坐标介于 4 和3 之间故选
6、 A. 62017 成都改编 如图 Z17,数轴上点 A 表示的实数是 _2_ . . 图 Z17 【中考预测】 如图 Z18,数轴上的点 A,B 分别对应实数 a,b,下列结论中正确的是 (C) 图 Z18 AabB|a|b| CabDab0 【解析】由图知, a0b 且|a|b|, ab0,即ab,故选 C. 类型之二实数的混合运算 【经典母题】 计算: 2(35)425. . . 解:2(35)4252325425642525 10. . . 【中考变形】 12016 台州计算:4 1 2 2 1. 解:原式 21 2 1 22. 22017 临沂计算: |12|2cos458 1 2
7、1 . 解:|12|2cos45 8 1 2 1 212 2 2 2 222122 2 21. 32017 泸州计算: (3)22 017 0 18sin45. 解:(3)22 017018sin45 913 2 2 2 1037. 【中考预测】 计算:123tan30( 4)0 1 2 1 . 解:123tan30( 4)0 1 2 1 2 33 3 3 1231. . . 专题提升 (二)代数式的化简与求值 类型之一整式的化简与求值 【经典母题】 已知 xy3,xy1,你能求出 x2y2的值吗? (xy)2呢? 解:x2y2(xy)22xy32217; (xy)2(xy)24xy32415
8、. 【思想方法】利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题,在化简求值、一 元二次方程根与系数的关系中有广泛应用,体现了整体思想、对称思想,是中考 热点考题 完全平方公式的一些主要变形有:(ab)2(ab)22(a2b2),(ab)2(ab)2 4ab,a2b2(ab)22ab(ab)22ab,在四个量 ab,ab,ab 和 a2b 2 中,知道其中任意的两个量,能求出(整体代换 )其余的两个量 【中考变形】 1已知 (mn)28,(mn)22,则 m2n2的值为(C) A10 B6 C5 D3 2已知实数 a 满足 a 1 a3,则 a 2 1 a2的值为 _11_. 【解析】将 a1 a3
9、 两边平方,可得 a22 1 a29,即 a 21 a211. 32017 重庆 B 卷计算:(xy)2x(2yx) 解:原式 x22xyy22xyx22x2y2. 42016 漳州先化简 (a1)(a1)a(1a)a,再根据化简结果,你发现该代数式 的值与 a 的取值有什么关系 (不必说明理由 )? 解:原式 a21aa2a1. 故该代数式的值与a 的取值没有关系 【中考预测】 . . 先化简,再求值: (ab)2a(2ba),其中 a 1 2, b3. 解:原式 a22abb22aba2b2. 当 a 1 2,b3 时,原式 3 29. 类型之二分式的化简与求值 【经典母题】 计算: (1
10、)a b b a a2b2 ab ; (2) 3x x2 x x2 x 24 x . 解:(1)原式 a2b2 ab a2b2 ab 2b2 ab 2b a ; (2)原式 3x(x2)x(x2) (x2)(x2) x24 x 2x28x x24 x24 x 2x8. 【思想方法】(1)进行分式混合运算时,一定要注意运算顺序,并结合题目的具体 情况及时化简,以简化运算过程; (2)注意适当地利用运算律,寻求更合理的运算途径; (3)分子分母能因式分解的应进行分解,并注意符号的处理,以便寻求组建公分母 而约分化简; (4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别 【中考变形】 12017 重庆
11、A 卷计算: 3 a2a2 a 22a1 a2 . 解:原式 3 a2 a24 a2 (a1)2 a2 (a1)(a1) a2 a2 (a1) 2 a1 a1 . . 22017 攀枝花 先化简,再求值: 1 2 x1 x 21 x2x,其中 x2. 解:原式 x12 x1 x(x1) (x1)(x1) x1 x1 x(x1) (x1)(x1) x x1. 当 x2 时,原式 2 21 2 3. 【中考预测】 先化简,再求值: x24x3 x3 1 3x x22x1 x23x2 2 x2 ,其中 x4. 解:原式 x24x3 x3 1 x3 (x1) 2 (x1)(x2) 2 x2 (x2)2
12、 x3 x1 x2 2 x2 (x2)2 x3 x3 x2 x2.当 x4 时,原式 x22. 类型之三二次根式的化简与求值 【经典母题】 已知 a32,b3 2,求 a2abb2的值 解:a32,b32, ab2 3,ab1, a2abb2(ab)23ab(2 3)239. 【思想方法】在进行二次根式化简求值时,常常用整体思想,把ab,ab,ab 当作整体进行代入整体思想是很重要的数学思想,利用其解题能够使复杂问题 变简单整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用,是中考重点考 查的数学思想方法之一 【中考变形】 1已知 m12,n12,则代数式m2n23mn的值为(C) . . A9
13、 B3 C3 D5 22016 仁寿二模 先化简,再求值: a22abb2 a2b2 1 a 1 b ,其中 a21,b2 1. 解:原式 (ab)2 (ab)(ab) ba ab ab ab ab ba ab ab, 当 a21,b21 时,原式 1 2 2 2 4 . 32017 绵阳先化简,再求值: xy x22xyy2 x x22xy y x2y,其中 x2 2,y 2. 解:原式 xy (xy)2 x x(x2y) y x2y 1 xy 1 x2y y x2y (x2y)( xy) (xy)(x2y) y x2y y (xy)(x2y) x2y y 1 xy. 当 x2 2,y2时,
14、原式 1 xy 1 2 2 2 . 【中考预测】 先化简,再求值: 1 ab 1 b b a(ab),其中 a 51 2 ,b 51 2 . 解:原式 aba(ab)b2 ab(ab) (ab)2 ab(ab) ab ab , ab 51 2 51 2 5,ab 51 2 51 2 1, . . 原式 5. . . 专题提升 (三)数式规律型问题 【经典母题】 观察下列各式: 5225; 152225; 252625; 3521 225; 你能口算末位数是5 的两位数的平方吗?请用完全平方公式说明理由 解:把末位数是 5 的自然数表示成10a5 的一般形式,其中a 为自然数, 则(10a5)2
15、100a2100a25100a(a1)25, 因此在计算末位数是5 的自然数的平方时,只要把100a与 a1 相乘,并在积的后 面加上 25 即可得到结果 【思想方法】模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛,是热点考题之 一 【中考变形】 1小明在做数学题时,发现下面有趣的结果: 321; 87654; 1514131211109; 242322212019181716; 根据以上规律可知第10 行左起第 1 个数是(C) A100 B121 C120 D82 【解析】根据规律可知第10 行等式的右边是102100,等式左边有20 个数加 减这 20 个数是 120119118111110
16、109108102101, . . 左起第 1 个数是 120. 22016 邵阳如图 Z31,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据 此规律,最后一个三角形中y 与 n 之间的关系是(B) 图 Z31 Ay2n1 By2nn Cy2n 1n Dy2nn1 【解析】 观察可知:左边三角形的数字规律为1,2,n,右边三角形的数字 规律为 21,22,2n,下边三角形的数字规律为12,222,n2n,最后 一个三角形中 y 与 n 之间的关系为 y2nn. 32018 中考预测 根据图 Z32 中箭头的指向规律,从2 017 到 2 018再到 2 019, 箭头的方向是下列选项中的(D
17、) . . 图 Z32 【解析】由图可知,每 4 个数为一个循环组依次循环, 2 017 45041, 2 017是第 505个循环组的第 2 个数, 从2 017到2 018再到2 019,箭头的方向是 . . . 故选 D. 4挑游戏棒是一种好玩的游戏,游戏规则:当一根棒 条没有被其他棒条压着时,就可以把它往上拿 走如图 Z33中,按照这一规则,第1次应拿走 号棒,第 2 次应拿走号棒,则第6 次应拿走 (D) A号棒B号棒 C号棒D号棒 【解析】仔细观察图形,第1 次应拿走 号棒,第 2 次应拿走 号棒,第 3 次应 拿走号棒,第 4 次应拿走 号棒,第 5次应拿走 号棒,第 6 次应拿
18、走 号棒 52017 烟台用棋子摆出下列一组图形 (如图 Z34): 图 Z33 . . 图 Z34 按照这种规律摆下去,第n 个图形用的棋子个数为(D) A3nB6n C3n6 D.3n3 【解析】第 1 个图需棋子 336;第 2 个图需棋子 3239;第 3 个图需 棋子 33312;第 n 个图需棋子 (3n3)个 6古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三角形数,其中1 是第 1 个三角 形数, 3 是第 2 个三角形数, 6 是第 3 个三角形数,以此类推,那么第9 个三角 形数是 _45_,2 016 是第_63_个三角形数 【解析】根据所给的数据发现:第n个三角形数
19、是 123n,则第 9 个三 角形数是 12345678945;由 1234n 2 016,得 n(n1) 2 2 016,解得 n63(负数舍去 ) 7操场上站成一排的100 名学生进行报数游戏,规则是:每位同学依次报自己的顺 序数的倒数加1.如:第 1 位同学报 1 11 ,第 2 位同学报 1 21 ,第 3 位同学报 1 31 ,这样得到的 100个数的积为 _101_. 【解析】第 1 位同学报的数为 1 11 2 1,第 2 位同学报的数为 1 21 3 2,第 3 位 . . 同学报的数为 1 31 4 3, 第100位同学报的数为 1 1001 101 100, 这样得到的 1
20、00 个数的积 2 1 3 2 4 3 101 100101. 82017 潍坊如图 Z35,自左至右,第1个图由 1 个正六边形、 6 个正方形和 6 个 等边三角形组成;第2 个图由 2 个正六边形、 11 个正方形和 10 个等边三角形组 成;第 3 个图由 3个正六边形、 16 个正方形和 14个等边三角形组成;按照此规 律,第 n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为_9n3_ 图 Z35 【解析】第 1 个图由 1 个正六边形、 6 个正方形和 6 个等边三角形组成,正方 形和等边三角形的和 661293;第 2 个图由 11个正方形和 10个等边三 角形组成,正方形和等边三角形的
21、和111021923;第 3 个图由 16 个正方形和14 个等边三角形组成,正方形和等边三角形的和161430 933,第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和9n3. 9观察下列等式: 第一个等式: a1 1 12 21; . . 第二个等式: a2 1 23 32; 第三个等式: a3 1 322 3; 第四个等式: a4 1 25 52; 按上述规律,回答以下问题: (1)用含 n 的代数式表示第n 个等式: an 1 nn1 n1n ; (2)a1a2a3 an_n11_ 【解析】a1a2a3an(21)(32)(23)(52) (n1n)n11. 102016 山西 如图 Z36
22、是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组 成,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n 个图案中有 _4n1_个涂有阴 影的小正方形 (用含有 n 的代数式表示 ) 图 Z36 【解析】由图可知,涂有阴影的小正方形有54(n1)4n1(个) . . 11如图 Z37 是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1 个图案中有 6 根小棒,第 2 个图案中有 11根小棒,则第 n 个图案中有 _5n1_根小棒 图 Z37 【解析】 第 1 个图案中有 6 根小棒,第 2 个图案中有 65111根小棒,第 3 个图案中有 65216根小棒, 第n个图案中有 65(n1)5n1根小棒 12
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