直角三角形的有关计算.pdf
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1、数学试卷 (2019 年 1 月最新最细)2019 全国中考真题解析考点汇编直角三角形的有关计算 一、选择题 1. (2019 湖北荆州, 8,3 分)在 ABC中,A=120,AB=4 ,AC=2 ,则 sinB 的值是 () A、 5714 B、 35 C、 217 D、 2114 考点 :解直角三角形 专题 :几何图形问题 分析:根据 A=120 ,得出DAC= 60, ACD=30 ,得出AD=1 ,CD= 3,再根据BC=2 7, 利用解直角三角形求出 解答:解:延长BA做 CD BD , A=120 , AB=4 ,AC=2, DAC=60 , ACD=30 , 2AD=AC=2
2、, AD=1,CD= 3, BD=5, BC=2 7, sinB= 327= 2114, 故选: D 点评 :此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用,根据题意得出DAC=60 , ACD=30 是解决问题的关键 2. ( 2019 山东滨州, 9, 3 分)在 ABC 中,C=90, C=72,AB=10, 则边 AC 的长约为 (精 确到 0.1) A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 【考点】解直角三角形 【专题】计算题 【分析】在RtABC 中,根据三角函数的定义,易得AB、AC 及 A 的关系,进而计 算可得答案 【解答】解:根据题意 , 在 RtABC 中,有 cos
3、A= AC AB ,sinA= BC AB ; 则 AC=AB?cosA=10cos723.1 ; 故选 C 【点评】本题考查了解直角三角形的应用,要熟练掌握好边角之间的关系及三角函数的定义 数学试卷 3. (2019 ? 德州, 7,3 分)一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该 图形的 “ 直径 ” ,封闭图形的周长与直径之比称为图形的“ 周率 ” ,下面四个平面图形(依次为 正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1,a2, a3,a4,则下列关 系中正确的是() A、a4a2a1B、a4a3a2C、a1a2a3D、a2a3a4 考点 :正多边形和圆;等边
4、三角形的判定与性质;多边形内角与外角;平行四边形的判定与 性质。 专题 :计算题。 分析 :设等边三角形的边长是a,求出等边三角形的周长,即可求出等边三角形的周率a1; 设正方形的边长是x,根据勾股定理求出对角线的长,即可求出周率;设正六边形 的边长是b,过 F 作 FQ AB 交 BE 于 Q,根据等边三角形的性质和平行四边形的 性质求出直径,即可求出正六边形的周率a3;求出圆的周长和直径即可求出圆的周 率,比较即可得到答案 解答 :解:设等边三角形的边长是a,则等边三角形的周率a1= 3a a =3 设正方形的边长是x,由勾股定理得:对角线是2x,则正方形的周率是 a2= 4 2 x x
5、错误!未找到引用源。=222.828, 设正六边形的边长是b,过 F 作 FQAB 交 BE 于 Q,得到平行四边形ABQF 和等边三角形EFQ ,直径是 b+b=2b , 正六边形的周率是a3= 6 2 b b =3, 圆的周率是 4 2 2 r a r , a4a3 a2 故选 B 点评 :本题主要考查对正多边形与圆,多边形的内角和定理,平行四边形的性质和判定,等 边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,理解题意并能根据性质进行计算是解此题的 关键 数学试卷 4. (2019山东菏泽, 5, 4 分)如图所示,已知在三角形纸片ABC中, BC=3,AB=6, BCA =90 在 AC 上
6、取一点E,以 BE 为折痕,使AB 的一部分与BC 重合, A 与 BC 延 长线上的点D 重合,则DE 的长度为() A6 B3 C错误!未找到引用源。 D3错误!未找到引用源。 考点 :翻折变换(折叠问题);含 30 度角的直角三角形;勾股定理 专题 :计算题 分析: 易得 ABC =60 ,A=30 根据折叠的性质CBE =D=30 在 BCE 和DCE 中运用三角函数求解 解答:解: ACB =90 , BC =3, AB=6, sinA =BC : AB=1: 2, A=30 , CBA =60 根 据折叠的性质知,CBE =EBA=错误!未找到引用源。CBA =30 , CE=BC
7、tan 30 = 错误!未找到引用源。 , DE =2CE =2 错误!未找到引用源。 故选 C 点评: 本题考查了:1折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的 性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;2直角三角形 的性质,锐角三角函数的概念求解 5. (2019 泰安, 19,3 分)如图,点O 是矩形 ABCD 的中心, E 是 AB 上的点,沿CE 折 叠后,点 B 恰好与点O 重合,若BC 3,则折痕 CE 的长为() A错误!未找到引用源。B 错误!未找到引用源。C错误!未找到 引用源。D6 考点 :翻折变换(折叠问题);勾股定理。 专题
8、:探究型。 分析: 先根据图形翻折变换的性质求出AC 的长,再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即 可得出结论 解答: 解: CED 是CEB 翻折而成, BC CD ,BEDE, O 是矩形 ABCD 的中心, OE 是 AC 的垂直平分线,AC 2BC 2 36, AECE , 在 RtABC 中, AC 2AB2BC2,即 62AB232,解得 AB3 错误!未找到引用源。 , 在 RtAOE 中,设 OE x,则 AE3 错误!未找到引用源。x, 数学试卷 AE 2AO2 OE2,即( 3 3x) 2( 3 3)2 32,解得 x错误!未找到引用源。, AEEC 33323 故选 A 点
9、评: 本题考查的是翻折变换,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的 形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键 6.(2019 辽宁本溪, 6,3 分)如图,在RtABC 中,C=90 ,AB=10 ,BC =8, DE 是 ABC 的中位线,则DE 的长度是() B E D C A A3 B4 C 4.8 D5 考点: 三角形中位线定理;勾股定理 专题: 存在型 分析: 由在 RtABC 中,C=90 ,AB=10 ,BC =8,根据勾股定理即可求得AC 的长, 又由 DE 是 ABC 的中位线,根据三角形中位线的性质,求得DE 的长度 解答解:在 Rt
10、 ABC 中, C=90 ,AB=10,BC=8, AC= 22 ABBC=6, DE 是 ABC 的中位线, DE = 1 2 AC=3 故选 A 点评: 此题考查了勾股定理与三角形中位线的性质题目难度不大, 注意数形结合思想的应 用 7.如图,矩形ABCD 中, AB=4 ,BC=5 ,AF 平分 DAE ,EFAE,则 CF 等于() A、B、1 C、D、2 2. (2019 ?临沂, 13 ,3 分)如图, ABC 中, cosB= 2 2 ,sinC= 错误!未找到引用源。 , AC=5 ,则 ABC 的面积是() 数学试卷 A、错误!未找到引用源。B、 12 C、14 D、21 考
11、点 :解直角三角形。 分析: 根据已知做出三角形的高线AD ,进而得出AD, BD,CD,的长,即可得出三角形 的面积 解答: 解:过点A 做 AD BC, ABC 中, cosB= 错误!未找到引用源。,sinC= 错误!未找到引用源。,AC=5 , cosB= 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , B=45 , sinC= 3 5 = AD AC = 5 AD , AD=3 , CD=4 , BD=3 , 则ABC 的面积是: 1 2 AD BC= 错误!未找到引用源。 3 ( 3+4 )= 21 2 故选 A 点评 :此题主要考查了解直角三角形的知识,做出 AD BC ,进而得
12、出相关线段的长度是解 决问题的关键 8.(2019 ? 丹东, 8, 3 分)如图,在RtACB 中, C=90, BE 平分 ABC ,ED 垂直平 分 AB 于 D若 AC=9 ,则 AE 的值是() A、6 错误!未找到引用源。3B、4 错误!未找到引用源。 数学试卷 C、6 D、4 考点 :线段垂直平分线的性质;含30 度角的直角三角形。 专题 :计算题。 分析: 由角平分线的定义得到CBE= ABE, 再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB , 则 A=ABE ,可得 CBE=30 ,根据含30 度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC , 即 AE=2EC ,由 AE+EC=A
13、C=9 ,即可求出AC 解答: 解: BE 平分 ABC , CBE= ABE , ED 垂直平分AB 于 D, EA=EB , A=ABE , CBE=30 , BE=2EC ,即 AE=2EC , 而 AE+EC=AC=9 , AE=6 故选 C 点评:本题考查了线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相 等 9. 如图, 四边形 ABCD 中,BAD= ADC=90 ,AB=AD=2 2,CD= 2,点 P在四边形ABCD 上,若 P到 BD的距离为 3 2 ,则点 P的个数为() A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】 B 【考点】解直角三角形;点到直线的距离
14、【专题】几何综合题 【分析】首先作出AB 、AD边上的点P(点 A)到 BD的垂线段AE ,即点 P到 BD的最长距离, 作出 BC 、CD的点 P(点 C)到 BD的垂线段CF,即点 P到 BD的最长距离,由已知计算出AE 、 CF的长与 3 2 比较得出答案 【解答】解:过点A作 AE BD于 E,过点 C作 CFBD于 F, BAD= ADC=90 , AB=AD=2 2,CD= 2, ABD= ADB=45 , CDF=90 - ADB=45 , AE=AB?tan ABD=2 2?tan45=2 2 2 2 =2 3 2 , 数学试卷 所以在 AB和 AD边上有符合P到 BD的距离为
15、 3 2 的点 2 个, CF=CD?tan CDF= 2 2 2 =1 ,所以在边BC和 CD上没有到BD的距离为 3 2 的点, 所以 P到 BD的距离为 3 2 的点有 2 个,故选: B 【点评】 此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离,解题的关键是先求出各边上 点到 BD的最大距离比较得出答案 10. ( 2019 黑龙江省哈尔滨,9 ,3 分)如图,矩形ABCD 中,对角线AC 、 BD相交于点0, AOB=60 , AB=5 ,则 AD的长是() A.53B.52C.5 D.10 考点 :解直角三角形;矩形的性质。 专题 :计算题。 分析 :本题的关键是利用等边三角形和矩
16、形对角线的性质求长度 解答: 解:因为在矩形ABCD 中,所以AO=1 2 AC=1 2 错误!未找到引用源。BD=BO , 又因为 AOB=60 ,所以 AOB是等边三角形,所以AO=AB=5 , 所以 BD=2AO=10 , 所以 AD 2=BD2AB2=10252=75, 所以 AD=53 故选 A 点评:此题考查的知识点是解直角三角形,解答此题的关键是由矩形的性质和等边三角 形的性质首先得出BD=2AB=10 ,然后由勾股定理求得AD 数学试卷 二、填空题 1. (2019 ? 玉林, 17 ,3 分)如图,等边ABC 绕点 B 逆时针旋转30 时,点 C 转到 C 的 位置,且 BC
17、 与 AC 交于点 D,则 错误!未找到引用源。 CD DC 的值为2错误!未找到引 用源。 考点 :旋转的性质;等边三角形的性质;解直角三角形。 分析: 等边 ABC 绕点 B 逆时针旋转30 时,则 BCD 是直角三角形,根据三角函数即可 求解 解答: 解:设等边 ABC 的边长是a, 图形旋转30 ,则 BCD 是直角三角形 BD=BC?cos30 = 错误!未找到引用源。 2 3 则 CD=1 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 2 32 ,CD= 错误!未找到引 用源。 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 2 1 2 32 =2错误!未找到引用源。 故答案是: 23
18、点评: 本题主要考查了图形旋转的性质,以及直角三角形的性质,正确确定BCD是直角 三角形是解题的关键 2. ( 2019 江苏淮安, 18, 3 分)如图,在 RtABC 中, ABC= 90 , ACB= 30 ,将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转15 后得到 AB1C1,B1C1交 AC 于点 D,如果 AD=2 2, 则ABC 的周长等于 . 考点 :旋转的性质;解直角三角形。 数学试卷 分析 :根据已知可以得出BAC=60 ,而将 ABC绕点A 按逆时针方向旋转15 ,可知 B1AD=45 ,可以求出AB1= 2错误!未找到引用源。 ,而 AB 与 AB1是相等的, 故可求 AB,那
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