中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》.pdf
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1、. . 第 1 讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图 1-1-1, o 90EDACB且 0 45CABCBEACD ,此为 “一线三直角”全等,又称“K 字型”全等 ; 图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 图 1-1-4 2.如图 1-1-2, o 90EDACBCBEACD ,此为“一线三直角” 相似,又称“ K 字型”相似 ; 3.如图 1-1-3, o 90EDACBCBEACD ,此为更一般的“一线 三等角” . 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例,其比值称为相似比; 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图 1-1-4,在AB
2、CRt中, b a Atan,即A的正切值等于A的对边与A的邻 边之比;同理, a b Btan,则1tantanBA,即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略:联想构造 二、构造路线 方式 (一):构造“一线三等角” 1.45o角 构等腰直角三角形造“一线三直角”全等,如图1-2-1; 图 1-2-1 2.30o角 构直角三角形造“一线三直角”相似,如图1-2-2; . . D E DEC A A C B B 图 1-2-2 3.tan =k构直角三角形造“ 一线三直角 ” 相似,如图1-2-3; 4. “一线三等角 ” 的应用分三重境界; 一重境: 当一条线上已有三个等角时,只
3、要识别、 证明, 直接应用模型解题,如图 1-2-4 所示的 “ 同侧型一线三等角” 及图 1-2-5 所示的 “ 异侧型一线三等角” ; 二重境:当一条线上已有两个等角时,需要再补上一个等角,构造模型解题; 三重境:当一条线上只有一个角时,需要再补上两个等角,构造模型解题,如图1-2-6 及图 1-2-7 所示; 方式 (二) :构造“母子型相似” “ 角处理 ” ,还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线,造成某水平边或竖直边对 此角结构, 然后在这条线上补出一个与此角相等的角,构造出“ 母子型相似 ” ,其核心结构如 图 1-2-8 所示 . 方式(三):整体旋转法(*) DACDEA
4、 DA 2=DC? DE DG2+AG 2=DC? DE 动 动 定 定 定 定 定 定 定 定 定 G A C B B C A A C B D D E 图 1-2-3 图 1-2-4 图 1-2-5 图 1-2-6 图 1-2-7 图 1-2-8 . . 图 1-2-10 图 1-2-11 图 1-2-12 y x 3 3 4 4 A E A E O 前两种构造属静态构造方式,再介绍一种动态构造方式,即整体旋转法, 其核心思想是 “ 图形的旋转(运动)本质是图形上点旋转(运动);反过来,点的旋转(运动)可以看成该 点所在图形的旋转(运动)”. 下面以三个问题说明此法: 问题 1 已知点 A(
5、3,4) ,将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转45o角,求其对应点A 的坐 标. 简析 第一步(“ 整体旋转 ” ) :如图 1-2-9,作 ABy 轴于点 B,则 AB=3, OB=4,点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转45o得到点 A ,可看成 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转45o得 到 RtOA B ,则 AB =8,OB =4,且 BOB =45o; 第二步(造“一线三直角”) : 如图 1-2-10, 依托旋转后的RtOA B , 作系列“水平 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtOCB Rt B DA; 事实上 ,RtOCB 与 RtB DA都是等腰直角三角形,
6、于是有OC=B C=22, B D=A D= 23 2 ,故点A的坐标为 722 (,) 22 ; 问题2 已知点(4,6)A, 将点A绕原点O顺时针方向旋转a角, 其中tana= 1 2 , 求其对应 点A 的坐标 . 简析 第一步(“整体旋转”) : 如图 1-2-11, 作 ABy 轴于点B,则 AB=4, OB=6, 将 Rt OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转a角得到 RtOA B, 则A B=4,OB=6, 且tanBOB =tana= 1 2 ; 图 1-2-9 . . 图 1-2-13 图 1-2-14 第二步(造“一线三直角”) : 如图 1-2-12, 依托旋转后的RtOA
7、 B , 作系列“水平 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtOCB RtB DA , 于是有B C= 56 5 ,OC= 512 5 ,A D= 54 5 ,B D= 58 5 ,故点A的坐标为 55 (,) 55 148 . 问题 3 已知点( , )A a b, 将点A绕原点O顺时针方向旋转a角, 求其对应点A 的坐标 . 简析 不是一般性,不妨都在第一象限内思考问题: 第一步(“整体旋转” ) : 如图 1-2-13, 作 ABy 轴于点 B,则 AB=a, OB=b, 将 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转a角得到 RtOA B , 则A B=a,OB=b, 且BOB=a
8、; 第二步(造“一线三直角”) : 如图 1-2-14, 依托旋转后的RtOA B , 作系列“水平 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtOCB Rt B DA, 于是有B C= sinba,OC=cosba,A D=sinaa,B D=cosaa, 故点A 的坐标为(,)cossincossinaaba baaa. 例 1( 2017?日照 ) 如图 1-3-1 ,在平面直角坐标系中,经过点 A的双曲线同时经过 点 B,且点 A在点 B的左侧,点A的横坐标为,AOB= OBA=45 ,则k 的值为 _。 x y 图1-3-1 B A Ox y 2 t t2 图1-3-2 D C B
9、 A O 简析 由题可知, OAB为等腰直角三角形; 如图 1-3-2 ,构造“一线三直角”结构,即Rt OAD RtABC ; 设OD=AC=t ,则A(, t) , B(,) ,从而有t=()() ,解得 ; 因此有。 反思:见等腰直角三角形,造“一线三直角”,即“K字型”全等。 例 2 如图 1-3-3 ,已知反比例函数的图像经过点A(3,4) ,在该图像上找一点P, 使 POA=45 ,则点P的坐标为 _。 . . x y 图1-3-3 P A Ox y 3 4 3 4 图1-3-4 D C P B A O 简析 1(构造“一线三直角”):如图 1-3-4 ,作 AB OA交 OP于点
10、 B,则 OAB为等腰直角 三角形; 再造“一线三直角”结构,即Rt OAD RtABC ,由A(3,4) ,可得 OD=AC=4 ,AD=BC=3 ,则 B(7,1) ,故直线 OP的解析式为,且反比例函数的解析式为,联立得,解 得(负值舍去) ,故点 P的坐标为 (,) 。 简析 2(构造“一线三等角”):如图 1-3-5 ,分别过点A、P作 y 轴的垂线,垂足依次为点 D、E,再在 y 轴上分别找点B、C,使 BD=AD ,CE=PE ,则 ABO= PCO= 45; 由POA=45 ,易证 ABO OCP , 则, 即 AB ?CP= BO?OC; 由 A(3, 4) , 可得, BO
11、=BD+OD=7 , k=12 , 再 设 点P(t,) , 则CP=, OC=CE-OE=PE-OE=, 从 而 有, 解 得 ,故点 P的坐标为 () 。 45 0 是一个神奇美妙、 让人浮想联翩的角。 依托 45 0 角,自然联想到构造等腰直角三角形。 然后依托等腰直角三角形,再造“一线三直角”,这是处理45 0 角的基本策略之一。 如图 1-3-6 ,若 C=45 0,一般有四种方式构造直角三角形, 但建议将已知点作为直角顶 点,相对而言会更简单。这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。 解法 1,从头到尾几乎口算,不需要设元,原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点 A作为直角顶点,否
12、则需要设元求解,很是麻烦。 解法 2,将 y 轴看成所谓“一线” 。利用一个45 0 角,再补两个“45 0”角,构造“一线 x y 图1-3-5C E P B D A O . . 三等角”,设出坐标,巧妙解题,这是角的存在性问题另一种重要处理策略。 如图 1-3-7 ,已知抛物线 27 2 yxxc与x轴交于 A、B两点,且经过点0 2C,、 7 3 2 D ,点 P是直线 CD上方抛物线上一动点,当 0 =45PCD时,求点P的坐标。 策略一: 45 0 构等腰直角三角形造“一线三直角”. 简析:易求抛物线的解析式为 27 2 2 yxx,直线 CD的解析式为 1 2 2 yx 如图 1-
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