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1、精品文档 精品文档 北师大高中数学必修四知识点 第一章三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、象限的角 :在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落 在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何 象限,叫做轴线角。 第一象限角的集合为36036090 ,kkk 第二象限角的集合为36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为 360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为180 ,kk 终
2、边在y轴上的角的集合为18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk 3、与角终边相同的角,连同角在内,都可以表示为集合Zkk,360| 4、弧度制: ( 1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l,则角的弧度数的绝对值是 l r ( 2)度数与弧度数的换算:180 rad ,1 rad 185730.57) 180 ( ( 3)若扇形的圆心角为(是角的弧度数) ,半径为r,则: 精品文档 精品文档 弧长公式:rl|;扇形面积: 2 | 2 1 2 1 rlrS 5、三角函数 : ( 1)定义 :设是一个任意角,它
3、的终边与单位圆交于点P(u,v), 那么 v 叫做的正弦,记作sin,即 sin= v;u 叫做的余 弦,记作cos,即 cos=u; 当的终边不在y 轴上时, u v 叫 做的正切,记作tan, 即 tan= u v . 设是一个任意大小的角,的终边上任意一点的坐标 是, x y,它与原点的距离是 22 0rOPrxy, 则sin y r ,cos x r ,tan0 y x x ( 2)三角函数值在各象限的符号: 口诀:第一象限全为正; 二正三切四余弦. ( 3)特殊角的三角函数值 的角度030456090120135150180 的弧度0 64323 2 4 3 6 5 sin0 2 1
4、 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan0 3 3 13 不存在3 1 3 3 0 的角度210225240270300315330360 P(x,y) y x o P(u,v) y x o sin x y + + _ _ O x y + + _ _ cos O tan x y + + _ _ O 精品文档 精品文档 的弧度 6 7 4 5 3 4 2 3 3 5 4 7 6 11 2 sin 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1
5、 tan 3 3 13 不存在 31 3 3 0 6、三角函数的诱导公式: 1 sin 2sink,cos 2cosk,tan 2tankk 口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等 2 sinsin,coscos,tantan 3 sinsin,coscos,tantan 4 sinsin,coscos,tantan 5 sin 2sin,cos 2cos,tan 2tan 口诀:函数名称不变,正负看象限 6 sincos 2 ,cossin 2 ,tancot 2 7 sincos 2 ,cossin 2 ,tancot 2 口诀:正弦与余弦互换,正负看象限 7、正弦函数、余弦函数和正切函数
6、的图象与性质: sinyx cosyx tanyx 精品文档 精品文档 图 象 定 义 域 RR , 2 x xkk 值 域 值域: 1,1 当2 2 xkk时, max 1y;当2 2 xk k时, min 1y 值域: 1,1 当2xkk时, max 1y;当2xk k时, min 1y 值域:R 既无最大值也无最小值 周 期 性 sinyx是周期函数; 周期为 2,TkkZ且0k; 最小正周期为2 cosyx是周期函数;周期 为 2,TkkZ且0k ; 最小正周期为2 tanyx是周期函数; 周 期 为 ,TkkZ 且 0k;最小正周期为 奇 偶 性 奇函数偶函数奇函数 单 调 性 在2
7、,2 22 kk k上是增函数;在 3 2,2 22 kk k上是减函数 在2,2kkk上 是增函数; 在2,2kk k上是减函数 在, 22 kk k上是增函数 精品文档 精品文档 对 称 性 对称中心 ,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称轴xkk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 8、函数)0,0()sin(AbxAy的相关知识: (1) sinyxb的图象与xysin 图像的关系: 振幅变换:xysinxAysin 周期变换: xysinxysin 相位变换:xysin)sin(xy 平移变换:)sin(xAysinyxb 先平移后伸缩:函数sinyx的图象整
8、体向左(0)或向右(0)平移个单位, 得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上每个点的横坐标变为原 来的 1 倍,纵坐标不变,得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图 象上每个点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变, 得到函数sinyx的图象; 再 将函数sinyx的图象整体向上(0b)或向下(0b)平移b个单位,得到函 数sinyxb 先伸缩后平移:函数sinyx的图象上每个点的横坐标变为原来的 1 倍,纵坐标不变,得到 函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象整体向左(0)或向右(0)平 图象整体向左(0)或向右(0)平移个单位 图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原
9、来的A 倍 图象上每个点的横坐标变为原来的 1 倍,纵坐标不变 图象整体向上( 0b )或向下( 0b ) b 精品文档 精品文档 移个单位,得到函数sinyx的图象;再将函数sinyx的图象上每个点 的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得到函数 sinyx 的图象;再将函数 sinyx的图象整体向上(0b)或向下(0b)平移b个单位,得到函数 sinyxb (2)函数 )0,0()sin(AbxAy 的性质: 振幅:;周期: 2 ;频率: 1 2 f;相位:x;初相: 定义域:R 值域:,Ab Ab 当 2 2 xkk时, max yAb; 当2 2 xkk时, min yAb 周期性:函数)
10、0,0()sin(AbxAy是周期函数;周期为 2 T 单调性:x在2,2 22 kkk上时是增函数; x在 3 2,2 22 kkk上时是减函数 对称性:对称中心为,0 k k;对称轴为x 2 kk 第二章平面向量 1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示 2、零向量:长度为0 的向量叫零向量,记作0;零向量的方向是任意的 3、 单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量;与向量a平行的单位向量: |a a e 4、平行向量 (共线向量) : 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作ba /; 精品文档 精品文档 规定0与任何向量平行
11、 5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等. 注意:任意两个相等的非零向量, 都 可以 用同一条有 向线段 来表 示,并且与有向线段的起点无关。 6、向量加法运算: 三角形法则的特点: 首尾相接 平行四边形法则的特点: 起点相同 运算性质: 交换律:abba;结合律:abcabc;00aaa 坐标运算:设 11 ,ax y, 22 ,bxy,则 1212 ,abxxyy 7、向量减法运算: 三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量 坐标运算:设 11 ,ax y, 22 ,bxy,则 1212 ,abxxyy 设、两点的坐标分别为 11 ,xy, 22 ,
12、xy,则 2121 ,xx yy 8、向量数乘运算: 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a b a C abCC 精品文档 精品文档 aa; 当 0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反; 当0时,0a 运算律:aa;aaa;abab 坐标运算:设 ,ax y ,则 ,ax yxy 9、向量共线定理:向量0a a与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使ba 设 11 ,ax y, 22 ,bxy, 其中0b,则当且仅当 1221 0x yx y时,向量a、0b b 共线 10、平面向量基本定理:如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平
13、面内 的任意向量a,有且只有一对实数 1、2,使1122 aee (不共线 的向量 1 e、 2 e作为 这一平面内所有向量的一组基底) 11、分点坐标公式:设点是线段 12上的一点,1、2的坐标分别是11 ,x y, 22 ,xy, 当 12 时,点的坐标是 1212 , 11 xxyy 12、平面向量的数量积: cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0 性质: 设a和b都是非零向量, 则0aba b当a与b同向时,a ba b; 当a与b反向时,a ba b; 2 2 a aaa或aa aa ba b 运算律:a bb a;aba bab;abca cb c 坐标
14、运算:设两个非零向量 11 ,ax y, 22 ,bxy,则 1212 a bx xy y 若,ax y,则 2 22 axy,或 22 axy 设 11 ,ax y, 22 ,bxy,则 1212 0abx xy y 设a、b都是非零向量, 11 ,ax y, 22 ,bxy,是a与b的夹角,则 精品文档 精品文档 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 第三章三角恒等变形 1、同角三角函数基本关系式 ()平方关系:1cossin 22 ()商数关系: cos sin tan ()倒数关系:1cottan 2 2 2 tan1 tan sin; 2 2 t
15、an1 1 c o s 注意:tan,cos,sin按照以上公式可以“知一求二” 2、两角和与差的正弦、余弦、正切 )( S:sincoscossin)sin( )( S:sincoscossin)sin( )( C:sinsincoscos)cos(a )( C:sinsincoscos)cos(a )( T: tantan1 tantan )tan( )( T: tantan1 tantan )tan( 正切和公式: )tantan1()tan(tantan 3、辅助角公式 :x ba b x ba a baxbxacossincossin 2222 22 )sin()sincoscos(
16、sin 2222 xbaxxba (其中称为辅助角,的终边过点),(ba, a b tan) 4、二倍角的正弦、余弦和正切公式: 精品文档 精品文档 2 S:cossin22sin 2 C: 22 sincos2cos1cos2sin21 22 2 T: 2 tan1 tan2 2tan 二倍角公式的常用变形:、|sin|22cos1,|cos|22cos1; 、|sin|2cos 2 1 2 1 ,|cos|2cos 2 1 2 1 、 2 2sin 1cossin21cossin 2 2244 ; 2cossincos 44 ; 降次公式:2sin 2 1 cossin 2 1 2cos
17、2 1 2 2cos1 sin 2 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos 2 5、半角的正弦、余弦和正切公式: 2 cos1 2 sin; 2 cos1 2 cos, cos1 cos1 2 tan cos1 sin sin cos1 6、同角三角函数的常见变形:(活用“ 1”) 22 cos1sin; 2 cos1sin; 22 sin1cos; 2 sin1cos; 2sin 2 cossin sincos cottan 22 , 2cot2 2sin 2cos2 cossin sincos tancot 22 2sin1cossin21)cos(sin 2 ;|cossin|2sin1 7、补充公式: 精品文档 精品文档 万能公式 2 tan1 2 tan2 sin 2 ; 2 tan1 2 tan1 co s 2 2 ; 2 t an1 2 t an2 t an 2 积化和差公式 )sin()sin( 2 1 cossin )sin()sin( 2 1 sincos )cos()cos( 2 1 coscos )cos()cos( 2 1 sinsin 和差化积公式 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 c os2sinsin 2 cos 2 c os2c osc os 2 sin 2 sin2coscos
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