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1、精品文档 精品文档 分数求和 分数求和的常用方法 : 1、公式法,直接运用一些公式来计算,如等差数列求和公式等。 2、图解法,将算式或算式中的某些部分的意思,用图表示出来,从 而找出简便方法。 3、裂项法,在计算分数加、减法时,先将其中的一些分数做适当的 拆分,使得其中一部分分数可以互相抵消,从而使计算简便。 4、分组法,运用运算定律,将原式重新分组组合,把能凑整或约分 化简的部分结合在一起简算。 5、代入法,将算式中的某些部分用字母代替并化简,然后再计算出 结果。 典型例题 一、公式法: 计算: 2008 1 + 2008 2 + 2008 3 + 2008 4 + + 2008 2006
2、+ 2008 2007 分析:这道题中相邻两个加数之间相差 2008 1 ,成等差数列,我们 可以运用等差数列求和公式: (首项 +末项)项数 2 来计算。 2008 1 + 2008 2 + 2008 3 + 2008 4 + + 2008 2006 + 2008 2007 =( 2008 1 2008 2007 ) 2007 2 = 2 1 1003 二、图解法: 计算: 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 分析:解法一,先画出线段图: 精品文档 精品文档 从图中可以看出: 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 =1 64 1 = 64 63 解法二 :观
3、察算式,可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因 此,只要添上一个加数 64 1 ,就能凑成 32 1 ,依次向前类推,可以求出 算式之和。 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 = 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 ( 64 1 64 1 ) 64 1 = 2 1 4 1 8 1 16 1 ( 32 1 + 32 1 ) 64 1 = 2 1 2 64 1 = 64 63 解法三:由于题中后一个加数总是前一个加数的一半,根据这一特点, 我们可以把原式扩大2 倍,然后两式相减,消去一部分。 设 x= 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 那么, 2x
4、=( 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 ) 2 =1+ 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 用得 2xx=1+ 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 ( 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 ) x= 64 63 所以, 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 = 64 63 精品文档 精品文档 三、裂项法 1、计算: 2 1 + 6 1 12 1 20 1 30 1 90 1 110 1 分析:由于每个分数的分子均为1,先分解分母去找规律: 2=1 2,6=2 3,12=3 4,20=4 5,30=5 6, 110=10 11,
5、这些 分母均为两个连续自然数的乘积。 再变数型:因为 2 1 = 21 1 =1 2 1 , 6 1 = 32 1 = 2 1 3 1 , 12 1 = 43 1 = 3 1 4 1 , 110 1 = 1110 1 = 10 1 - 11 1 。这样将连加运算变成加减混合运算, 中间分数互相抵消,只留下头和尾两个分数,给计算带来方便。 2 1 + 6 1 12 1 20 1 30 1 90 1 110 1 =1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 9 1 10 1 10 1 - 11 1 =1 11 1 = 11 10 2、计算: 51 1 95 1 139 1 3329 1 3733
6、1 分析:因为 51 4 =1 5 1 , 95 4 = 5 1 9 1 , 139 4 = 9 1 13 1 3329 4 = 29 1 33 1 , 3733 4 = 33 1 37 1 。所以,我们可以将题中的每一个加数都扩大4 倍后,再分裂成两个数的差进行简便计算。 51 1 95 1 139 1 3329 1 3733 1 =( 51 4 95 4 139 4 3329 4 3733 4 ) 4 =(1 5 1 5 1 9 1 9 1 13 1 29 1 33 1 33 1 37 1 ) 4 =(1 37 1 ) 4 = 37 9 3、计算: 21 3 4 15 4 35 4 63
7、4 99 4 143 4 195 4 255 4 分析:因为 3 4 =4 3 1 =4 31 1 =4( 1 3 1 )2 1 , 精品文档 精品文档 15 4 =4 15 1 =4 53 1 =4 ( 3 1 5 1 ) 2 1 , 35 4 =4 35 1 =4 75 1 =4 ( 5 1 7 1 ) 2 1 , 255 4 =4 255 1 =4 1715 1 =4 ( 15 1 17 1 ) 2 1 . 所以,先用裂项法求出分数串的和,使计算简便。 21 3 4 15 4 35 4 63 4 99 4 143 4 195 4 255 4 =214 (1 3 1 + 3 1 5 1 +
8、 5 1 7 1 15 1 17 1 )2 1 =212 (1 17 1 ) =19 17 2 4、计算: 2 1 6 5 12 11 20 19 30 29 9702 9701 9900 9899 分析: 仔细观察后发现,每个加数的分子均比分母少1.这样可变形为: 2 1 =1 2 1 =1 21 1 , 6 5 =1 6 1 =1 32 1 ,12 11 =1 12 1 =1 43 1 ,20 19 =1 20 1 =1 54 1 , 9900 9899 =1 9900 1 =1 10099 1 .然后再裂项相消。 2 1 6 5 12 11 20 19 30 29 9702 9701 9
9、900 9899 =(1 2 1 )( 1 6 1 )(1 12 1 )(1 20 1 ) (1 9900 1 ) =1 99( 2 1 6 1 12 1 20 1 9900 1 ) =99( 21 1 32 1 43 1 54 1 10099 1 ) =99(1 100 1 ) =99 100 1 5、计算 :1 4321 1 321 1 21 1 + 100321 1 分析:可以看出,第一项的分母为1,第二项的分母为两个数相加, 依此类推,最后一个分母是100 个数相加且都是等差数列。这样, 利用等差数列求和公式, 或利用分数基本性质, 变分母为两个数相乘。 再裂项求和。 解法一: 1 4
10、321 1 321 1 21 1 + 100321 1 精品文档 精品文档 = 21 21 + 2 100)1001( 1 2 4)41 ( 1 2 3)31( 1 2 2)21( 1 = 101100 2 54 2 43 2 32 2 21 2 =2( 1 101 1 ) = 101 99 1 解法二:原式 = )1009921(2 21 )4321 (2 21 )321(2 21 )21 (2 21 21 2 = 101100 2 43 2 32 2 21 2 =2( 101100 1 43 1 32 1 21 1 ) =2( 1 101 1 ) = 101 99 1 6、计算 : 543
11、 1 432 1 321 1 1009998 1 分析:可以把题中的每两个加数分解成两个分数之差: ) 32 1 21 1 ( 2 1 321 1 ,) 43 1 32 1 ( 2 1 432 1 , ) 10099 1 9998 1 ( 2 1 1009998 1 ,此时,可消中间,留两头进行巧算。 原 式 = 2 1 ( 32 1 21 1 ) 2 1 ( 43 1 32 1 ) + 2 1 ( 10099 1 9998 1 ) = 2 1 ( 32 1 21 1 43 1 32 1 10099 1 9998 1 ) = 2 1 ( 10099 1 21 1 ) = 19800 4949
12、四、分组法:计算, 2004 1 + 2004 2 2004 3 2004 4 2004 5 2004 6 2004 7 2004 8 2004 9 2004 10 2004 1999 2004 2000 2004 2001 2004 2002 分析:算式中共有 2002 个分数,从第二个分数 2004 2 开始依次往后数, 每四个分数为一组,到 2004 2001 为止,共有500 组,每组计算结果都是 精品文档 精品文档 0. 原式= 2004 1 + ( 2004 2 2004 3 2004 4 2004 5 )( 2004 6 2004 7 2004 8 2004 9 ) 2004 1
13、0 +( 2004 1998 2004 1999 2004 2000 2004 2001 ) 2004 2002 = 2004 1 + 2004 2002 = 2004 2003 五、代入法 :计算(1+ 4 1 3 1 2 1 ) ( 5 1 4 1 3 1 2 1 )(1 5 1 4 1 3 1 2 1 ) ( 4 1 3 1 2 1 ) 分析:可以把算式中相同的一部分式子,设字母代替,可化繁为简, 化难为易。 设 4 1 3 1 2 1 =A, 5 1 4 1 3 1 2 1 =B,则 原式=(1+A) B(1+B) A =BABAAB =BA =( 5 1 4 1 3 1 2 1 )(
14、 4 1 3 1 2 1 ) = 5 1 热点习题 计算: 1、 49 13 49 11 49 9 49 7 49 5 49 3 49 1 【1】 2、 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1【 128 1 】 3、 42 1 30 1 20 1 12 1 6 1 2 1 【 7 6 】 4、 20092008 1 20082007 1 19911990 1 19901989 1 19891988 1 【 570556 3 2009 1 1988 1 】 5、 3937 1 3735 1 1917 1 1715 1 1513 1 【 39 1 】 精品文档 精品文
15、档 6、2+ 42 1 13 30 1 11 20 1 7 12 1 5 6 1 3【41 14 5 】 7、 56 55 42 41 30 29 20 19 12 11 6 5 2 1 【 8 1 6】 8、 399 400 323 324 255 256 195 196 143 144 99 100 63 64 35 36 15 16 3 4 【 21 10 10】 9、 110 21 90 19 72 17 56 15 42 13 30 11 20 9 12 7 6 5 1 【原式 =1 32 32 43 43 54 54 + 65 65 - 76 76 + 87 87 98 98 +
16、109 109 1110 1110 =1 ( 32 3 32 2 ) + ( 43 4 43 3 ) ( 54 5 54 4 )+ ( 1110 11 1110 10 ) =1( 2 1 3 1 )+( 3 1 4 1 )( 4 1 5 1 )+( 10 1 11 1 ) =1 11 1 2 1 = 22 9 】 10、 2002 1 + 2002 2 + 2002 3 + 2002 4 2002 5 2002 6 2002 7 2002 8 2002 9 2002 10 2002 1995 2002 1996 2002 1997 2002 1998 2002 1999 2002 2000 2
17、002 2001 2002 2002 【从第三个分数 2002 3 开始依次往后数,每8 个分数为一组,到最后 一个分数 2002 2002 为止,共有 250 组,每组计算结果都是0.所以,原式 = 2002 1 + 2002 2 = 2002 3 】 11 、 (1+ 5 1 4 1 3 1 2 1 ) ( 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 ) (1+ 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 ) ( 5 1 4 1 3 1 2 1 ) 【设 1+ 5 1 4 1 3 1 2 1 =A, 5 1 4 1 3 1 2 1 =B,原式=A (B+ 6 1 )(A+ 6 1 ) B= 6 1
18、 】 12、) 5 4 5 3 5 2 5 1 () 4 3 4 2 4 1 () 3 2 3 1 ( 2 1 + 精品文档 精品文档 ( 20 19 20 18 . 20 3 20 2 20 1 ) 【原式 = 2 1 +1+ 2 1 1+2+2 2 1 +9 2 1 =( 2 1 +9 2 1 ) 19 2=95】 13、2001 年是中国共产党建党80 周年, 2001 1921 是个有特殊意义的分 数。如果下式大于 2001 1921 ,那么 n 最小等于多少? )1( 1 43 1 32 1 21 1 nn 【1 1 1 n 2001 1921 ,n 8 1 24】 14、 )432
19、1 ()321( 4 )321()21( 3 )21(1 2 1 )10321()9321 ( 10 【先对分母用等差数列求和,再整体裂项求和。 原式=1 543 4 432 4 321 4 11109 4 =14 2 1 ( 32 1 21 1 )+ 2 1 ( 43 1 32 1 ) 2 1 ( 1110 1 109 1 ) =14 2 1 ( 1110 1 21 1 )= 55 1 】 15、 1100 1 . 16 1 14 1 12 1 2222 【利 用公式 1 1 1 1 2 1 1 1 2 aaa 变形各 项。原式 = 1100 1 12 1 2 1 = 101 50 】 16、 18910321 )99531()100642( 22222222 【利用bababa 22 变形,分母 =100 ,分子 =(2+1 ) (2-1)+ (4+3)(4-3) (10099)(100-99 ) =3711 199=101 精品文档 精品文档 50,原式= 100 50101 = 2 1 50】
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