2019年数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练:第3章3.3直线的方向向量(含解析).pdf
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1、33直线的方向向量 读教材 填要点 1直线的方向向量 一般地,如果向量v0 与直线 l 平行,就称v 为 l 的方向向量 2直线的方向向量的应用 (1)两条直线垂直? 它们的方向向量垂直 (2)要证明两条直线平行,只要证明这两条直线不重合,并且它们的方向向量AB 与 CD 平行,也就是证明其中一个方向向量是另一个方向向量的实数倍:CD k AB (k 是某个实 数) (3)求两条异面直线AB,CD 所成的角 若两条异面直线AB, CD 所成的角为 , AB , CD 所成的角为 1,则 cos |cos_ 1| |AB CD | |AB | |CD | . 小问题 大思维 1直线的方向向量是唯
2、一的吗?若不唯一,直线的方向向量之间的关系是怎样的? 提示: 直线的方向向量不是唯一的,直线的不同的方向向量是共线向量 2两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角之间有什么关系? 提示: 相等或互补 求异面直线所成的角 (2017 全国卷 )已知直三棱柱ABC-A1B1C1中, ABC120 , AB2,BC CC1 1,则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为() A. 3 2 B. 15 5 C. 10 5 D. 3 3 自主解答 以 B1为坐标原点, B1C1所在的直线为x 轴,垂直于 B1C1的直线为 y轴, BB1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图 所示由已知条件知B1
3、(0,0,0),B(0,0,1),C1(1,0,0),A(1, 3,1), 则 BC1 (1,0, 1), AB1 (1,3, 1) 所以 cosAB1 , BC 1 AB1 BC1 |AB1 | |BC1 | 2 52 10 5 . 所以异面直线AB1与 BC1所成的角的余弦值为 10 5 . 答案 C 利用向量求异面直线所成角的步骤为: (1)确定空间两条直线的方向向量; (2)求两个向量夹角的余弦值; (3)比较余弦值与0 的大小,确定向量夹角的范围; (4)确定线线角与向量夹角的关系:当向量夹角为锐角时,即为两直线的夹角;当向量 夹角为钝角时,两直线的夹角为向量夹角的补角 1.如图,在
4、四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1 的菱形, ABC 4.OA底面 ABCD,OA2,M 为 OA 的中点求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 解:作 APCD 于点 P.如图, 分别以 AB,AP,AO 所在直线为x,y, z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0),B(1,0,0), D 2 2 , 2 2 ,0 ,M(0,0,1) 设 AB 和 MD 所成角为 , AB (1,0,0), MD 2 2 , 2 2 , 1 , cos |AB MD | | AB | |MD | 1 2. 3. 异面直线AB 与 MD 所成角的大小为 3. 证明线线垂直 已知正三棱柱A
5、BC-A1B1C1的各棱长都为1,M 是底面上BC 边的中点, N 是侧棱 CC1 上的点,且CN1 4CC 1.求证: AB1MN . 自主解答 法一: (基向量法 ) 设 AB a, AC b, AA1 c,则由已知条件和正三棱柱的性质,得 |a| |b|c|1,a cb c0, AB1 ac, AM 1 2(ab), AN b 1 4c, MN AN AM 1 2a 1 2b 1 4c, AB1 MN (ac) 1 2a 1 2b 1 4c 1 2 1 2cos 60 1 4 0. AB1 MN .AB1MN . 法二: (坐标法 )设 AB 中点为 O,作 OO1AA1. 以 O 为坐
6、标原点,以OB,OC,OO1所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A 1 2,0,0 ,B 1 2,0,0 , C 0, 3 2 ,0 , N 0, 3 2 , 1 4 ,B1 1 2, 0, 1 , M 为 BC 中点, M 1 4, 3 4 ,0 . MN 1 4, 3 4 , 1 4 ,AB1 (1,0,1), MN AB1 1 40 1 4 0. MN AB1 .AB1MN . 利用向量法证明空间两条直线互相垂直,其主要思路是证明两直线的方向向量相互垂 直 (1)利用坐标法时要建立适当的空间直角坐标系,并能准确地写出相关点的坐标 (2)利用基向量
7、法证明的关键是能用基向量正确表示出相关的向量 2直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面 ABCD 是矩形, AB2,AD1,AA13, M 是 BC 的中点在DD1上是否存在一点N,使 MN DC1?并说明理由 解: 如图所示,建立以D 为坐标原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴的空间直角坐标系,则C1(0,2,3), M 1 2,2,0 ,D(0,0,0),设存在 N(0,0,h), 则 MN 1 2, 2, h , DC 1 (0,2,3), MN DC1 1 2, 2,h (0,2,3) 43h, 当 h 4 3时, MN DC1 0, 此时 MN D
8、C1 ,存在NDD1,使 MN DC1. 解题高手妙解题什么是智慧,智慧就是简单、高效、不走弯路 如图,已知空间四边形OABC 各边都相等, E,F 分别为 AB,OC 的中 点,求 OE 与 BF 所成的角的余弦值 巧思 求异面直线OE 与 BF 所成的角, 由于已知OA,OB,OC 的长 度及夹角,因此,可以用OA , OB , OC 表示 OE 与 BF ,然后利用向量的 夹角公式计算即可 妙解 设 OA a, OB b, OC c, 且|a|b|c|1,则 a bb cca1 2. 又 OE 1 2(a b), BF 1 2cb,|OE | BF|3 2 . 所以 OE BF 1 2(
9、ab) 1 2cb 1 4a c 1 2a b 1 4b c 1 2|b| 21 2. 所以 cos OE , BF OE BF |OE | |BF | 2 3. 所以直线OE 与 BF 所成角的余弦值为 2 3. 1若 A(1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线l 的一个方向向量为() A (1,2,3)B(1,3,2) C (2,1,3) D(3,2,1) 解析: AB (2,4,6),且 (2,4,6)2(1,2,3),直线 l 的一个方向向量是(1,2,3) 答案: A 2设 l1的方向向量为 a(1,2, 2),l2的方向向量为b(2,3,m),若 l1l2,则 m (
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