2006年全国高中数学联赛试题及解答.pdf
《2006年全国高中数学联赛试题及解答.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2006年全国高中数学联赛试题及解答.pdf(12页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2006 年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说 明: 1评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题只设6 分和 0 分两档,填空题只设9 分和 0 分两档; 其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时可参照本评分标 准适当划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次. 一、选择题 (本题满分 36 分,每小题 6 分) 1已知 ABC,若对任意t R,| BAtBC | AC ,则 ABC 一定为 A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D答案不确定 答 C 解:令 ABC ,过
2、 A 作 ADBC 于 D,由| BA tBC | AC ,推出 | BA 2 2t BA BC t 2| | BC 2 | AC 2 ,令 t BA BC | BC 2 ,代入上式,得 | BA 2 2| BA 2 cos 2 | | BA 2 cos 2 | | AC 2 ,即| BA 2 sin 2 | | AC 2 , 也即| BA sin | AC 从而有| AD | AC 由此可得 ACB 2 2设 logx(2x 2x1)log x21,则 x 的取值范围为 A 1 2x1 Bx 1 2且 x1 C x1 D 0x1 答 B 解:因为 x0,x1 2x 2x10,解得 x 1 2
3、且 x1由 log x(2x 2x1) log x21, logx(2x 3x2x)log x2 0x1, 2x 3x2x 2或 x1, 2x 3x2x2解得 0x1 或 x 1 所以 x 的取值范围为x 1 2且 x1 3已知集合A x|5xa0 ,B x|6xb0 ,a,bN,且 A BN2,3,4 ,则整数对 (a, b)的个数为 A20 B25 C30 D42 答 C 解: 5x a0xa 5;6xb0 x b 6要使 ABN2,3,4,则 1 b 6 2, 4a 5 5 ,即 6b 12, 20a25所以数对 (a,b)共有 C6 1C 5 130 个 4在直三棱柱A1B1C1ABC
4、 中, BAC 2,ABACAA11已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1的 中点, D 与 F 分别为线段AC 和 AB 上的动点 (不包括端点 )若 GDEF,则线段DF 的长度的取 值范围为 A 1 5 ,1) B1 5,2) C1 ,2) D 1 5 ,2) 答 A 解:建立直角坐标系,以A 为坐标原点, AB 为 x 轴, AC 为 y 轴, AA1为 z轴,则 F(t1,0,0)(0 t11),E(0,1, 1 2),G( 1 2,0,1),D(0,t 2,0)(0t21)所以 EF (t1, 1, 1 2), GD ( 1 2 , t2, 1)因为 GDEF,所以 t12
5、t2 1,由此推出 0t2 1 2 又 DF (t1, t2,0), | DF t1 2t 2 2 5t2 2 4t21 5(t22 5) 21 5,从而有 1 5| | DF 1 5设 f(x) x 3log 2(xx 2 1),则对任意实数 a, b,ab0是 f(a)f(b) 0 的 A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 答 A 解:显然f(x) x3log2(x x 2 1)为奇函数,且单调递增于是 若 ab0,则 a b,有 f(a)f(b),即 f(a) f(b),从而有f(a) f(b)0 反之,若f(a)f(b)0,则 f(
6、a) f(b)f(b),推出 a b,即 ab0 6数码 a1,a2,a3, a2006中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2a2006 的个数为 A 1 2(10 200682006) B 1 2(10 200682006) C10 2006 82006 D10 200682006 答 B 解:出现奇数个9 的十进制数个数有A C2006 1 9 2005C 2006 3 9 2003 C 2006 20059又由于 (91) 2006 k 0 2006 C2006 k 9 2006k 以及 (91)2006 k 0 2006 C2006 k (1) k92006k 从而得 A
7、C2006 1 9 2005C 2006 3 9 2003 C 2006 200591 2(10 200682006) 二、填空题 (本题满分 54 分,每小题 9 分) 7. 设 f(x)sin 4xsinxcosxcos4x,则 f(x)的值域是 填0, 9 8 解: f(x)sin4xsinxcosxcos4x1 1 2sin2x 1 2 sin 22x令 tsin2x,则 f(x)g(t)1 1 2t 1 2t 29 8 1 2(t 1 2) 2因此 1 t1 min g(t)g(1)0, 1t1 max g(t)g( 1 2) 9 8 故, f(x)0,9 8 8. 若对一切 R,
8、复数 z (acos )(2asin )i 的模不超过2, 则实数 a 的取值范围为 填 5 5 , 5 5 解:依题意,得|z|2(acos )2(2asin )242a(cos 2sin )35a2 2 5asin( )35a 2( arcsin5 5 )对任意实数 成立 2 5|a|3 5a 2 |a| 5 5 ,故a 的取值范围为 5 5 , 5 5 9 已知椭圆 x 2 16 y 2 4 1 的左右焦点分别为F1与 F2, 点 P 在直线 l: x3y823 0上 . 当 F1PF2 取最大值时,比 |PF1| |PF2|的值为 填31. 解:由平面几何知,要使F1PF2最大,则过F
9、1,F2,P 三点的圆必定和直线l 相切于点P直 线 l 交 x 轴于 A(823, 0),则 APF1 AF2P,即 ?APF1?AF2P,即 |PF1| |PF2| |AP| |AF2| 又由圆幂定理, |AP| 2|AF 1| |AF2| 而 F1(2 3,0),F2(2 3,0),A(82 3,0),从而有 |AF1|8,|AF2|843 代入,得, |PF1| |PF2| |AF1| |AF2| 8 84 3 42 331 10底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为 1 2cm 的实心铁球,四个球两两相切,其中底层 两球与容器底面相切. 现往容器里注水, 使水面恰好浸没所有铁
10、球,则需要注水cm3 填(1 3 2 2 ) 解:设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4,其中 O1,O2为下层两球的球心,A,B,C,D 分别为四个球心在底面的射影则ABCD 是一个边长为 2 2 的正方形。所以注水高为1 2 2 故应注 水 (1 2 2 )44 3 ( 1 2) 3 (1 3 2 2 ) 11方程 (x 20061)(1x2x4 x2004)2006x2005 的实数解的个数为 填 1 解: (x20061)(1x2x4 x2004)2006x2005 (x 1 x 2005)(1x2x4 x2004)2006 xx 3x5 x20051 x 2005 1 x 20
11、03 1 x 2001 1 x 2006,故 x0,否则左边 0 2006x 1 x x 31 x 3 x 20051 x 2005210032006 等号当且仅当x1 时成立 所以 x1 是原方程的全部解因此原方程的实数解个数为1 12. 袋内有 8 个白球和2 个红球,每次从中随机取出一个球,然后放回1 个白球,则第4 次恰好取完 所有红球的概率为 填 0.0434 解:第 4 次恰好取完所有红球的概率为 2 10( 9 10) 21 10 8 10 2 10 9 10 1 10( 8 10) 22 10 1 100.0434 三、解答题(本题满分60 分,每小题 20 分) 13. 给定
12、整数n2,设 M0(x0,y0)是抛物线y 2nx 1 与直线 yx 的一个交点 . 试证明对于任意正整 数 m,必存在整数k2,使 (x0 m, y 0 m)为抛物线 y 2kx1 与直线 yx 的一个交点 证明:因为y 2nx1 与 yx 的交点为 x0y0 nn 24 2 显然有x0 1 x0=n 2 (5 分) 若(x0 m,y 0 m)为抛物线 y 2kx1 与直线 yx 的一个交点,则 kx0 m 1 x0 m (10 分) 记 kmx0 m 1 x0 m, 由于 k1 n 是整数, k2x0 21 x0 2(x0 1 x0) 22n22 也是整数, 且km1km(x0 1 x0)
13、km 1nkmkm1,(m2) (13.1) 所以根据数学归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数m,kmx0 m1 x0 m是正整数,且 km2 现在对于任意正整数m,取 kx0 m 1 x0 m,满足 k2,且使得 y 2kx1 与 yx 的交点为 (x 0 m,y 0 m) (20 分) 14将 2006 表示成 5 个正整数x1, x2, x3, x4,x5之和记 S 1ij 5 xixj问: 当 x1,x2,x3,x4,x5取何值时, S取到最大值; 进一步地,对任意1i,j5 有|xixj2,当 x1,x2,x3,x4,x5取何值时, S取到最小值 . 说明理由 解:(1)
14、首先这样的S的值是有界集, 故必存在最大值与最小值。若 x1 x2x3 x4x52006, 且使 S 1 i j5 xixj 取到最大值,则必有 |xixj 1 (1i,j5) (5 分) (*) 事实上,假设(*) 不成立,不妨假设x1x22,则令 x1x1 1,x2 x2 1,xi xi (i3, 4,5)有 x1 x2x1x2,x1x2 x1x2 x1 x2 1x1x2将 S改写成 S 1ij 5 xixjx1x2(x1x2)(x3x4x5) x3x4x3x5x4x5 同时有Sx1 x2 (x1 x2 )(x3x4x5)x3x4x3x5x4x5于是有 S Sx1 x2 x1x2 0这与
15、S在 x1,x2,x3,x4,x5时取到最大值矛盾所以必有| xi xj1,(1 i,j 5) 因此当 x1402, x2x3x4x5401 时 S取到最大值(10 分) 当 x1x2x3x4x52006,且|xixj2 时,只有 (I)402, 402, 402, 400, 400; (II)402, 402, 401, 401, 400; (III )402, 401, 401, 401, 401; 三种情形满足要求(15 分) 而后两种情形是由第一组作xixi1,xjxj1 调整下得到的根据上一小题的证明可知 道,每次调整都使和式S 1 ij 5 xixj 变大所以在x1x2 x3 40
16、2, x4x5400 时 S 取到最小 值 (20 分) 15设f(x) x 2 a. 记 f1(x) f(x),fn(x)f(fn1(x), n1,2,3, M aR|对所有正整数n,|f n(0) 2 证明, M2,1 4 证明:如果 a 2,则|f 1(0) |a|2,a / M (5 分) 如果 2a 1 4,由题意, f 1(0)a,fn(0)(fn1(0)2a,n2,3,则 当 0a 1 4时, |f n(0) 1 2,( n1). 事实上,当n1 时,| | f1(0) |a| 1 2,设 nk1 时成立 ( k 2为某整数),则对 nk, |f k(0) | |f k1(0)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2006 全国 高中数学 联赛 试题 解答
链接地址:https://www.31doc.com/p-5566953.html