2009—历年安徽高考数学理试卷答案.pdf
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1、1 2009年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理)试题 第 I 卷(选择题共 50 分) 一.选择题:本大题10 小题,每小题5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位,若 17 ( ,) 2 i abi a bR i ,则乘积ab的值是 (B) ( A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15 (2)若集合 21 |21| 3 ,0 , 3 x AxxBx x 则 A B是 (D) ( A) 1 123 2 xxx或 (B) 23xx (C) 1 2 2 xx (D) 1 1 2 xx (3)下列曲线中离心率为 6 2 的
2、是 (B) (A) 22 1 24 xy (B) 22 1 42 xy (C) 22 1 46 xy (D) 22 1 410 xy (4)下列选项中, p 是 q 的必要不充分条件的是(A) (A)p:acb+d , q:ab 且 cd (B)p:a1,b1,q:( )(10) x f xaba的图像不过第二象限 (C)p: x=1 , q: 2 xx (D)p:a1, q: ( )log(10) a f xxa在(0,)上为增函数 (5)已知 n a为等差数列, 1 a+ 3 a+ 5 a=105, 246 aaa=99.以 n S表示 n a的前n项和, 则使得 n S达到最大值的 n是
3、( B) (A)21 (B)20 (C)19 (D) 18 (6)设ab, 函数 2 () ()yxaxb的图像可能是 (C) 2 (7)若不等式组 0 34 34 x xy xy 所表示的平面区域被直线 4 3 ykx分为面积相等的两部分,则 k的值是 (A)(A) 7 3 (B) 3 7 (C) 4 3 (D) 3 4 (8)已知函数( )3sincos(0)f xxx, ( )yfx 的图像与直线2y的两个相邻交 点的距离等于,则( )f x的单调区间是 ( C) (A) 5 , 1212 kkkZ (B) 511 , 1212 kkkZ (C) , 36 kkkZ (D) 2 , 63
4、 kkkZ (9)已知函数( )fx在 R 上满足 2 ( )2 (2)88f xfxxx,则曲线( )yf x在点 (1,(1)f处的切线方程是(A) (A)21yx(B)y x (C)32yx(D)23yx (10)考察正方体6 个面的中心, 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点 中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(D) (A) 1 75 (B) 2 75 (C) 3 75 (D) 4 75 二填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 (11)若随机变量X 2 ( ,),则()P X=_. 解答:
5、1 2 (12)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单 位。已知直线的极坐标方程为() 4 R,它与曲线 12cos 22sin x y (为参数) 相交 于两点 A 和 B,则 |AB|=_. 解答:14 (13) 程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是_. 解答: 127 3 (14)给定两个长度为1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为120 o . 如图 所示,点C 在以O 为圆心的圆弧上变动 .若,OCxOAyOB其中 , x yR,则xy的最大值是 =_. 解答: 2 (15)对于四面体ABCD ,下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编
6、号)。 1 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面; 2 由顶点 A 作四面体的高,其垂足是BCD 的三条高线的交点; 3若分别作 ABC 和ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在的直线异面; 4 分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; 5 最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。 解答:14 5 三解答题:本大题共6 小题,共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解 答写在答题卡的指定区域内。 (16) (本小题满分12 分) 在ABC 中, sin(C-A)=1, sinB= 1 3 。 (I)求 sinA 的值; (II) 设 AC=6
7、,求ABC 的面积。 (16) 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、 解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 本小题满分12 分 解: (I)由sin()1,CACA知 2 CA。 又,ABC所以2, 2 AB即2,0. 24 ABA 故 213 cos2sin,12sin,sin. 33 ABAA (II) 由( I)得: 6 cos. 3 A 又由正弦定理,得: sin ,3 2, sinsinsin BCACA BCAC ABB 所以 11 sincos3 2. 22 ABC SAC BCCAC BCA (17) (本小题满分12 分) 某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型H1N
8、1 流感,其中只有A 到过疫区 B 肯定是 受 A 感染的。 对于 C,因为难以断定他是受A 还是受 B 感染的, 于是假定他受A 和受 B 感 4 染的概率都是 1 2 。同样也假定D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 1 3 。在这种假定之下,B、C、 D 中直接 受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量。写出X 的分布列 (不要求写出计算过程),并 求 X 的均值(即数学期望). (17) 本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布 列和均值的概念, 通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识。 体现数学的科学价值。本小题满分12
9、分。 解:随机变量X 的分布列是 11111 123 3266 EX。X的均值 附: X 的分布列的一种求法 共有如下6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 1 6 : A BCD A BC D ABC D ABD C ACD B 在情形和之下,A 直接感染了一个人;在情形、之下,A 直接感染了两个人; 在情形之下,A 直接感染了三个人。 (18) (本小题满分13 分) 如图,四棱锥F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线AC=2, BD=2,AE、CF 都与平面ABCD 垂直, AE=1,CF=2。 (I)求二面角B-AF-D 的大小; (II )求四棱锥E-ABCD 与四棱
10、锥F-ABCD 公共部分的体积。 (18) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位 置关系、 相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识, 考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立 体几何问题的能力。本小题满分13 分。 解: (I)(综合法 )连接 AC 、BD 交于菱形的中心O,过 O 作 OGAF,G 为垂足。 连接 BG、 DG。 由 BDAC,BD CF,得: BD 平面 ACF,故 BD AF. 于是 AF平面 BGD, 所以 BGAF,DG AF,BGD 为二面角B-AF-D 的平面角。 由 FCAC,FC=AC=2, 得 FAC= 4 ,OG
11、= 2 2 . 由 OBOG,OB=OD= 2 2 ,得 BGD=2 BGO= 2 . X 1 2 3 P 1 3 1 2 1 6 5 (向量法 )以 A 为坐标原点,BD、AC、AE方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空 间直角坐标系 (如图 ).于是 22 (,1,0),(,1,0),(0,2,2). 22 BDF 设平面 ABF 的法向量 1 ( , , )nx y z,则由 1 1 0 0 nAB nAF 得 2 0 2 220 xy yz 。 令1,z得 2 1 x y , 1 (2, 1,1)n 同理,可求得平面ADF 的法向量 2 ( 2, 1,1)n。 由 12 0n n知,
12、平面 ABF 与平面 ADF 垂直, 二面角 B-AF-D 的大小等于 2 。 (II ) 连 EB、 EC、 ED, 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H, 则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥H-ABCD 。 过 H 作 HP平面 ABCD ,P 为垂足。 因为 EA平面 ABCD ,FC平面 ABCD , ,所以平面ACFE平面 ABCD , 从而,.PAC HPAC 由1, HPHPAPPC CFAEACAC 得 2 3 HP。 又因为 1 2, 2 ABCD SAC BD 菱形 故四棱锥 H-ABCD的体积 12 2 . 39 ABCD VSHP 菱
13、形 (19) (本小题满分12 分) 已知函数 2 ( )(2ln ),0f xxax a x ,讨论( )f x的单调性 . (19)本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思 6 想方法和运算求解的能力。本小题满分12 分。 解:( )f x的定义域是 (0,+), 2 22 22 ( )1. axax fx xxx 设 2 ( )2g xxax,二次方程( )0g x的判别式 2 8a. 当 2 80,0aa,即02 2a时,对一切0x都有( )0fx. 此时( )f x在(0,)上是增函数。 当 2 80,0aa,即2 2a时,仅对2x有( )0fx,
14、对其余的0x都有 ( )0fx, 此时( )f x在(0,)上也是增函数。 当 2 80,0aa,即2 2a时, 方程( )0g x有两个不同的实根 2 1 8 2 aa x, 2 2 8 2 aa x,120xx. x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x ( )fx+ 0 _ 0 + ( )f x 单调递增极大单调递减极小单调递增 此时( )f x在 2 8 (0,) 2 aa 上单调递增, 在 22 88 (,) 22 aaaa 是上单调递减, 在 2 8 (,) 2 aa 上单调递增 . (20) (本小题满分13 分) 点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) x
15、y ab ab 上, 00 cos ,sin,0. 2 xayb直线 2 l与直线 00 122 :1 xy lxy ab 垂直, O 为坐标原点, 直线 OP 的倾斜角为,直线 2 l的倾斜角 为. (I)证明 : 点P是椭圆 22 22 1 xy ab 与直线 1 l的唯一交点; (II )证明 :tan,tan,tan构成等比数列。 (20)本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比数 7 列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13 分。 解: (I) (方法一)由 00 22 1 xy xy ab 得 2 2 0 2 0 (),
16、 b yax x a y 代入椭圆 22 22 1 xy ab , 得 2222 200 24222 000 21 ()(1)0 b xb xb xx aa ya yy . 将 0 0 cos sin xa yb 代入上式 ,得 222 2 coscos0,xaxa从而cos .xa 因此 ,方程组 22 22 00 22 1 1 xy ab xy xy ab 有唯一解 0 0 xx yy ,即直线 1 l与椭圆有唯一交点P. (方法二 )显然 P 是椭圆与 1 l的交点, 若 Q 111 (cos, sin),02ab是椭圆与 1 l的交点, 代入 1 l的方程 cossin 1xy ab
17、,得 11 coscossinsin1, 即 11cos()1,故 P 与 Q 重合。 (方法三)在第一象限内,由 22 22 1 xy ab 可得 2222 00 , bb yaxyax aa 椭圆在点P 处的切线斜率 2 00 0 2 22 0 0 (), bxb x ky x a y a ax 切线方程为 2 0 002 0 (), b x yxxy a y 即 00 22 1 x xy y ab 。 因此, 1 l就是椭圆在点P处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 1 l的唯一交点。 (II ) 0 0 tantan, yb xa 1 l的斜率为 2 0 2 0 , x b
18、 y a 2 l的斜率为 2 0 2 0 tantan, y aa x bb 由此得 2 tantantan0, tan,tan,tan构成等比数列。 (21) (本小题满分13 分) 首项为正数的数列 n a满足 2 1 1 (3),. 4 nn aanN (I)证明:若 1 a为奇数,则对一切2, n na都是奇数; 8 (II )若对一切nN 都有 1nn aa,求 1 a的取值范围。 (21)本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识,考查推理论证、抽象概括、 运算求解和探究能力,考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。 解: (I)已知 1 a是奇
19、数,假设21 k am是奇数,其中m为正整数, 则由递推关系得 2 1 3 (1)1 4 k k a am m是奇数。 根据数学归纳法,对任何nN , n a都是奇数。 (II ) (方法一)由 1 1 (1)(3) 4 nnnn aaaa知, 1nn aa当且仅当1na或3na。 另一方面,若01, k a则 1 13 01 4 k a;若3ka,则 2 1 33 3. 4 k a 根据数学归纳法, 11 01,01,;33,. nn aanNaanN 综合所述,对一切nN 都有 1nnaa 的充要条件是 101a 或 13a 。 (方法二)由 2 1 21 3 , 4 a aa得 2 11
20、 430,aa于是 1 01a或 1 3a。 22 111 1 33()() , 444 nnnnnn nn aaaaaa aa 因为 2 11 3 0, 4 n n a aa所以所有的 n a均大于 0,因此 1nn aa与 1nn aa同号。 根据数学归纳法,nN , 1nn aa与 21 aa同号。 因此,对一切nN 都有 1nn aa的充要条件是 1 01a或 1 3a。 9 2010年普通高等学校招生全国统一考试( 安徽卷 ) 理科数学测试 第卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 (
21、1)i是虚数单位, i i 33 (A) 12 3 4 1 (B)i 12 3 4 1 (C)i 6 3 2 1 (D)i 6 3 2 1 (2)若集合 2 1 log| 2 1x xA,则 ACR (A) , 2 2 0 ,((B), 2 2 (C) , 2 2 0 ,((D), 2 2 (3)设向量) 2 1 , 2 1 (),0, 1(ba,则下列结论中正确的是 (A)|ba(B) 2 2 ba(C)bba与垂直 (D)ba/ (4)若)(xf是 R 上周期为5 的奇函数,且满足,2)2(, 1)1 (ff则)4()3(ff= (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 (5)双曲线方程
22、为12 22 yx,则它的右焦点坐标为 (A))0, 2 2 ((B))0, 2 5 ((C))0, 2 6 ((D))0 ,3( (6)设0abc,二次函数cbxaxxf 2 )(的图象可能是 10 (7)设曲线C 的参数方程为 sin31 cos32 y x (为参数), 直线l的方程为023yx,则曲线C 到直线l的距 离为 10 107 的点的个数为 (A)1 (B)2 (C) 3 (D)4 (8)一个几何全体的三视图如图,该几何体的表面积为 (A)280 (B)292 (C) 360 (D)372 (9)动点),(yxA在圆1 22 yx上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转
23、一周 . 已知定时 t=0 时,点 A 的坐标是) 2 3 , 2 1 (,则当120t时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单位:秒)的函数的单调递增区间是 (A)0,1 (B)1,7 (C)7,12 (D)0,1和7,12、 (10)设 n a是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前 3n 项和分别为X,Y,Z, 则下列等式中恒成立的是 (A)YZX2(B))()(XZZXYY (C)XZY 2 (D))()(XZXXYY 第卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共5 小题,每小题5 分,共 25 分把答案填在答题卡的相应位置 (11)命题“对任何3|4|2| ,xxR
24、x”的否定是 (12) 6 x y y x 的展开式中, 3 x的系数等于 (13) 设yx,满足约束条件 ,0,0 ,048 ,022 yx yx yx 若目标函数)0, 0(bayabxz的最大值 为 8,则ba的最小值为 (14)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x (15)甲罐中有5 个红球, 2 个白球和3 个黑球,乙罐中有4 个红 球, 3 个白球和3 个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 11 分别以 A1,A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球 的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件,则下列结论中正确的是(写出所有正确结 论的
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