2020-2021中考数学锐角三角函数综合试题及详细答案.pdf
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1、2020-2021中考数学 锐角三角函数综合试题及详细答案 一、锐角三角函数 1如图, AB是O 的直径,点C,D 是半圆 O 的三等分点,过点C作 O 的切线交AD的 延长线于点E,过点 D 作 DFAB 于点 F,交 O 于点 H,连接 DC,AC (1)求证: AEC=90 ; (2)试判断以点A,O,C,D 为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若 DC=2,求 DH 的长 【答案】( 1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2 【解析】 试题分析:( 1)连接 OC,根据 EC与O 切点 C,则 OCE=90 ,由题意得 , DAC= CAB,即可证明AEOC
2、,则 AEC+ OCE=180 ,从而得出 AEC=90 ; (2)四边形AOCD为菱形由( 1)得,则 DCA=CAB可证明四边形AOCD是 平行四边形,再由OA=OC ,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边 形是菱形); (3)连接 OD根据四边形AOCD为菱形,得 OAD 是等边三角形,则AOD=60 ,再由 DHAB于点 F,AB为直径,在RtOFD 中,根据sinAOD=,求得 DH 的长 试题解析:( 1)连接 OC, EC与O 切点 C, OCEC , OCE=90 , 点 CD是半圆 O 的三等分点, , DAC= CAB, OA=OC, CAB= OCA,
3、 DAC= OCA, AEOC (内错角相等,两直线平行) AEC+ OCE=180 , AEC=90 ; (2)四边形AOCD为菱形理由是: , DCA= CAB, CDOA, 又 AEOC , 四边形 AOCD是平行四边形, OA=OC, 平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接 OD 四边形 AOCD为菱形, OA=AD=DC=2 , OA=OD, OA=OD=AD=2, OAD是等边三角形, AOD=60 , DHAB于点 F,AB为直径, DH=2DF, 在 RtOFD中, sinAOD=, DF=ODsinAOD=2sin60=, DH=2DF=2
4、考点: 1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形 2如图 13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形 为 (1)求证:四边形是菱形; (2)连接,若, 求的值; 若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以 的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点 ,到达点后停止运动当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的 长和点走完全程所需的时间 【答案】( 1)详见解析;(2)和走完全程所需时间为 【解析】 试题分析:( 1)利用四边相等的四边形是菱形;(2) 构造直角三角形求; 先确定点沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时的位置,
5、再计算运到的时间. 试题解析:解:(1)证明:四边形是矩形 . 与交于点 O,且 关于对称 四边形是菱形 . (2) 连接,直线分别交于点,交于点 关于的对称图形为 在矩形中,为的中点,且O 为 AC的中点 为的中位线 同理可得:为的中点, 过点 P作交于点 由运动到所需的时间为3s 由 可得, 点 O 以的速度从P到 A 所需的时间等于以从 M 运动到 A 即: 由 O 运动到 P所需的时间就是OP+MA 和最小 . 如下图,当P运动到 ,即 时,所用时间最短. 在中,设 解得: 和走完全程所需时间为 考点:菱形的判定方法;构造直角三角形求三角函数值;确定极值时动点的特殊位置 3如图,四边形
6、ABCD是菱形,对角线 AC与 BD 交于点 O,且 AC 80,BD60动点 M、N 分别以每秒1 个单位的速度从点A、 D 同时出发,分别沿A OD 和 DA运动,当 点 N 到达点 A时, M、N 同时停止运动设运动时间为t 秒 (1)求菱形 ABCD的周长; (2)记DMN 的面积为 S,求 S关于 t 的解析式,并求S的最大值; (3)当 t=30 秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得 DPO= DON?若存在, 这样的点P有几个?并求出点P到线段 OD 的距离;若不存在,请说明理由 【答案】解:(1)在菱形ABCD中, ACBD,AC=80, BD=60,。 菱形 AB
7、CD的周长为200。 (2)过点 M 作 MPAD,垂足为点P 当 0t 40 时,如答图1, , MP=AM?sinOAD= t。 S= DN?MP= t t=t2。 当 40 t 50 时,如答图2,MD=70t, , MP= (70t)。 SDMN= DN?MP= t ( 70t) =t 2+28t= (t 35) 2+490。 S关于 t 的解析式为。 当 0t 40 时, S随 t 的增大而增大,当t=40 时,最大值为480; 当 40t 50 时, S随 t 的增大而减小,最大值不超过480。 综上所述, S的最大值为480。 (3)存在 2 个点 P,使得 DPO=DON。 如
8、答图 3 所示,过点N 作 NFOD 于点 F, 则 NF=ND?sinODA=30 =24, DF=ND?cos ODA=30 =18。 OF=12。 。 作 NOD 的平分线交NF 于点 G,过点 G 作 GHON 于点 H, 则 FG=GH 。 SONF= OF?NF=SOGF+SOGN= OF?FG+ ON?GH= (OF+ON)?FG。 。 。 设 OD中垂线与OD 的交点为K,由对称性可知:DPK= DPO= DON=FOG , 。 PK=。 根据菱形的对称性可知,在线段OD的下方存在与点P关于 OD 轴对称的点P 。 存在两个点P到 OD 的距离都是 【解析】 试题分析:本题考查
9、了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定 理、解直角三角形、二次函数极值等知识点,涉及考点较多,有一定的难度第(2)问 中,动点M 在线段 AO 和 OD 上运动时,是两种不同的情形,需要分类讨论;第(3)问 中,满足条件的点有2 个,注意不要漏解. (1)根据勾股定理及菱形的性质,求出菱形的周长; (2)在动点M、N 运动过程中: 当 0 t 40 时,如答图1 所示, 当 40 t 50 时,如 答图 2 所示分别求出S的关系式,然后利用二次函数的性质求出最大值; (3)如答图4 所示,作ON 的垂直平分线,交EF于点 I,连接 OI,IN过点 N 作 NGOD,NHEF
10、 ,垂足分别为G,H易得 DNGDAO,由 EF垂直平分OD,得到 OE=ED=15 ,EG=NH=3 ,再设 OI=R,EI=x,根据勾股定理,在Rt OEI和 RtNIH 中,得到 关于 R 和 x 的 方程组,解得R 和 x 的值,把二者相加就是点P到 OD 的距离,即PE=PI IE=R+x ,又根据对称性可得,在BD 下方还存在一个点P也满足条件,故存在两个点P,到 OD 的距离也相同,从而问题解决 试题解析:( 1)如图 )在菱形 ABCD中, OA= AC=40, OD= BD=30, ACBD, AD=50, 菱形 ABCD的周长为200; (2)(如图 )过点 M 作 MHA
11、D 于点 H ( 如图 甲) 当 0t 40 时, sinOAD= , MH= t, S= DN MH=t 2 (如图 乙)当 40t 50 时, MD=80-t , sinADO=-, MH= (70-t) , S= DN MH, =- t228t - (t-35) 2 490 S=, 当 0t 40 时, S随 t 的增大而增大,当t=40 时,最大值为480 当 40t 50 时, S随 t 的增大而增大,当t=40 时,最大值为480 综上所述, S的最大值为480; (3)存在 2 个点 P,使得 DPO= DON (如图 )作 ON 的垂直平分线,交EF于点 I,连接 OI,IN
12、过点 N 作 NGOD, NHEF ,垂足分别为G,H 当 t=30 时, DN=OD=30,易知 DNGDAO, NG=24,DG=18 EF垂直平分OD, OE=ED=15 ,EG=NH=3 , 设 OI=R,EI=x,则 在 RtOEI中,有 R 2=152 x 2, 在 RtNIH 中,有 R 2=32(24-x)2, 由, 可得:, PE=PI IE= 根据对称性可得,在BD 下方还存在一个点P 也满足条件, 存在两个点P,到 OD的距离都是 考点:相似性综合题. 4我市在创建全国文明城市的过程中,某社区在甲楼的A 处与 E处之间悬挂了一副宣传 条幅,在乙楼顶部C 点测得条幅顶端A
13、点的仰角为45 ,条幅底端E点的俯角为30 ,若 甲、乙两楼之间的水平距离BD 为 12 米,求条幅AE的长度 (结果保留根号) 【答案】AE的长为 (124 3) 【解析】 【分析】 在Rt ACFV中求 AF的长 , 在Rt CEFV中求 EF的长 ,即可求解 . 【详解】 过点C作CFAB于点 F 由题知:四边形CDBF为矩形 12CFDB 在Rt ACFV中,45ACF tan1 AF ACF CF 12AF 在Rt CEFV中,30ECF tan EF ECF CF 3 123 EF 4 3EF 124 3AEAFEF 求得AE的长为124 3 【点睛】 本题考查了三角函数的实际应用
14、,中等难度 ,作辅助线构造直角三角形是解题关键. 5如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度,由于教学楼底部不能直接到 达,故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为 30 ,再向主 教学楼的方向前进24 米,到达点E处( C,E,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶 端 A 的仰角为60 ,已知测角器CD的高度为1.6 米,请计算主教学楼AB 的高 度( 3 1.73 ,结果精确到0.1 米) 【答案】 22.4m 【解析】 【分析】 首先分析图形,根据题意构造直角三角形本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构 造等量关系,进而求解 【详解】 解:在 R
15、tAFG中, tanAFG= 3, FG= tan 3 AGAG AFG , 在 RtACG中, tanACG = AG CG , CG= tan AG ACG = 3AG 又 CG FG=24m, 即3AG 3 AG =24m, AG=12 3 m, AB=12 3+1.6 22.4 m 6某条道路上通行车辆限速60 千米 /时,道路的AB 段为监测区,监测点P 到 AB的距离 PH 为 50 米(如图)已知点P在点 A 的北偏东45 方向上,且在点B的北偏西60 方向 上,点 B在点 A的北偏东75 方向上,那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内,可认定为 超速?(参考数据: 3 1.7 ,
16、 2 1.4 ) 【答案】车辆通过AB段的时间在8.1 秒以内,可认定为超速 【解析】 分析:根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解 直角三角形即可. 详解:如图,由题意知CAB=75 ,CAP=45 , PBD=60 , PAH= CAB CAP=30 , PHA=PHB=90 ,PH=50,AH= tan PH PAH = 50 3 3 =50 3, ACBD, ABD=180 CAB=105 ,PBH=ABD PBD=45 , 则 PH=BH=50,AB=AH+BH=50 3+50, 60 千米 /时= 50 3 米/秒, 时间 t= 50 350 50
17、 3 =3+3 3 8.1 (秒), 即车辆通过AB 段的时间在8.1 秒以内,可认定为超速 点睛:该题考查学生通过构建直角三角形,利用某个度数的三角函数值求出具体边长,即 实际路程,并进行判断相关的量。 7如图,在 ABC中, A=90 ,ABC=30 ,AC=3,动点 D 从点 A 出发,在AB 边上以每 秒 1 个单位的速度向点B 运动,连结CD,作点 A 关于直线CD的对称点E,设点 D 运动时 间为 t(s) (1)若 BDE是以 BE为底的等腰三角形,求t 的值; (2)若 BDE为直角三角形,求t 的值; (3)当 S BCE 9 2 时,所有满足条件的t 的取值范围(所有数据请
18、保留准确值,参考 数据: tan15 =23) 【答案】( 1) 3 3 2 ;( 2)3秒或 3 秒;( 3)633 t 3 【解析】 【分析】 (1)如图 1,先由勾股定理求得AB 的长,根据点A、E关于直线CD的对称,得CD垂直 平分 AE,根据线段垂直平分线的性质得:AD=DE ,所以 AD=DE=BD ,由 AB=3 3,可得 t 的值; (2)分两种情况: 当DEB=90 时,如图2,连接 AE,根据 AB=3t=3 3,可得 t 的值; 当EDB=90 时,如图3,根据 AGC EGD ,得 AC=DE ,由 ACED,得四边形CAED 是平行四边形,所以AD=CE=3 ,即 t
19、=3; (3)BCE中,由对称得:AC=CE=3 ,所以点 D 在运动过程中,CE的长不变,所以BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化, 当BCE在 BC的下方时, 当BCE在 BC的上方时, 分别计算当高为3 时对应的 t 的值即可得结论 【详解】 解:( 1)如图 1,连接 AE, 由题意得: AD=t, CAB=90 ,CBA=30 , BC=2AC=6 , AB= 22 63 =3 3, 点 A、E关于直线 CD的对称, CD 垂直平分 AE, AD=DE, BDE是以 BE为底的等腰三角形, DE=BD, AD=BD, t=AD= 3 3 2 ; (2)BDE为直角
20、三角形时,分两种情况: 当DEB=90 时,如图2,连接 AE, CD 垂直平分 AE, AD=DE=t, B=30 , BD=2DE=2t, AB=3t=3 3 , t= 3; 当EDB=90 时,如图 3, 连接 CE , CD 垂直平分 AE, CE=CA=3 , CAD= EDB=90 , ACED, CAG= GED, AG=EG ,CGA= EGD , AGC EGD , AC=DE , ACED, 四边形 CAED是平行四边形, AD=CE=3 ,即 t=3; 综上所述, BDE为直角三角形时,t 的值为 3秒或 3 秒; (3)BCE中,由对称得:AC=CE=3 ,所以点 D
21、在运动过程中,CE的长不变,所以BCE 面积的变化取决于以CE作底边时,对应高的大小变化, 当BCE在 BC的下方时,过B 作 BHCE,交 CE的延长线于H,如图 4,当 AC=BH=3 时, 此时 S BCE= 1 2 AE?BH=1 2 3 3= 9 2 , 易得 ACG HBG, CG=BG , ABC= BCG=30 , ACE=60 30 =30 , AC=CE ,AD=DE,DC=DC , ACDECD, ACD= DCE=15 , tanACD=tan15 = t 3 =2 3, t=63 3, 由图形可知: 0t63 3时, BCE的 BH 越来越小,则面积越来越小, 当BC
22、E在 BC的上方时,如图3,CE=ED=3 ,且 CE ED, 此时 S BCE= 1 2 CE?DE= 1 2 3 3= 9 2 ,此时 t=3, 综上所述,当S BCE 9 2 时, t 的取值范围是633 t 3 【点睛】 本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问 题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题, 学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题 8如图,在平面直角坐标系中,直线DE交 x 轴于点 E(30,0),交 y 轴于点 D(0, 40),直线AB:y 1 3 x+5 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B
23、,交直线DE于点 P,过点 E作 EF x 轴交直线AB 于点 F,以 EF为一边向右作正方形EFGH (1)求边 EF的长; (2)将正方形EFGH沿射线 FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形 E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与 y 轴垂直,设平移的时间为t 秒( t0) 当点 F1移动到点B 时,求 t 的值; 当 G1 ,H 1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与APE 重叠部分的面积 【答案】( 1)EF 15;( 2)10 ;120 ; 【解析】 【分析】 (1)根据已知点E(30,0),点 D(0,40),求出直线DE的
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