2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案.pdf
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1、2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1操作与证明:如图1,把一个含45 角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一 起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上, 连接 AF取 AF中点 M,EF的中点 N,连接 MD、MN (1)连接 AE ,求证: AEF是等腰三角形; 猜想与发现: (2)在( 1)的条件下,请判断MD、MN 的数量关系和位置关系,得出结论 结论 1: DM、MN 的数量关系是; 结论 2: DM、MN 的位置关系是; 拓展与探究: (3)如图 2,将图 1 中的直角三角板ECF
2、绕点 C顺时针旋转180 ,其他条件不变,则 (2)中的两个结论还成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由 【答案】( 1)证明参见解析;(2)相等,垂直;(3)成立,理由参见解析. 【解析】 试题分析:( 1)根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF ,继而证明出 ABE ADF ,得到 AE=AF ,从而证明出AEF是等腰三角形;(2)DM、MN 的数量关 系是相等,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置 关系是垂直,利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质,及全等三角形对应角 相等即可得出结论;(3)成立,连接AE ,交 MD
3、 于点 G,标记出各个角,首先证明出 MNAE, MN= AE,利用三角形全等证出AE=AF ,而 DM= AF,从而得到DM,MN 数量相 等的结论,再利用三角形外角性质和三角形全等,等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到 DMN=DGE=90 从而得到DM、MN 的位置关系是垂直. 试题解析:( 1)四边形 ABCD是正方形, AB=AD=BC=CD , B=ADF=90 , CEF 是等腰直角三角形,C=90 ,CE=CF ,BCCE=CD CF,即 BE=DF , ABE ADF,AE=AF ,AEF是等腰三角形;(2)DM、MN 的数量关系是相等, DM、MN 的位置关系是垂直;
4、 在 RtADF中 DM 是斜边 AF的中线, AF=2DM,MN 是 AEF的中位线, AE=2MN,AE=AF,DM=MN ; DMF= DAF+ADM, AM=MD, FMN= FAE , DAF= BAE ,ADM=DAF=BAE , DMN=FMN+DMF=DAF+BAE+FAE= BAD=90 ,DMMN;( 3)( 2)中的 两个结论还成立,连接AE,交 MD 于点 G,点 M 为 AF的中点,点N 为 EF的中点, MNAE,MN= AE,由已知得,AB=AD=BC=CD ,B=ADF,CE=CF ,又 BC+CE=CD+CF ,即 BE=DF ,ABEADF,AE=AF ,在
5、 RtADF中, 点 M 为 AF的 中点, DM= AF,DM=MN , ABE ADF,1=2,ABDF,1=3,同 理可证: 2=4,3=4,DM=AM, MAD=5, DGE= 5+ 4=MAD+3=90 ,MNAE,DMN= DGE=90 ,DMMN所 以( 2)中的两个结论还成立. 考点: 1.正方形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.三角形中位线定理;4.旋转的性 质 2阅读材料:小胖同学发现这样一个规律:两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的 顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形小胖把具有这 个规律的图形称为“ 手拉手 ” 图形如图1,在 “
6、手拉手 ” 图形中,小胖发现若BAC DAE,ABAC,ADAE ,则 BDCE (1)在图 1 中证明小胖的发现; 借助小胖同学总结规律,构造“ 手拉手 ” 图形来解答下面的问题: (2)如图 2,ABBC,ABCBDC 60 ,求证: AD+CD BD; (3)如图 3,在 ABC中, ABAC, BACm ,点 E为 ABC外一点,点D 为 BC中点, EBC ACF ,EDFD,求 EAF的度数(用含有m 的式子表示) 【答案】( 1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EAF =1 2 m . 【解析】 分析:( 1)如图 1 中,欲证明BD=EC ,只要证明 DABEAC即可; (
7、2)如图 2 中,延长DC到 E ,使得 DB=DE 首先证明 BDE是等边三角形,再证明 ABD CBE即可解决问题; (3)如图 3 中,将 AE绕点 E逆时针旋转m 得到 AG,连接 CG、EG、EF 、FG,延长 ED 到 M,使得 DM=DE,连接 FM、CM想办法证明 AFE AFG ,可得 EAF= FAG=1 2 m . 详( 1)证明:如图1 中, BAC= DAE, DAB=EAC , 在 DAB和EAC中, ADAE DABEAC ABAC , DABEAC , BD=EC (2)证明:如图2 中,延长DC到 E,使得 DB=DE DB=DE,BDC=60 , BDE是等
8、边三角形, BD=BE ,DBE= ABC=60 , ABD=CBE , AB=BC, ABDCBE , AD=EC , BD=DE=DC+CE=DC+AD AD+CD=BD (3)如图 3 中,将 AE绕点 E逆时针旋转m 得到 AG,连接 CG、EG、EF 、FG,延长 ED 到 M,使得 DM=DE,连接 FM、CM 由( 1)可知 EAB GAC , 1=2,BE=CG , BD=DC,BDE= CDM,DE=DM, EDB MDC, EM=CM=CG,EBC= MCD, EBC= ACF , MCD= ACF , FCM=ACB= ABC, 1=3=2, FCG= ACB=MCF,
9、CF=CF ,CG=CM, CFG CFM, FG=FM, ED=DM,DFEM, FE=FM=FG , AE=AG,AF=AF , AFE AFG, EAF= FAG=1 2 m 点睛:本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性 质等知识,解题的关键是学会利用“ 手拉手 ” 图形中的全等三角形解决问题,学会构造“ 手拉 手” 模型,解决实际问题,属于中考压轴题 3已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A 为顶点的45 角绕点 A旋转,角的两边分别 与 BC、DC的延长线交于点E、F,连接 EF ,设 CE a,CF b (1)如图 1,当 a4 2时,求 b 的
10、值; (2)当 a4 时,在图2 中画出相应的图形并求出b 的值; (3)如图 3,请直接写出 EAF绕点 A 旋转的过程中a、b 满足的关系式 【答案】( 1) 4 2 ;( 2) b8;( 3)ab32 【解析】 试题分析:( 1)由正方形ABCD的边长为4,可得 AC4 2 ,ACB 45 再 CE a4 2 ,可得 CAE AEC ,从而可得 CAF的度数,既而可得 b=AC; (2)通过证明 ACF ECA ,即可得; (3)通过证明 ACF ECA ,即可得 . 试题解析:( 1)正方形 ABCD的边长为4,AC4 2 ,ACB 45 CEa4 2 , CAE AEC 45 2 2
11、2.5 ,CAF EAF CAE22.5 , AFC ACDCAF 22.5, CAF AFC ,b=AC CF4 2; (2)FAE 45 ,ACB45 ,FAC CAE 45 ,CAE AEC 45 ,FAC AEC 又 ACF ECA 135 ,ACF ECA , ACCF ECCA , 4 2 4 4 2 CF , CF 8,即 b8 (3)ab32 提示:由( 2)知可证 ACF ECA, ACCF ECCA , 4 2 4 2 b a ,ab32 4如图 1,在 RtADE中, DAE=90 ,C是边 AE上任意一点(点C与点 A、E不重 合),以AC为一直角边在RtADE的外部作
12、RtABC, BAC=90 ,连接 BE 、 CD (1)在图 1 中,若 AC=AB,AE=AD,现将图1 中的 RtADE 绕着点 A 顺时针旋转锐角 , 得到图 2,那么线段BE CD之间有怎样的关系,写出结论,并说明理由; (2)在图 1 中,若 CA=3,AB=5,AE=10, AD=6,将图 1 中的 Rt ADE绕着点 A 顺时针旋 转锐角 ,得到图3,连接 BD、CE 求证: ABE ACD; 计算: BD2+CE 2 的值 【答案】( 1)BE=CD ,BE CD,理由见角;(2) 证明见解析;BD 2+CE2=170 【解析】 【分析】 (1)结论: BE=CD,BE CD
13、;只要证明 BAE CAD,即可解决问题; (2) 根据两边成比例夹角相等即可证明ABE ACD 由 得到 AEB=CDA再根据等量代换得到DGE=90 ,即 DGBE,根据勾股定理 得到 BD 2+CE2=CB2+ED2,即可根据勾股定理计算 【详解】 (1)结论: BE=CD,BE CD 理由:设BE与 AC的交点为点F,BE与 CD的交点为点G,如图 2 CAB =EAD=90 , CAD=BAE 在 CAD和BAE中, ABAC BAECAD AEAD , CADBAE ,CD =BE, ACD=ABE BFA =CFG ,BFA +ABF =90 ,CFG +ACD=90 ,CGF
14、=90 ,BECD (2) 设 AE与 CD于点 F,BE与 DC的延长线交于点G,如图 3 CABB =EAD=90 ,CAD=BAE CA=3,AB=5, AD=6,AE=10, AE AB = AD AC =2, ABE ACD; ABE ACD, AEB =CDA AFD =EFG ,AFD+CDA =90 ,EFG +AEB=90 ,DGE =90 , DGBE, AGD=BGD=90 ,CE 2=CG2+EG2,BD2=BG2+DG2, BD2+CE2=CG2+EG2+BG2+DG2 CG 2+BG2=CB2,EG2+DG2=ED2,BD2+CE2=CB2+ED2=CA2+AB2+
15、AD2+AD2=170 【点睛】 本题是几何综合变换综合题,主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用,运用类比,在变化中发现规律是解决问题 的关键 5已知: ABC和ADE均为等边三角形,连接BE ,CD,点 F,G,H 分别为 DE,BE,CD 中点 (1)当 ADE绕点 A 旋转时,如图1,则 FGH的形状为,说明理由; (2)在 ADE旋转的过程中,当B,D,E三点共线时,如图2,若 AB=3,AD=2,求线段 FH 的长; (3)在 ADE旋转的过程中,若AB=a,AD=b(ab0),则 FGH的周长是否存在最大 值和最小值,若存在
16、,直接写出最大值和最小值;若不存在,说明理由 【答案】( 1)FGH是等边三角形;(2) 61 2 ;( 3)FGH的周长最大值为 3 2 (a+b),最小值为 3 2 ( ab) 【解析】 试题分析:( 1)结论: FGH是等边三角形理由如下:根据三角形中位线定理证明 FG=FH,再想办法证明 GFH=60 即可解决问题;、 (2)如图 2 中,连接AF、EC 在 RtAFE和 RtAFB中,解直角三角形即可; (3)首先证明 GFH的周长 =3GF= 3 2 BD,求出 BD 的最大值和最小值即可解决问题; 试题解析:解:(1)结论: FGH是等边三角形理由如下: 如图 1 中,连接BD、
17、CE ,延长 BD 交 CE于 M,设 BM 交 FH于点 O ABC和ADE均为等边三角形, AB=AC,AD=AE,BAC=DAE,BAD=CAE , BADCAE ,BD=CE ,ADB=AEC ,EG=GB, EF =FD,FG= 1 2 BD,GFBD, DF=EF ,DH=HC,FH= 1 2 EC,FHEC,FG=FH,ADB+ADM=180 , AEC +ADM=180 , DMC+ DAE =180 , DME=120 ,BMC=60 GFH=BOH=BMC=60 ,GHF是等边三角形,故答案为:等边三角形 (2)如图 2 中,连接AF、EC 易知 AFDE,在 RtAEF中
18、, AE=2,EF =DF=1,AF= 22 21 = 3,在 RtABF中, BF = 22 ABAF = 6,BD=CE =BF DF=61, FH= 1 2 EC = 61 2 (3)存在理由如下 由( 1)可知, GFH是等边三角形,GF= 1 2 BD,GFH的周长 =3GF= 3 2 BD,在 ABD 中, AB=a,AD=b,BD 的最小值为ab,最大值为a+b,FGH的周长最大值为 3 2 (a+b),最小值为 3 2 ( ab) 点睛:本题考查等边三角形的性质全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的 三边关系、三角形的中位线的宽等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,正
19、确寻找全 等三角形解决问题,学会利用三角形的三边关系解决最值问题,属于中考压轴题 6如图,点P是正方形 ABCD内的一点,连接PA ,PB, PC 将 PAB绕点 B顺时针旋转 90 到PCB的位置 . (1)设 AB 的长为 a,PB的长为 b(ba),求 PAB旋转到 PCB的过程中边PA所扫过区域 (图 中阴影部分 )的面积; (2)若 PA=2 , PB=4 ,APB=135 ,求 PC的长 . 【答案】 (1) S阴影= (a2-b 2);(2)PC=6. 【解析】 试题分析:( 1)依题意,将PCB 逆时针旋转90 可与 PAB重合,此时阴影部分面积 =扇 形 BAC的面积 -扇形
20、 BPP的面积,根据旋转的性质可知,两个扇形的中心角都是90 ,可据 此求出阴影部分的面积 (2)连接 PP,根据旋转的性质可知:BP=BP ,旋转角 PBP=90 ,则 PBP是等腰直角三 角形, BPC= BPA=135 ,PPC= BPC-BPP=135 -45 =90 ,可推出 PPC是直角三角 形,进而可根据勾股定理求出PC的长 试题解析:( 1)将PAB绕点 B 顺时针旋转90 到PCB 的位置, PAB PCB, SPAB=SPCB, S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP = ( a2-b2); (2)连接 PP ,根据旋转的性质可知:APBCP B , BP=BP =4,P C=
21、PA=2, PBP =90 , PBP是等腰直角三角形,PP 2=PB2+PB2=32; 又 BP C= BPA=135 , PP C=BPC-BP P=135 -45 =90 ,即 PPC 是直角三角形 PC=6 考点: 1.扇形面积的计算;2.正方形的性质;3.旋转的性质 7在平面直角坐标系中,O 为原点,点A(8,0),点 B(0,6),把 ABO绕点 B逆时 针旋转得 ABO ,点 A、O 旋转后的对应点为A 、O ,记旋转角为 (1)如图 1,若 =90,则 AB=,并求 AA 的长; (2)如图 2,若 =120,求点 O 的坐标; (3)在( 2)的条件下,边OA 上的一点P旋转
22、后的对应点为P ,当 O P+BP 取得最小值 时,直接写出点P的坐标 【答案】( 1)10,10 2 ;( 2)( 3 3,9);( 3) 12 3 54 55 (, ) 【解析】 试题分析: (1)、如图 ,先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA , ABA =90 ,则可判定 ABA为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求AA的 长; (2)、作 O H y 轴于 H,如图 ,利用旋转的性质得BO=BO=3 ,OBO =1 20 ,则 HBO =60 ,再在 RtBHO中利用含30 度的直角三角形三边的关系可计算出BH 和 OH的 长,然后利用坐标的表示方法写
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