2020年新编考研数二真题及解析名师精品资料..pdf
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1、2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题:1-6 小题,每小题4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线 4sin 52cos xx y xx 的水平渐近线方程为 (2) 设函数 2 3 0 1 sin,0 ( ) ,0 x t dtx f x x ax 在0x处连续,则 a (3) 广义积分 22 0 (1) xdx x (4) 微分方程 (1)yx y x 的通解是 (5) 设函数( )yy x 由方程1 y yxe确定,则 0x dy dx (6) 设 21 1 2 A,E为 2 阶单位矩阵,矩阵B满足2BABE,则B. 二、选择题: 9-14
2、 小题,每小题4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数( )yf x具有二阶导数,且( )0,( )0,fxfxx为自变量x在点 0 x处的 增量, y与dy分别为( )f x 在点 0 x处对应增量与微分,若0x,则 ( ) (A)0dyy(B)0ydy (C)0ydy(D)0dyy (8) 设( )f x是奇函数,除0x外处处连续,0x是其第一类间断点,则 0 ( ) x f t dt是( ) (A) 连续的奇函数(B)连续的偶函数 (C)在0x间断的奇函数(D) 在0x间断的偶函数 (9) 设函数( )g
3、 x可微, 1( ) ( ),(1)1,(1)2, g x h xehg则(1)g等于 ( ) (A)ln31(B)ln31(C)ln 21(D)ln21 (10) 函数 2 12 xxx yc ec exe满足的一个微分方程是( ) (A)23 x yyyxe(B)23 x yyye (C)23 x yyyxe(D)23 x yyye (11) 设( , )fx y为连续函数,则 14 00 ( cos , sin )df rrrdr 等于 ( ) (A) 2 2 12 0 ( , ) x x dxfx y dy(B) 2 2 1 2 00 ( , ) x dxf x y dy (C) 2
4、2 1 2 0 ( , ) y y dyfx y dx(D) 2 2 1 2 00 ( , ) y dyf x y dx (12) 设( , )( , )fx yx y与均为可微函数,且( , )0, y x y已知 00 (,)( , )xyf x y是在约束条 件( ,)0x y下的一个极值点,下列选项正确的是( ) (A) 若 0000 (,)0,(,)0 xy fxyfxy则(B)若 0000 (,)0,(,)0 xy fxyfxy则 (C)若 0000 (,)0,(,)0 xy fxyfxy则(D)若 0000 (,)0,(,)0 xy fxyfxy则 (13) 设 12 , s均为
5、 n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是( ) (A) 若 12 , s线性相关,则12 , s AAA线性相关 . (B)若 12 , s线性相关,则12 , s AAA线性无关 . (C)若 12 , s线性无关,则12 , s AAA线性相关 . (D)若 12 , s线性无关,则12 , s AAA线性无关 . (14) 设A为 3 阶矩阵, 将A的第 2 行加到第1 行得B,再将B的第 1 列的 -1 倍加到第2 列 得C,记 110 010 001 P ,则 ( ) (A) 1 .CPAP(B) 1. CPAP(C). T CP AP(D). T CPAP 三、解答题:15 2
6、3 小题,共94 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 试确定常数,A B C的值,使得 23 (1)1() x eBxCxAxo x,其中 3 ()o x是当 0x时比 3 x高阶的无穷小. (16)(本题满分 10 分) 求 arcsin x x e dx e (17)(本题满分 10 分) 设区域 22 (, ) |1,0Dx yxyx,计算二重积分 22 1 1 D xy Idxdy xy (18)(本题满分 12 分) 设数列 n x满足 1 0x, 1 sin(1,2,) nn xx n (I) 证明lim
7、 n n x 存在,并求该极限; (II) 计算 2 1 1 lim n x n n n x x . (19)(本题满分 10 分) 证明:当0ab时,sin2cossin2cosbbbbaaaa. (20)(本题满分 12 分) 设函数( )(0,)f u 在内具有二阶导数,且 22 Zfxy满足等式 22 22 0 zz xy (I)验证 ( ) ( )0 fu fu u ; (II) 若(1)0,(1)1ff, 求函数( )f u 的表达式. (21)(本题满分 12 分) 已知曲线L的方程 2 2 1, (0), 4 xt t ytt (I) 讨论L的凹凸性 ; (II) 过点( 1,
8、0)引L的切线,求切点 00 (,)xy,并写出切线的方程; (III) 求此切线与L(对应 0 xx的部分 )及x轴所围成的平面图形的面积. (22)(本题满分9 分) 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1, 4351, 31 xxxx xxxx axxxbx 有 3 个线性无关的解. (I) 证明此方程组系数矩阵A的秩()2r A; () 求,a b的值及方程组的通解. (23)(本题满分 9 分 ) 设 3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量 12 1,2, 1,0, 1,1 TT 是线 性方程组0Ax的两个解 . (I) 求A的特征值与特征向量; (II) 求正
9、交矩阵Q和对角矩阵,使得 T Q AQ. 2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题 (1)【答案】 1 5 y 【详解】由水平渐近线的定义及无穷小量的性质- “ 无穷小量与有界函数的乘积是无穷小 量” 可知 4sin limlim 52cos xx xx y xx 4sin 1 lim 2cos 5 x x x x x 10 lim 50 x 1 5 0x时 1 x 为无穷小量,sin x,cosx均为有界量 . 故, 1 5 y是水平渐近线. (2)【答案】 1 3 【详解】按连续性定义,极限值等于函数值,故 0 lim( ) x f x 2 0 3 0 sin li
10、m x x t x 2 2 0 sin() lim 3 x x x 洛 2 2 0 lim 3 x x x 1 3 注: 0 0 型未定式,可以采用洛必达法则;等价无穷小量的替换 22 sin xx (3)【答案】1 2 【详解】 2 22222 00 0 1111 (1)2(1)2 12 xdxdx xxx (4) 【答案】 x Cxe. 【详解】分离变量, (1)dyyx dxx (1)dyx dx yx 1 (1) dy dx yx 1dy dxdx yx lnlnyxxc lnlnyx x c ee x yCxe (5)【答案】e 【详解】题目考察由方程确定的隐函数在某一点处的导数.
11、在原方程中令0(0)1xy. 将方程两边对x求导得 yy yexe y,令0x得(0)ye (6) 【答案】2 【详解】由已知条件 2BABE变形得,2BAEB()2B AEE, 两边取行列 式, 得 ()244B AEEE 其中, 211011 2 12011 1 A E , 2 22 E4E 因此, 2 4 2 2 E B AE . 二、选择题 . (7)【答案】A 【详解】 方法 1: 图示法 . 因为( )0,fx则( )f x严格单调增加;因为( )0,fx则( )f x是凹函数,又 0x,画 2 ( )f xx的图形 y y=f(x) y dy 结合图形分析,就可以明显得出结论:0
12、dyy. 方法 2:用两次拉格朗日中值定理 000 ()()()ydyf xxf xfxx(前两项用拉氏定理) 0 ( )()fxfxx(再用一次拉氏定理) 0 ( )()fxx, 其中000 ,xxx x 由于( )0fx,从而0ydy. 又由于 0 ()0dyfxx,故选A 方法 3:用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式: 000 ( )()()()f xf xfxxx ( ) 200 00 ()() ()() 2! n n n fxfx xxxxR n , 其中 (1) 0 0 () () (1)! n n n fx Rxx n . 此时n取 1 代入,可得 2 000 1 ()()(
13、)( )()0 2 ydyf xxf xfxxfx 又由 0 ()0dyfxx,选( )A. (8)【答案】 (B) 【详解】 方法 1:赋值法 特殊选取 1,0 ( )0,0 1,0 x f xx x ,满足所有条件,则 0 ,0 ( ) ,0 x xx f t dtx xx . 它是连续的偶函数. 因此,选 (B) 方法 2:显然( )fx在任意区间,a b上可积,于是 0 ( )( ) x F xf t dt 记 处处连续,又 000 ()( )()( )( ) st xxx Fxf t dtft dtf s dsF x 即( )F x为偶函数. 选 (B) . (9)【答案】 (C)
14、【详解】利用复合函数求导法 1() ( ) g x h xe两边对x求导 1( ) ( )( ) g x h xg x e 将1x代入上式, 1(1) 12 g e 1 (1)ln1ln 2 1 2 g. 故选 (C). (10)【答案】 (C) 【详解】 题目由二阶线性常系数非齐次方程的通解,反求二阶常系数非齐次微分方程,分两 步进行,先求出二阶常系数齐次微分方程的形式,再由特解定常数项. 因为 2 12 xxx yc ec exe是某二阶线性常系数非齐次方程的通解,所以该方程对应的 齐次方程的特征根为1 和-2,于是特征方程为 2 (1)(2)20,对应的齐次 微分方程为-20yyy 所以
15、不选 (A)与(B),为了确定是(C)还是 (D),只要将特解 x yxe代入方程左边, 计算得()() - 23 x yyye,故选 (D). (11) 【答案】()C 【详解】记 1 4 00 ( cos , sin )( , ) D df rrrdrf x y dxdy,则区域D的极坐标表示是: 01r,0 4 . 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题,画出积分区间,结合图形 可以看出,直角坐标的积分范围(注意yx与 22 1xy在第一象限的交点是 22 22 (,) ,于是 22 : 0,1 2 Dyyxy 所以,原式 22 1 2 0 ( , ) y y dyf x y dx. 因此选
16、 ()C (12) 【答案】D 【详解】 方法 1: 化条件极值问题为一元函数极值问题。 已知 00 (,)0xy,由( ,)0x y,在 00 ,)xy(邻域,可确定隐函数( )yy x, 满足 00 ()y xy, dy xydx 。 00 ,)xy(是( ,)f x y在 条 件(,)0x y下 的 一 个 极 值 点 0 xx是 ( , ( )zf x y x的极值点。它的必要条件是 00 0000 (,)(,) xxxx f xyf xydzdy dxxydx 0 00 00 0000 (,) 0 (,) (,)(,) x y xx xy xy xy fx yfxy 若 00 (,)
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