高中数列知识点总结归纳.pdf
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1、一、等差数列 1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的 差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为 1 (2) nn aad n或 1 (1) nn aad n。 2、等差数列的通项公式: 1 (1) n aand; 说明:等差数列(通常可称为A P 数列)的单调性: d0为递增数列, 0d为常数列,0d为递减数列。 3、等差中项的概念: 定义:如果a, A,b 成等差数列,那么A叫做a与b 的等差中项。其 中 2 ab Aa, A,b 成等差数列 2 a
2、b A。 4、等差数列的前n和的求和公式: 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad。 5、等差数列的性质: (1)在等差数列 n a中,从第 2 项起,每一项是它相邻二项的等差中项; (2)在等差数列 n a中,相隔等距离的项组成的数列是AP , 如: 1 a, 3 a, 5 a, 7 a,; 3 a, 8 a, 13 a, 18 a,; (3)在等差数列 n a中,对任意m,nN,() nm aanm d, nm aa d nm ()mn; (4) 在等差数列 n a中, 若m,n,p ,qN且 mnpq, 则 mnpq aaaa; 说明:设数列 n a是等差数列,且公差
3、为d , ()若项数为偶数,设共有2n项,则 S 奇S偶nd ; 1 n n Sa Sa 奇 偶 ; ()若项数为奇数, 设共有 21n项,则 S偶S奇 n aa中; 1 Sn Sn 奇 偶 。 6、数列最值 (1) 1 0a,0d时, n S有最大值; 1 0a,0d时, n S有最小值; (2) n S最值的求法:若已知 n S,可用二次函数最值的求法(nN) ;若 已知 n a, 则 n S最值时n的值 (nN) 可如下确定 1 0 0 n n a a 或 1 0 0 n n a a 。 二、等比数列 1等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起 ,每一项与它的前一项的比等于同一个常
4、数 ,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用 字母 q 表示(0)q,即: 1n a: (0) n aq q数列对于数列( 1) (2) (3)都是等 比数列,它们的公比依次是 2,5, 2 1 。 (注意: “从第二项起”、 “常数” q 、等比 数列的公比和项都不为零) 2等比数列通项公式为:)0( 1 1 1 qaqaa n n 。 说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比1d时该数列既是等比数 列也是等差数列;(2) 等比数列的通项公式知: 若 n a为等比数列,则 m nm n a q a 。 3等比中项 如果在ba与中间插入一个数 G ,使bGa
5、,成等比数列,那么 G 叫做ba与的等比 中项(两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项)。 4等比数列前 n 项和公式 一般地,设等比数列 123 , n a a aa的前 n 项和是 n S 123n aaaa,当 1q时, q qa S n n 1 )1( 1 或 1 1 n n aa q S q ;当 q=1 时, 1 naSn(错位相减法)。 说明:(1) n Snqa, 1 和 nn Sqaa, 1 各已知三个可求第四个;(2)注意求和 公式中是 n q,通项公式中是 1n q不要混淆;( 3)应用求和公式时1q,必要时 应讨论1q的情况。 5等比数列的性质 等比数列任意两项间的关
6、系:如果 n a是等比数列的第n项, m a是等差数列的 第m项,且nm,公比为 q,则有 mn mn qaa; 对 于 等 比 数 列 n a, 若vumn, 则 vumn aaaa, 也 就 是 : 23121nnn aaaaaa,如图所示: n n aa n aa nn aaaaaa 1 12 , 12321 。 若数列 n a是等比数列, n S是其前 n 项的和, * Nk, 那么 k S, kk SS2, kk SS 23 成等比数列。 如下图所示: k kkkk S SS kk SS kkk aaaaaaaa 3 232k 31221 S 321 三 、数列前 n 项和 1数列求
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