高中数学模拟考试题(三).pdf
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1、高中数学模拟考试题(三) 数学试题 参考公式: 锥体的体积公式: V 锥体= 1 3 Sh,其中 S是锥体的底面积,h 是高。 一、填空题:本大题共14 小题,每小题5 分,共70 分。请把答案填写在答题卡相应的位 置上 . 1、设集合A=-1,1,3 ,B=a+2,a 2+4,A B=3 ,则实数 a=_. 解析 考查集合的运算推理。3B, a+2=3, a=1. 2、设复数z 满足 z(2-3i)=6+4i (其中 i 为虚数单位) ,则 z 的模为 _. 解析 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与 3+2 i 的模相等, z 的模为 2。 3、盒子中有大
2、小相同的3 只白球, 1 只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同 的概率是 _ _. 解析 考查古典概型知识。 31 62 p 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取 了 100 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质 量的重要指标) ,所得数据都在区间5,40 中,其频率 分布直方图如图所示, 则其抽样的100 根中,有_ 根在棉花纤维的长度小于20mm。 解析 考查频率分布直方图的知识。 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4 页,包含填空题(第1 题第14 题) 、解答题(第15 题第20 题) 。本卷满分 160 分,考试时间
3、为120 分钟。考试结束后,请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前, 请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整,笔迹清楚。 5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。 100( 0.001+0.001+0.004) 5=30 5、设函数f(x)=x(e x+ae-x)
4、(x R)是偶函数,则实数a=_ 解析 考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x+ae-x 为奇函数,由g(0)=0,得 a=1。 6、在平面直角坐标系xOy 中,双曲线1 124 22 yx 上一点 M,点 M 的横坐标是3,则 M 到 双曲线右焦点的距离是_ 解析 考查双曲线的定义。 4 2 2 MF e d ,d为点 M 到右准线1x的距离,d=2,MF=4 。 7、右图是一个算法的流程图,则输出S 的值是 _ 解析 考查流程图理解。 24 12223133,输出 25 122263S。 8、 函数 y=x 2(x0) 的图像在点 (a k,ak 2 )处的切线与x 轴交点的横坐标为ak
5、+1,k 为正整数,a1=16, 则 a1+a3+a 5=_ 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。 在点 (ak,ak 2)处的切线方程为: 2 2(), kkk yaaxa当0y时,解得 2 k a x, 所以 1135 ,164121 2 k k a aaaa。 9、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆4 22 yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0 的 距离为 1,则实数c 的取值范围是 _ 解析 考查圆与直线的位置关系。圆半径为2, 圆心( 0,0)到直线12x-5y+c=0 的距离小于1, | | 1 13 c ,c的取值范围是(-13,13) 。 10、定义在区间 2 0,
6、上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P,过点 P 作 PP1x 轴于点 P1,直线 PP1与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2的长为 _。 解析 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为 sinx 的值, 且其中的x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= 2 3 。线段 P1P2的长为 2 3 11、已知函数 2 1,0 ( ) 1,0 xx f x x ,则满足不等式 2 (1)(2 )fxfx的 x 的范围是 _。 解析 考查分段函数的单调性。 2 2 12 ( 1, 21) 10 xx x x 12、设实数x,y 满足
7、3 2 xy8, 4 y x 2 9,则 4 3 y x 的最大值是。 解析 考查不等式的基本性质,等价转化思想。 2 2 ()16,81 x y , 2 11 1 , 8 3xy , 32 2 42 1 ()2, 27 xx yyxy , 4 3 y x 的最大值是27。 13、在锐角三角形ABC , A 、 B、 C 的对边分别为a、b、c,6cos ba C ab ,则 tantan tantan CC AB =_。 解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用,等价转化思想。一题多解。 (方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=
8、b 时满足题意,此时有: 1 cos 3 C, 2 1cos1 tan 21cos2 CC C , 2 tan 22 C , 1 tantan2 tan 2 AB C , tantan tantan CC AB = 4。 (方法二) 22 6cos6cos ba CabCab ab , 2222 22223 6, 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 由正弦定理,得:上式= 222 2 22 1 4 1 1
9、3cos () 6 62 ccc cC ab ab 14、将边长为1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 2 ( S 梯形的周长) 梯形的面积 ,则 S 的最小值是 _。 解析 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 设剪成的 小正 三角形的边长为x,则: 22 2 (3)4(3) (01) 1133 (1)(1) 22 xx Sx x xx (方法一)利用导数求函数最小值。 2 2 4(3) ( ) 1 3 x S x x , 22 22 4(26) (1)(3)( 2 ) ( ) (1) 3 xxxx S x x 22 2222 4(26) (1)(
10、3)( 2 )42(31)(3) (1)(1)33 xxxxxx xx 1 ( )0,01, 3 S xxx, 当 1 (0, 3 x时,( )0,S x递减;当 1 ,1) 3 x时,( )0,S x递增; 故当 1 3 x时, S 的最小值是 32 3 3 。 (方法二)利用函数的方法求最小值。 令 11 1 3,(2,3),(,) 3 2 xt t t ,则: 2 2 2 441 86 6833 1 t S tt tt 故当 131 , 83 x t 时, S 的最小值是 32 3 3 。 二、解答题:本大题共6 小题,共计90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明
11、或演算步骤. 15、 (本小题满分14 分) 在平面直角坐标系xOy 中,点 A( 1,2)、B(2,3)、C( 2, 1)。 (1)求以线段AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足 (OCtAB)OC=0,求 t 的值。 解析 本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1) (方法一) 由题设知(3,5),( 1,1)ABAC,则 (2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10,| 42.ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2、2 10。 (方法二) 设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线
12、的交点为E,则 : E 为 B、C 的中点, E(0,1) 又 E(0, 1)为 A、D 的中点,所以D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为BC=4 2、AD=2 10; (2)由题设知:OC=(2,1),(32 ,5)ABtOCtt。 由(OCtAB)OC=0,得:(32 ,5) ( 2, 1)0tt, 从而511,t所以 11 5 t。 或者: 2 ABOCtOC,(3,5),AB 2 11 5 | AB OC t OC 16、 (本小题满分14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中,PD平面 ABCD ,PD=DC=BC=1 ,AB=2 , ABDC, BCD=90 0。 (1)
13、求证: PC BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离。 解析 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14 分。 (1)证明:因为PD平面 ABCD ,BC平面 ABCD ,所以 PDBC。 由 BCD=90 0,得 CDBC, 又 PDDC=D ,PD、DC平面 PCD, 所以 BC平面 PCD。 因为 PC平面 PCD,故 PCBC。 (2) (方法一)分别取AB 、PC 的中点 E、F,连 DE、DF,则: 易证 DE CB, DE平面 PBC,点 D、 E 到平面 PBC 的距离相等。 又点 A 到平面
14、PBC 的距离等于E 到平面 PBC 的距离的2 倍。 由( 1)知: BC平面 PCD,所以平面PBC平面 PCD 于 PC, 因为 PD=DC ,PF=FC,所以 DFPC,所以 DF平面 PBC 于 F。 易知 DF= 2 2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。 (方法二)体积法:连结AC 。设点 A 到平面 PBC 的距离为h。 因为 AB DC, BCD=90 0,所以 ABC=900。 从而 AB=2 ,BC=1 ,得ABC的面积1 ABC S。 由 PD平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥P-ABC 的体积 11 33 ABC VSPD。 因为 PD平面 ABCD ,D
15、C平面 ABCD ,所以 PDDC。 又 PD=DC=1 ,所以 22 2PCPDDC。 由 PCBC,BC=1 ,得PBC的面积 2 2 PBC S。 由 A PBCPABC VV, 11 33 PBC ShV,得2h, 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2。 17、 (本小题满分14 分) 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度 H( 单位: m) , 如示意图,垂直放置的标杆BC 的高度 h=4m, 仰角 ABE=, ADE=。 (1)该小组已经测得一组、的值, tan=1.24,tan=1.20,请据此算出H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单
16、位: m) ,使与之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的 实际高度为125m,试问 d 为多少时,-最大? 解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 (1)tan tan HH AD AD ,同理: tan H AB, tan h BD。 AD AB=DB ,故得 tantantan HHh ,解得: tan4 1.24 124 tantan1.241.20 h H 。 因此,算出的电视塔的高度H 是 124m。 (2)由题设知dAB,得tan,tan HHhHh dADDBd , 2 tantan tan() () 1tantan() 1 HHh hdh dd HHh
17、H Hh dH Hh d ddd () 2() H Hh dH Hh d ,(当且仅当()125 121 55 5dH Hh时, 取等号) 故当55 5d时,tan()最大。 因为0 2 ,则0 2 ,所以当55 5d时,-最大。 故所求的d是555m。 18、 (本小题满分16 分) 在平面直角坐标系xoy中,如图,已知椭圆1 59 22 yx 的左、右顶点为A、B,右焦点为 F。设过点T(mt,)的直线TA、TB 与椭圆分别交于点M),( 11 yx、),( 22 yxN,其中 m0,0,0 21 yy。 (1)设动点P 满足4 22 PBPF,求点 P的轨迹; (2)设 3 1 ,2 2
18、1 xx,求点 T 的坐标; (3)设9t,求证:直线MN 必过 x 轴上的一定点(其坐 标与 m 无关)。 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分16 分。 (1)设点 P( x,y) ,则: F( 2,0) 、B( 3,0) 、 A( -3,0) 。 由4 22 PBPF,得 2222 (2)(3)4,xyxy化简得 9 2 x。 故所求点 P 的轨迹为直线 9 2 x。 (2) 将 3 1 , 2 21 xx分别代入椭圆方程,以及0,0 21 yy得:M(2,5 3 ) 、 N ( 1 3 , 20 9 ) 直线
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