高考数学真题汇编7-立体几何-理(-解析版).pdf
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1、2012 高考真题分类汇编:立体几何 一、选择题 1. 【2012 高考真题新课标理7】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为() ()A6()B9()C()D 【答案】 B 【解析】由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为3,所以几何体的体积为 9336 2 1 3 1 V, 选 B. 2. 【2012 高考真题浙江理10】已知矩形ABCD , AB=1 ,BC=2。将沿矩形的对角线BD所在 的直线进行翻折,在翻折过程中。 A.存在某个位置,使得直线AC与直线 BD垂直 . B.存在某个位置,使得直线AB与直线 CD垂直 . C.存在某
2、个位置,使得直线AD与直线 BC垂直 . D.对任意位置,三对直线“AC与 BD ” , “AB与 CD ” , “AD与 BC ”均不垂直 【答案】 C 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可 知选项 C是正确的 3.【2012 高考真题新课标理11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC 是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为() ()A 2 6 ()B 3 6 ()C 2 3 ()D 2 2 【答案】 A 【解析】ABC的外接圆的半径 3 3 r,点O到面ABC的距离 226 3 dRr,SC为 球O的直径点
3、S到面ABC的距离为 2 6 2 3 d 此棱锥的体积为 1132 62 2 33436 ABC VSd 另: 13 2 36 ABC VSR排除,B C D, 选 A. 4. 【2012 高考真题四川理6】下列命题正确的是() A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】 C 【解析】 A.两直线可能平行,相交,异面故A 不正确; B.两平面平行或相交;C. 正确; D.这 两个平面平行
4、或相交. 5. 【2012 高考真题四川理10】如图,半径为R的半球O的底面圆O在平面内,过点O作 平面的垂线交半球面于点 A,过圆O的直径CD作平面 成45角的平面与半球面相交, 所得交线上到平面的距离最大的点为 B,该交线上的一点P满足 60BOP,则A、P 两点间的球面距离为() C A O D B P A、 2 arccos 4 R B、 4 R C、 3 arccos 3 R D、 3 R 【答案】 A 【解析】根据题意,易知平面AOB 平面 CBD,BOPAOBAOPcoscoscos 4 2 2 1 2 2 , 4 2 arccosAOP,由弧长公式易得,A、P两点间的球面距离为
5、 2 arccos 4 R. 6. 【 2012 高考真题陕西理5】如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 111 ABCA B C, 1 2CACCCB,则直线 1 BC 与直线1 AB 夹角的余弦值为() A. 5 5 B. 5 3 C. 2 5 5 D. 3 5 5. 【答案】 A. 【解析】设aCB |,则aCCCA2| 1 ,),2 ,0(),0,2 ,0(),0, 0(),0,0 ,2( 11 aaBaCaBaA, ),2, 0(),2,2( 11 aaBCaaaAB, 5 5 | ,cos 11 11 11 BCAB BCAB BCAB,故选 A. 7. 【2012 高考真题湖南理3
6、】某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示,则该几何体的俯视 图不可能是 【答案】 D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知,原图下 面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,都可能 是该几何体的俯视图,不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 8. 【 2012 高考真题湖北理4】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A 8 3 B 3 C 10 3 D 6 【答案】 B 【解析】 显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱
7、体的一部分,并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体,底面圆的半径为1, 圆柱体的高为6, 则知所求几何体体积为原体积的一半为 3 . 选 B. 9. 【2012 高考真题广东理6】某几何体的三视图如图所示,它的体积为 A12 B.45 C.57 D.81 【答案】 C 【解析】该几何体的上部是一个圆锥,下部是一个圆柱,根据三视图中的数量关系,可得 57533-53 3 1 2222 圆柱圆锥 VVV故选 C 10. 【 2012 高考真题福建理4】一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何 体不可以是 A.球 B. 三棱柱 C. 正方形 D.圆柱 【答案】 D. 【命题立意】本题考
8、查了空间几何体的形状和三视图的概念,以及考生的空间想象能力,难 度一般 . 【解析】球的三视图全是圆;如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰 直角三角形;正方体三视图都是正方形. 可以排除ABC ,故选 11.【 2012 高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是 (A)(0,2)(B)(0,3)(C)(1, 2)(D)(1, 3) 【答案】 A 【解析】因为 2 2 2 1 1) 2 2 (1 2 BE则BEBF,222BEBFAB, 选 A, 12. 【 2012 高考真题北京理7】某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥
9、的表面积是() A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 【答案】 B 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度,黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:10 底 S, 10 后 S,10 右 S,56 左 S,因此该几何体表面积5630 左右后底 SSSSS, 故选 B。 13. 【2012 高考真题全国卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ,AB=2 ,CC1=2 2 E 为 CC1 的
10、中点,则直线AC1与平面 BED的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 【答案】 D 【 解 析 】 连 结BDAC,交 于 点O, 连 结OE, 因 为EO,是 中 点 , 所 以 1 / ACOE, 且 1 2 1 ACOE,所以BDEAC / 1 ,即直线 1 AC与平面 BED的距离等于点C到平面 BED的距 离,过C 做OECF于F, 则CF即为所求距离. 因为底面边长为2,高为22,所以 22AC,2,2 CEOC,2OE, 所 以 利 用 等 积 法 得1CF, 选D. 二、填空题 14. 【 2012 高考真题浙江理11】已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥
11、 的体积等于 _cm 3. 【答案】 1 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形故体积 等于 11 3121 23 15. 【 2012 高考真题四川理14】如图,在正方体 1111 ABCDA B C D中,M、N分别是CD、 1 CC的中点,则异面直线 1 A M与DN所成角的大小是_。 N M B1 A1 C1 D1 B D C A 【答案】 2 【命题立意】本题主要考查空间中直线与直线,直线与平面的位置关系,以及异面直线所成 角的求法 . 【解析】本题有两种方法,一、几何法:连接 1 MD,则DNMD1 , 又DNDA 11 ,易知 11MD ADN面
12、,所以 1 A M与DN所成角的大小是 2 ;二、坐标法:建立空间直角坐标系, 利用向量的夹角公式计算得异面直线 1 A M与DN所成角的大小是 2 . 16. 【 2012 高考真题辽宁理13】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 _。 【答案】 38 【解析】 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱,其中长方体的 长、宽、高分别为4、3、1,圆柱的底面直径为2,所以该几何体的表面积为长方体的表面积 加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为2(344 13 1)21 1238 【点评】 本题主要考查几何体的三视图、柱体的表面积公式,考查空间想象能力、运算求解 能
13、力,属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体,确定几何体的形状,然后 再根据几何体的形状计算出表面积。 17. 【 2012 高考真题山东理14】如图,正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为1,,E F分别为线 段 11 ,AA B C上的点,则三棱锥 1 DEDF的体积为 _. 【答案】 6 1 【解析】 法一: 因为E点在线段 1 AA上,所以 2 1 11 2 1 1 DED S,又因为F点在线段CB1 上,所以点F到平面 1 D E D的距离为1,即1h,所以 6 1 1 2 1 3 1 3 1 111 hSVV DEDDEDFEDFD . 法二:使用特殊点的位置进
14、行求解,不失一般性令E点在A点处,F点在C点处,则 6 1 111 2 1 3 1 3 1 1 11 DDSVV ADCADCDEDFD 。 18. 【2012 高考真题辽宁理16】已知正三棱锥 P ABC,点P,A,B,C都在半径为3的求面 上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为 _。 【答案】 3 3 【解析】 因为在正三棱锥PABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,所以可以把该正三棱锥看作 为一个正方体的一部分,(如图所示) ,此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径, 球心为正方体对角线的中点。球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥PABC在面ABC
15、上的 高。已知球的半径为3,所以正方体的棱长为2,可求得正三棱锥 P ABC在面ABC上的高 为 2 3 3 ,所以球心到截面ABC的距离为 2 33 3 33 【点评】 本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以 及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手,注意到 条件中的垂直关系,把三棱 19. 【 2012 高考真题上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的 体积为。 【答案】 3 3 【解析】因为半圆面的面积为2 2 12 l,所以4 2 l,即2l,即圆锥的母线为2l, 底面圆的周长22lr, 所以圆锥的
16、底面半径1r, 所以圆锥的高3 22 rlh, 所以圆锥的体积为 3 3 3 3 1 3 13 hr。 20.【2012 高考真题上海理14】如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,2BC, 若cAD2,且aCDACBDAB2,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积 的最 大值是。 【答案】 1 3 2 22 cac。 【解析】过点A做 AE BC ,垂足为E,连接 DE ,由 AD BC可知, BC 平面 ADE , 所以BCSVVV ADEADECADEB 3 1 = ADE S 3 2 , 当 AB=BD=AC=DC=a时,四面体ABCD 的体积最大。 过 E做 EFDA ,垂
17、足为点F,已知 EA=ED ,所以 ADE为等腰三角形,所以点E为 AD的中点, 又1 2222 aBEABAE, EF=1 2222 caAFAE, ADE S=EFAD 2 1 =1 22 cac, 四面体ABCD 体积的最大值 max V ADE S 3 2 =1 3 222 cac。 21.【2012 高考江苏7】 (5 分)如图, 在长方体 1111 ABCDABC D中,3cmABAD, 1 2cmAA, 则四棱锥 11 ABBD D的体积为 cm 3 【答案】 6。 【考点】 正方形的性质,棱锥的体积。 【解析】 长方体底面ABCD是正方形,ABD中=3 2BD cm,BD边上的
18、高是 3 2 2 cm (它也是 11 ABBD D中 11 BB D D上的高)。 四棱锥 11 ABB D D的体积为 13 3 222=6 32 。 22. 【 2012 高考真题安徽理12】某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是_ 【答案】 92 【命题立意】本题考查空间几何体的三视图以及表面积的求法。 【解析】该几何体是底面是直角梯形,高为 4的直四棱柱, 几何体的表面积是 22 1 2(25)4(2544(52) )492 2 S 23. 【 2012 高考真题天津理10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m ) ,则该几何体的体 积为 _m 3. 3 1 36 3 22 3
19、 侧视图 俯视图 正视图 【答案】918 【解析】根据三视图可知,这是一个上面为长方体,下面有两个直径为3 的球构成的组合体, 两个球的体积为9) 2 3 ( 3 4 2 3 ,长方体的体积为18631,所以该几何体的体积 为918。 24. 【 2012 高考真题全国卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=60则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为_. 【答案】 3 6 【解析】 如图设 , 1 cACbABaAA设棱长为1,则 , 1 baABbcaBCaBC- 1 , 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , 且 0 11
20、60CAABAA所 以 2 1 cbcaba, 所 以3)( 2 1 baAB, 2)-( 2 1 bcaBC,2)-()( 11 bcabaBCAB,设异面直线的夹角为 ,所以 3 6 32 2 cos 11 11 BCAB BCAB . 三、解答题 25. 【 2012 高考真题广东理18】 (本小题满分13 分) 如图 5 所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形, PA 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC上, PC 平面 BDE (1)证明: BD 平面 PAC ; (2)若 PH=1 , AD=2 ,求二面角B-PC-A 的正切值; 【答案】本题考查空间直线与平面的位置关
21、系,考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解 等问题,考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力. 26. 【 2012 高考真题辽宁理18】( 本小题满分12 分) 如图,直三棱柱 / ABCA B C,90BAC, / ,ABACAA点M,N分别为 / A B和 / B C的中点。 () 证明:MN平面 / A ACC; () 若二面角 / AMNC为直二面角,求的值。 【答案】 【点评】 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平 面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、 运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行
22、来证明线面平行,也可通过面面平行 来证明。 27. 【 2012 高考真题湖北理19】 (本小题满分12 分) 如图 1,45ACB,3BC,过动点A作ADBC,垂足D在线段BC上且异于点B, 连接AB,沿AD将ABD折起,使90BDC(如图 2 所示) ()当 BD的长为多少时,三棱锥ABCD的体积最大; ()当三棱锥ABCD的体积最大时,设点E,M分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点N ,使得ENBM,并求 EN 与平面BMN所成角的大小 第 19 题图 【答案】() 解法 1: 在如图 1 所示的ABC 中,设(03)BDxx,则3CDx 由ADBC,45ACB知
23、, ADC 为等腰直角三角形,所以3ADCDx. 由折起前ADBC知,折起后(如图2) ,A D D C,ADBD,且 BDDCD , 所以 AD 平面BCD又90BDC,所以 11 (3) 22 BCD SBD CDxx 于是 1111 (3)(3)2 (3)(3) 33212 A BCDBCD VADSxxxxxx 3 12(3)(3)2 1233 xxx , 当且仅当23xx,即1x时,等号成立, 故当1x,即1BD时, 三棱锥ABCD的体积最大 解法 2: 同解法 1,得 321111 (3)(3)(69 ) 3326 A BCDBCD VAD Sxxxxxx 令 321 ( )(69
24、 ) 6 f xxxx ,由 1 ( )(1)(3)0 2 fxxx,且03x,解得1x 当(0, 1)x时,( )0fx;当(1,3)x时,( )0fx 所以当1x时,( )f x 取得最大值 故当1BD时, 三棱锥ABCD的体积最大 () 解法 1: 以D为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz 由()知,当三棱锥ABCD的体积最大时,1BD,2ADCD 于是可得(0, 0, 0)D,(1,0, 0)B,(0, 2, 0)C,(0, 0, 2)A,(0, 1,1)M, 1 (, 1, 0) 2 E, 且( 1, 1,1)BM D A B C A C D B 图 2 图 1 M E .
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