2017-2018年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案.pdf
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1、2017-2018 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00 ) 一填空题(本大题共10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1若2x,则函数 1 ( ) 1 fxx x 的最小值是 2已知函数( )e x f x若()2f ab,则(3 )(3 )fafb的值是 3已知数列 n a是各项均不为 0 的等差数列,公差为d, n S为前n项和,且满足 2 21nnaS, * nN,则数列 n a的通项 n a 4若函数 2 2 23 ,0, ( ) 2,0 xxx f x xax x 是奇函数,则实数 a的值是 5已知函数 10 ( )lg | 3 f
2、xx若关于x的方程 2 ( )5 ( )60fxf x的实根之和为m, 则()f m的值是 6设、都是锐角,且 5 cos 5 , 3 sin() 5 ,则cos等于 7四面体ABCD中,3AB,5CD,异面直线AB和CD之间的距离为4,夹角 为 o 60,则四面体ABCD的体积为 8若满足 3 ABC,3AC,BCm的ABC恰有一解,则实数m的取值范围 是 9设集合1,2,8S,A,B是S的两个非空子集,且A中的最大数小于B中 的最小数,则这样的集合对(,)A B的个数是 10如果正整数m可以表示为 22 4xy (x,yZ),那么称m为“好数”问 1, 2,3, 2017-2018 中“好
3、数”的个数为 二解答题(本大题共4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11已知 a,b,c为正实数, xyz abc, 111 0 xyz ,求abc的值 12已知 1 F, 2 F分别是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左右焦点,点B的坐标为 (0, )b,直线1F B与双曲线C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂 直平分线与 x轴交于点 M若 212 1 2 MFF F,求双曲线 C的离心率 13如图,已知ABC是锐角三角形,以AB为直径的圆交边AC于点D,交边AB 上的高CH于点E以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G求证: AGAE 14(1) 正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形将 每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜 色不同怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最 大? (2)凸2016边形被2013条互不交叉(端点可以重合) 的对角线分割成2014个 三角形将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角 形涂的颜色不同在上述分割并涂色的所有情形中,红色三角形个数与蓝色 三角形个数之差的最大值是多少?证明你的结论
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