2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章点、直线、平面之间的位置关系2-1-2含答案精品.pdf

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1、2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 学习目标1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法 .3.理解并掌握公 理 4 及等角定理 .4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的 异面直线所成的角 知识点一空间两直线的位置关系 思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？ 答案平行与相交 教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB 与 CD. 梳理异面直线的概念 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线 (2)异面直线的画法(衬托平面法 ) 如图 (1)(2)所示

2、，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托 (3)判断两直线为异面直线的方法 定义法； 两直线既不平行也不相交 (4)空间两条直线的三种位置关系 从是否有公共点的角度来分： 没有公共点 平行 异面 有且仅有一个公共点 相交 从是否共面的角度来分： 在同一平面内 平行 相交 不同在任何一个平面内 异面 知识点二平行公理 (公理 4) 思考在平面内，直线a， b，c，若 ab，bc 则 ac.该结论在空间中是否成立？ 答案成立 梳理平行公理的内容 (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行 (2)符号表示： ab bc ? ac. 知识点三等角定理 思考观察图，在长

3、方体ABCDABCD中， ADC 与 ADC， ADC 与 DAB的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？ 答案从图中可以看出，ADC ADC， ADC DAB 180 . 梳理空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补 知识点四异面直线所成的角 思考在长方体A1B1C1D1ABCD 中， BC1AD1， 则“直线BC1与直线 BC 所成的角”与“直 线 AD1与直线 BC 所成的角”是否相等？ 答案相等 梳理 定义 前提两条异面直线a，b 作法经过空间任一点O 作直线 a a，b b 结论我们把 a 与 b 所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线a 与 b 所成的角 (或夹

4、角 ) 范围记异面直线a 与 b 所成的角为 ，则 0 90 . 特殊 情况 当 90 时， a 与 b 互相垂直，记作a b. 类型一异面直线的判断 例 1如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与 RS是异面直线的是() 答案C 解析本题容易错选A 或 B 或 D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正 确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择A，B 中， PQ RS，D 中， PQ 和 RS 相交故选C. 反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交， 也不平行，就是异面直线 跟踪训练1如图是一个正方

5、体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH 这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？ 解还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为 AB 与 CD，AB 与 GH，EF 与 GH. 类型二公理 4 及等角定理的应用 例 2已知 E， E分别是正方体ABCDA BCD的棱 AD，AD的中点 (1)求证：四边形BBEE 为平行四边形； (2)求证： BEC BEC. 证明(1)如图所示，因为E，E分别是 AD，AD的中点，所以AEAE，且 AE AE. 所以四边形AEEA是平行四边形 所以 AA EE，且 AAEE. 又因为 AA BB，且 AABB， 所以 E

6、E BB，且 EEBB. 所以四边形BEEB是平行四边形 (2)由 (1)知，四边形BBEE 为平行四边形，所以BEBE. 同理可证CE CE . 又BEC 与BEC的两边方向相同， 所以 BECBEC . 引申探究 本例 2中取 CD的中点 G，求证四边形ACGE为梯形 证明连接 AC. E，G分别为 AD，CD的中点， EG綊 1 2AC . AA綊 CC， 四边形 ACCA是平行四边形， AC綊 AC，EG綊 1 2AC， 四边形 ACGE是梯形 反思与感悟(1)公理 4 的作用 公理 4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出空间两直线 平行的一种证明方法 (2

7、)剖析 “等角定理 ” 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且其中一组方向相同，另一组方向相反， 那么这两个角互补 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等 跟踪训练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 AB，BB1，BC 的中点 求 证： EFG C1DA1. 证明如图，连接B1C. 因为 G， F 分别为 BC，BB1的中点， 所以 GF 綊 1 2B1C. 又 ABCD A1B1C1D1为正方体， 所以 CD 綊 AB，A1B1綊 AB， 由公理 4

8、 知 CD 綊 A1B1， 所以四边形A1B1CD 为平行四边形， 所以 A1D 綊 B1C.又 B1CFG， 由公理 4 知 A1DFG. 同理可证： A1C1EG，DC1EF. 又DA1C1与EGF，A1DC1与EFG， DC1A1与GEF 的两边分别对应平行且均为锐 角， 所以 DA1C1EGF，A1DC1 EFG，DC1A1 GEF. 所以 EFG C1DA1. 类型三求异面直线所成的角 例 3空间四边形ABCD 中， ABCD，且 AB 与 CD 所成锐角为30 ，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求EF 与 AB 所成角的大小 解如图所示，取AC 的中点 G，连接 EG，FG，

9、则 EG 綊1 2AB，GF 綊 1 2CD， 由 ABCD 知 EGFG， 从而可知 GEF 为 EF 与 AB 所成角， EGF 或其补角为AB 与 CD 所成角 AB 与 CD 所成角为 30 ， EGF 30 或 150 ， 由 EGFG 知EFG 为等腰三角形， 当EGF 30 时， GEF75 ， 当EGF 150 时， GEF 15 ， 故 EF 与 AB 所成角的大小为15 或 75 . 反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)构造角： 根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角 (2)计算角：求角度，常利用三角形 (3)确定角：若求出的角

10、是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝 角，则它的补角就是所求异面直线所成的角 跟踪训练3在空间四边形ABCD 中，两条对边 AB CD3，E， F 分别是另外两条对边AD， BC 上的点，且 AE ED BF FC 1 2， EF 5，求 AB 和 CD 所成角的大小 解如图，连接BD，过点 E 作 AB 的平行线交BD 于 O，连接 OF. 因为 EOAB， 所以 BO OD AE ED 1 2， EO AB DE DA 2 3. 又因为 AB3，所以 EO2. 又 BF FC 1 2，所以 BO OD BF FC， 所以 OFDC，所以 OE 与 OF 所成的角即为

11、AB 和 CD 的成的角， OF DC BF BC 1 3. 因为 DC3，所以 OF1. 在OEF 中， OE 2OF25，EF2( 5) 2 5， 所以 OE 2OF2EF2，EOF90 ， 所以 AB 和 CD 所成的角为90 . 1空间两条互相平行的直线指的是() A在空间没有公共点的两条直线 B分别在两个平面内的两条直线 C在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D在同一平面内且没有公共点的两条直线 答案D 解析由平行直线的定义可得 2若 OAOA， OB OB，且 AOB130 ，则 A O B为 () A130B50 C130 或 50D不能确定 答案C 解析根据定理， AO

12、B与 AOB 相等或互补， 即AOB 130 或AOB 50 . 3分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是() A一定平行B一定相交 C一定异面D相交或异面 答案D 解析画出图形，得到结论 如图 (1)，分别与异面直线a，b 平行的两条直线c 和 d 是相交关系如图(2)，分别与异面直 线 a，b 平行的两条直线c 和 d 是异面关系综上可知，应选D. 4如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是 _； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_； (4

13、)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_ 答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面 解析(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中， A1D1綊 BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形， 所以 A1B D1C. (2)直线 A1B 与直线 B1C 不同在任何一个平面内 (3)直线 D1D 与直线 D1C 相交于点D1. (4)直线 AB 与直线 B1C 不同在任何一个平面内 5如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中 (1)求 A1C1与 B1C 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求A1C1与 EF 所成角的大小 解(1)如图所示，连接AC， AB1.

14、 由六面体ABCDA1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C 为平行四边形， ACA1C1，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 A1C1与 B1C 所成的角 在AB1C 中，由 AB1ACB1C， 可知 B1CA60 ， 即 A1C1与 B1C 所成的角为 60 . (2)如图所示，连接BD. 由(1)知 AC A1C1， AC 与 EF 所成的角就是A1C1与 EF 所成的角 EF 是ABD 的中位线， EFBD. 又ACBD， ACEF，EF A1C1， 即 A1C1与 EF 所成的角为90 . 1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义 就是一种

15、常用的判定方法 2 在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成 的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强 调的是，两条异面直线所成角的范围为(0 ，90 ，解题时经常结合这一点去求异面直线所成 角的大小 作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法 (可利用图 中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法 (在已知图形中，补作一个相同的几何体， 以便找到平行线) 课时作业 一、选择题 1若 a 和 b 是异面直线， b 和 c 是异面直线，则a 和 c 的位置关系是() A异面或平行 B异面或相交 C

16、异面 D相交、平行或异面 答案D 解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b 异面，直线c 的位置可 如图所示 2两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A全等B不相似 C仅有一个角相等D相似 答案D 解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D. 3已知异面直线a，b 分别在平面 ，内，且 c，那么直线c 一定 () A与 a，b 都相交 B只能与a，b 中的一条相交 C至少与a，b 中的一条相交 D与 a，b 都平行 答案C 解析若 c 与 a，b 都不相交， 则 c 与 a，b 都平行， 根据公理4，知 ab，与 a，b 异面

17、矛盾， 故选 C. 4空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A空间四边形B矩形C菱形D正方形 答案B 解析如图，易证四边形EFGH 为平行四边形 又E，F 分别为 AB，BC 的中点， EFAC. 又 FGBD ， EFG 或其补角为AC 与 BD 所成的角 而 AC 与 BD 所成的角为90 ， EFG 90 ， 故四边形EFGH 为矩形 5如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD 在原正方体中的位置关系是() A平行B相交且垂直 C异面D相交成60 角 答案D 解析如图，连接AC，得正三角形ABC， AB，CD 在原正方体中相交成60 角 6.如图所

18、示，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中， l? 平面 A1B1C1D1，且 l 与 B1C1不平行，则 下列一定正确的是() Al 与 AD 平行 Bl 与 AB 异面 Cl 与 CD 所成角为30 Dl 与 BD 垂直 答案B 解析由 l 与 AB 既不平行也不相交，故l 与 AB 一定互为异面直线 7下列四个结论中假命题的个数是() 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线a， b，c 满足 ab，bc，则 ac； 若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线 A1 B 2 C3 D4 答案B 解析 均为假命题 可举反例，如a、b

19、、c 三线两两垂直 如图甲， c、d 与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d 异面； 当点 A 在直线 l1上运动 (其余三点不动)时，会出现点A 与 B 重合的情形，如图乙所示，此时 c、d 共面相交 8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线 A1B 与 AD1所成的角为 () A30 B45 C60 D90 答案C 解析如图，连接BC1，A1C1. BC1AD1，异面直线A1B 与 AD1所成的角即为直线A1B 与 BC1所成的角 在A1BC1中， A1BBC1A1C1， A1BC160 . 故异面直线A1B 与 AD1所成的角为60 . 9.如图，在三棱锥DABC 中，

20、AC BD，且 ACBD，E，F 分别是棱DC，AB 的中点，则 EF 和 AC 所成的角等于() A30B45 C60D90 答案B 解析如图所示，取BC 的中点 G，连接 FG，EG. E，F 分别是为CD，AB 的中点， FGAC，EGBD， 且 FG1 2AC，EG 1 2BD. 又ACBD， FGEG， EFG 为 EF 与 AC 所成的角或其补角 ACBD， FGEG， FGE 90 ， EFG 为等腰直角三角形， EFG 45 ，即 EF 与 AC 所成的角为45 . 二、填空题 10如图所示，在三棱锥PABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对 答案3 解析PA 与 BC，

21、PB 与 AC，PC 与 AB 互为异面直线共 3 对 11如图， G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH， MN 是 异面直线的图形有_ 答案 解析(1)中 HGMN，(3)中 GM HN 且 GMHN，所以直线HG 与 MN 必相交 12如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)AC 与 DD1所成的角为 _； (2)AC 与 D1C1所成的角为 _ 答案(1)90 (2)45 解析(1)DD1和 AC 是异面直线，因为AA1DD1，所以 A1AC 为 DD1和 AC 所成的角因 为 AA1AC，所以 A1AC90 ，所以 DD 1和 AC 所成的角

22、是 90 . (2)因为 DCD1C1，所以 ACD 是 AC 和 D1C1所成的角又 ACD45 ，所以 AC 和 D1C1 所成的角是45 . 三、解答题 13如图，在空间四边形ABCD 中， ADBC2， E，F 分别是 AB，CD 的中点， EF3， 求 AD 与 BC 所成角的大小 解如图，取 BD 的中点 G，连接 GE，GF. 因为 BEEA，BGGD， 所以 GEAD，GE 1 2AD1. 因为 DFFC，DGGB， 所以 GFBC，GF 1 2BC1. 所以 EGF (或其补角 )是异面直线AD 与 BC 所成的角 在GEF 中， GE1， GF1，EF3(如图 )， 取 E

23、F 的中点 O，连接 GO， 则 GOEF，EO 1 2EF 3 2 . 所以 sinEGO EO EG 3 2 ，所以 EGO60 ，所以 EGF2EGO 120 ， 所以异面直线AD 与 BC 所成的角是180 120 60 . 四、探究与拓展 14在如图所示的正方体中，M，N 分别为棱 BC 和 CC1的中点，则异面直线 AC 和 MN 所成 的角为 () A30 B45 C90 D60 答案D 解析连接 AD1， D1C， BC1.因为 M， N 分别为 BC 和 CC1的中点，所以 C1BMN， 又 C1BAD1， 所以 AD1MN，所以 D1AC 即为异面直线 AC 和 MN 所成

24、的角又 D1AC 是等边三角形， 所以 D1AC60 ，即异面直线 AC 和 MN 所成的角为60 . 15.如图所示，四边形ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BAD FAB 90 ，BC 綊1 2AD， BE 綊 1 2FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点 (1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)判断 C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知 FGGA，FH HD， 可得 GH 綊 1 2AD.又 BC 綊 1 2AD，GH 綊 BC， 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)解由 BE 綊1 2AF，G 为 FA 的中点知， BE 綊 FG， 四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG. 由(1)知 BG 綊 CH，EF CH， EF 与 CH 共面 又 DFH ，C、D、F、 E 四点共面 精品文档强烈推荐 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有 精品推荐强力推荐值得拥有