2018版数学选修2-2学案:第三章数系的扩充与复数的引入章末复习题含答案精品.pdf
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1、学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复 数的相关运算 1复数的有关概念 (1)复数的概念:形如abi(a,b R)的数叫做复数,其中a,b 分别是它的实部和虚部若 b0,则 abi 为实数,若b0,则 abi 为虚数,若a 0 且 b0,则 abi 为纯虚数 (2)复数相等: abicdi? a c 且 bd(a,b,c, dR) (3)共轭复数: abi 与 cdi 共轭 ? ac,bd0(a,b,c,d R) (4)复平面: 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 实 轴上的点都表示实数;除了原点外, 虚轴上
2、的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚 数 (5)复数的模:向量 OZ 的模 r 叫做复数zabi 的模,记作 |z|或 |a bi|, 即|z|abi|a2b2 (r0,rR) 2复数的几何意义 (1)复数 za bi 一一对应 复平面内的点Z(a, b)(a, bR) (2)复数 za bi(a, bR) 一一对应 平面向量 OZ . 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi,z2cdi(a,b,c, dR),则 加法: z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i; 减法: z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i; 乘法: z1 z2(abi) (c
3、di)(acbd) (adbc)i; 除法: z1 z2 abi c di abicdi cdi cdi acbd c 2d2 bcad c 2d2i(cdi0) (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任意z1, z2, z3 C,有z1z2z2z1,(z1z2)z3 z1(z2z3) 类型一复数的概念 例 1已知复数za2a6 a 2 2a15 a 24i,分别求出满足下列条件的实数a 的值: (1)z是实数; (2)z是虚数; (3)z 是 0. 解由 a2a6 0,解得 a 2 或 a3. 由 a22a150,解得 a 5 或 a 3. 由 a24 0,解得 a 2
4、. (1)由 a 22a150 且 a240, 得 a 5或 a 3, 当 a 5 或 a3 时, z 为实数 (2)由 a 22a150 且 a240, 得 a 5且 a 3 且 a 2, 当 a 5 且 a3 且 a 2 时, z是虚数 (3)由 a 2a6 0,且 a22a150,得 a3, 当 a 3时, z0. 引申探究 本例中条件不变,若z 为纯虚数,是否存在这样的实数a,若存在,求出a,若不存在,说 明理由 解由 a2a6 0,且 a22a150, 且 a24 0,得 a 无解, 不存在实数a,使 z为纯虚数 反思与感悟(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数
5、、虚数、纯虚 数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提 (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据 跟踪训练1复数 zlog3(x 23x 3)ilog 2(x3),当 x 为何实数时, (1)zR;(2)z 为虚数 解(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0, 所以 x 23x 30, log2x3 0, x30, 解得 x 4,所以当x4 时, zR. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0, 所以 x 23x 30, log2x3 0, x30, 解得 x 321 2 且 x4. 所以当 x3 21 2 且 x4 时, z 为虚数 类型二复数的运算 例 2已知
6、z 是复数, z3i 为实数, z5i 2 i 为纯虚数 (i 为虚数单位 ) (1)求复数 z; (2)求 z 1i 的模 解(1)设 zabi(a,bR), z3ia(b3)i 为实数,可得b3. 又 a2i 2 i 2a2 a4 i 5 为纯虚数, a 1,即 z 13i. (2) z 1i 13i 1i 13i1i 1i1i 42i 2 2i, z 1i |2i|2 212 5. 反思与感悟复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等,求z 时要注意是把z 看作一个整 体还是设为代数形式应用方程思想当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用 跟踪训练2已知 z1,z2为复数, (3i)z1为实数
7、, z2 z1 2i,且 |z 2|52,求 z2. 解z1z2(2 i), (3i)z1z2(2i)(3i)z2(5 5i)R, 因为 |z2|5 2,所以 |z2(5 5i)|50, 所以 z2(55i) 50, 所以 z2 50 55i 10 1 i (55i) 类型三数形结合思想的应用 例 3在复平面内,设z1i(i 是虚数单位 ),则复数 2 zz 2 对应的点位于第_象限 答案一 解析 2 zz 2 2 1i (1i)2 2 1i 2i(1i)2i1i, 复数 2 zz 2对应的点为 (1,1), 故在第一象限 反思与感悟根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个
8、向量对应 的复数,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论 跟踪训练3已知复平面内点A,B 对应的复数分别是z1sin2 i,z2 cos 2 icos2 , 其中 (0,),设 AB 对应的复数为z. (1)求复数 z; (2)若复数 z 对应的点P 在直线 y 1 2x 上,求 的值 解(1)由题意得zz2z1 cos 2 sin2 (cos2 1)i 12sin 2 i. (2)由(1)知,点 P 的坐标为 (1, 2sin 2 ) 由点 P 在直线 y1 2x 上,得 2sin 2 1 2, sin 2 1 4,又 (0,) , sin 0, 因此 sin 1 2, 6
9、或 5 6 . 1若复数zcos 5 13( 12 13 sin )i(i 是虚数单位 )是纯虚数,则 tan _. 答案 12 5 解析复数 zcos 5 13 ( 12 13sin )i 是纯虚数, cos 5 130, 12 13 sin 0, cos 5 13, sin 12 13, 则 tan sin cos 12 5 . 2设 z 10i 3i ,则 z的共轭复数为_ 答案13i 解析由 z 10i 3i 10i 3i 3i3i 13i, 得 z 1 3i. 3若复数z满足 (34i)z|43i|,则 z 的虚部为 _ 答案 4 5 解析z |43i| 34i 5 34i 3 5
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