2018版高中数学选修2-1学案:第三章空间向量与立体几何3-2-1直线的方向向量与平面的法向量含答案精品.pdf
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1、32.1直线的方向向量与平面的法向量 学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向 量 知识点一直线的方向向量 直线 l 上的向量e(e0)以及与 e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量 知识点二平面的法向量 如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面 ,那么称向量n 垂直于平面 ,记作 n ,此时,我们把向量n 叫做平面 的法向量 思考 1平面的法向量有无数个,它们之间有何关系? 答案相互平行 2一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一?是否相等? 答案不惟一,它们相互平行,但不一定相等 题型一直线的方向向量及其应用 例 1设直线 l1的方向向量
2、为a(1,2, 2),直线 l2的方向向量为b( 2,3,m),若 l1l2, 则 m_. 答案2 解析由题意,得ab,所以 a b(1,2, 2) (2,3,m) 2 62m4 2m0,所以 m 2. 反思与感悟若 l1l2,则 l1与 l2的方向向量垂直;若l1l2,则 l1与 l2的方向向量平行 跟踪训练1若直线 l1,l2的方向向量分别是a(1, 3, 1),b(8,2,2),则 l1与 l2的位置 关系是 _ 答案垂直 解析因为 a b(1, 3, 1)(8,2,2)8620,所以 ab,从而 l1l2. 题型二求平面的法向量 例 2如图所示,在四棱锥SABCD 中,底面是直角梯形,
3、ABC 90 ,SA底面 ABCD,且 SAABBC1,AD1 2 ,建立适当的空间 直角坐标系,求平面SCD 与平面 SBA的一个法向量 解如图,以 A 为原点,以 AD ,AB ,AS 分别为 x,y,z 轴的正方向建 立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),D(1 2,0,0), C(1,1,0),S (0,0,1), 则DC (1 2,1,0), DS ( 1 2, 0,1) 易知向量 AD (1 2,0,0)是平面 SAB的一个法向量 设 n(x,y, z)为平面 SDC 的法向量, 则 n DC 1 2xy0, n DS 1 2xz0, 即 y 1 2x, z1 2x. 取 x2
4、,则 y 1, z1, 平面 SDC 的一个法向量为(2, 1,1) 反思与感悟求平面法向量的方法与步骤: (1)求平面 ABC 的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如AC ,AB ; (2)设平面的法向量为n(x,y,z); (3)联立方程组 n AC 0, n AB 0, 并求解; (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时,设定一个坐标为常数(常数不能为 0)便可得到平面的一个法向量 跟踪训练2已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一个法向量 解设平面 ABC 的法向量为n(x,y,z), 由题意知 AB (1,1,0),BC (1,
5、0, 1) nAB ,nBC , n AB xy0, n BC xz0, 解得 xy, xz. 令 x1,则 y z1. 平面 ABC 的一个法向量为n(1,1,1) 题型三证明平面的法向量 例 3在正方体 ABCDA1B1C1D1中, E, F 分别是 BB1,CD 的中点 求证: D1F 是平面 ADE 的法向量 证明如图,以D 为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z 轴,建 立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则 D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),E(1,1,1 2),F(0, 1 2,0), 所以 AD (1,0,0),D1F (0, 1 2, 1),
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