最新-人教版高中数学《导数》全部教案精品.pdf
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1、导数的背景 (5 月 4 日) 教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点极限思想 教学过程 一、导入新课 1.瞬时速度 问题 1:一个小球自由下落,它在下落3 秒时的速度是多少? 析:大家知道,自由落体的运动公式是 2 2 1 gts(其中 g 是重力加速度) . 当时间增量t 很小时,从 3 秒到(3t )秒这段时间内,小球下落的快慢 变化不大 .因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时 的速度 . 从 3 秒到( 3t )秒这段时间内位移的增量: 222 )(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(
2、tttstss 从而,t t s v9. 44 .29. 从上式可以看出,t 越小, t s 越接近 29.4 米/秒; 当t 无限趋近于 0 时, t s 无限趋近于 29.4 米/秒.此时我们说,当t 趋向于 0时, t s 的极限是 29.4. 当t 趋向于 0 时,平均速度 t s 的极限就是小球下降3 秒时的速度,也叫做 瞬时速度 . 一般地,设物体的运动规律是ss(t) ,则物体在 t 到(tt )这段时间 内的平均速度为 t tstts t s)()( .如果t 无限趋近于 0时, t s 无限趋近于 某个常数 a,就说当t 趋向于 0 时, t s 的极限为 a,这时 a 就是
3、物体在时刻t 的瞬时速度 . 2.切线的斜率 问题 2:P(1,1)是曲线 2 xy上的一点, Q 是曲线上点 P 附近的一个点,当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 趋近时割线 PQ的斜率的变化情况 . 析:设点 Q 的横坐标为 1x ,则点 Q 的纵坐标为( 1x )2,点 Q 对于点 P 的纵坐标的增量(即函数的增量) 22 )(21)1 (xxxy, 所以,割线 PQ 的斜率x x xx x y kPQ2 )(2 2 . 由此可知,当点 Q 沿曲线逐渐向点 P 接近时,x 变得越来越小, PQ k越来 越接近 2;当点 Q 无限接近于点 P 时,即x 无限趋近于 0 时, PQ k无限趋近于
4、2.这表明,割线 PQ 无限趋近于过点 P 且斜率为 2 的直线 .我们把这条直线叫 做曲线在点 P 处的切线 .由点斜式,这条切线的方程为:12xy. 一般地,已知函数)(xfy的图象是曲线 C, P ( 00, y x) , Q (yyxx 00 ,) 是曲线 C 上的两点,当点 Q 沿曲线逐渐向点P 接近时,割线 PQ 绕着点 P 转动. 当点 Q 沿着曲线无限接近点P,即x 趋向于 0 时,如果割线 PQ 无限趋近于一 个极限位置 PT,那么直线 PT 叫做曲线在点 P 处的切线 .此时,割线 PQ 的斜 率 x y kPQ无限趋近于切线PT 的斜率 k,也就是说,当x 趋向于 0 时
5、,割线 PQ 的斜率 x y kPQ的极限为 k. 3.边际成本 问题 3:设成本为 C,产量为 q,成本与产量的函数关系式为103)( 2 qqC,我 们来研究当 q50 时,产量变化q对成本的影响 .在本问题中,成本的增量为: 222 )(3300)10503(10)50(3)50()50(qqqCqCC. 产量变化q对成本的影响可用:q q C 3300来刻划,q越小, q C 越接近 300;当q无限趋近于 0 时, q C 无限趋近于 300,我们就说当q趋向于 0 时, q C 的极限是 300. 我们把 q C 的极限 300 叫做当 q50 时103)( 2 qqC的边际成本
6、. 一般地,设 C 是成本, q 是产量,成本与产量的函数关系式为CC(q) , 当产量为 0 q时,产量变化q对成本的影响可用增量比 q qCqqC q C)()( 00 刻划.如果q无限趋近于 0 时, q C 无限趋近于常数 A,经济学上称 A 为边际 成本.它表明当产量为 0 q时,增加单位产量需付出成本A(这是实际付出成本 的一个近似值) . 二、小结 瞬时速度是平均速度 t s 当t 趋近于 0 时的极限;切线是割线的极限位置, 切线的斜率是割线斜率 x y 当x 趋近于 0 时的极限;边际成本是平均成本 q C 当 q趋近于 0 时的极限 . 三、练习与作业: 1.某物体的运动方
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