最新-【数学】2018年高考数学试题精编:81椭圆精品.pdf
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1、第八章圆锥曲线方程 一椭圆 【考点阐述】 椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质了解椭圆的参数方程 【考试要求】 (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程 【考题分类】 (一)选择题(共4 题) 1. (福建卷文11)若点 O和点 F 分别为椭圆 22 1 43 xy 的中心和左焦点,点P为椭圆上的 任意一点,则 OP FP的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】 C 【解析】由题意,F(-1 ,0),设点P 00 (,)xy ,则有 22 00 1 43 xy , 解得 2 20 0 3(1) 4 x y , 因为 00 (1,)FPxy , 00 (,
2、)OPxy ,所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 0 2x ,因为 0 22x ,所以当 0 2x 时, OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ,选 C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 2. (广东卷文7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心 率是 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1
3、 5 3.(全国卷理12 文 12)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ,过右焦点F 且斜率为 (0)k k 的直线与 C相交于AB、 两点若 3AFFB,则k (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 【答案】 B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l 为椭圆的有准线,e为离心率,过A,B分别作 AA1 ,BB1垂直于 l ,A1,B 为垂足, 过 B作 BE垂直于 AA1与 E,由第二定义得,由, 得, 即 k=,故选 B. 4. (四川卷理9 文 10)椭圆 22 22 1() xy ab ab 的右焦点F,其右准线与
4、 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 (A) 2 0, 2 (B) 1 0, 2 (C) 2 1,1 (D) 1 ,1 2 解析:由题意,椭圆上存在点P ,使得线段AP的垂直平分线过点F,即 F 点到 P点与 A点 的距离相等而 |FA| 22 ab c cc |PF| a c,a c 于是 2 b c a c,a c 即 acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e(0,1) 故 e 1 ,1 2 答案: D (二)填空题(共3 题) 1. ( 湖 北 卷 文15 ) 已
5、 知 椭 圆 2 2 :1 2 x cy 的 两 焦 点 为 12 ,F F , 点 00 (,)P xy 满 足 2 20 0 01 2 x y , 则| 1 PF |+ 2 PF | 的取值范围为_,直线 0 0 1 2 x x y y 与椭圆C 的公 共点个数 _。 【答案】 2,22 ,0 【解析】依题意知,点P在椭圆内部. 画出图形,由数形结合可得,当P 在原点处时 12max (|)2 PFPF ,当 P在椭圆顶点处时,取到 12max (|)PFPF 为 ( 21) (2 1) =2 2 , 故范围为 2,22 . 因为 00 (,)xy 在椭圆 2 2 1 2 x y 的内部,
6、 则直线 0 0 1 2 x x yy 上的点( x, y)均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0 个. 2. (全国卷理16 文 16)已知F是椭圆 C的一个焦点, B是短轴的一个端点,线段BF的 延长线交 C于点D,且BF2FD uu ruu r ,则C的离心率为 . 【答案】 2 3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数 形结合思想、方程思想, 本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性质 可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图, 22 |BFbca , 作 1 DDy 轴于点 D1,则由BF 2FD uu ruu
7、r ,得 1 |2 |3 OFBF DDBD , 所以 1 33 | 22 DDOFc , 即 3 2 D c x ,由椭圆的第二定义得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由 |2|BFFD , 得 2 3 2 c ca a , 整理得 22 320caac . 两边都除以 2 a , 得 2 320ee , 解得 1()e舍去 ,或 2 3 e . 3. (上海春卷5) 若椭圆 1 1625 22 yx 上一点 P到焦点 1 F 的距离为6, 则点 P到另一个焦点 2 F x O y B F 1 D D 的距离是 _。 答案: 4 解析:由椭圆的定义知 12 | 210PF
8、PFa , 1 |6PF , 故 2 | 4PF 。 (三)解答题(共20 题) 1.(安徽卷理19 文 17,)已知椭圆E经过点 2,3A ,对称轴为坐标轴,焦点 12 ,FF 在 x轴上,离心率 1 2 e 。 ( ) 求椭圆 E的方程; ( ) 求 12 F AF 的角平分线所在直线l的方程; ( ) 在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理 由。 2. (安徽卷文17)椭圆 E经过点 2,3A ,对称轴为坐标轴, 焦点 12 ,F F 在 x 轴上,离心率 1 2 e 。 () 求椭圆E的方程; ( ) 求 12 F AF 的角平分线所在直线的方程。
9、 【命题意图】 本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与 一般方程,点到直线的距离公式等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】 (1)设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ,把点 2,3A 代入椭圆方程, 把离心率 1 2 e 用 ,a c 表示,再根据 222 abc ,求出 22 ,ab ,得椭圆方程;(2)可以设直线l 上任一点 坐标为 ( , )x y ,根据角平分线上的点到角两边距离相等得 |346 | |2 | 5 xy x . 解:()设椭圆E的方程为 22 22 22 2222 22 22 22 121 212 1. 11
10、 ,3,1. 2243 13 1,2, 1. 1612 3 ()(2,0),(2,0),(2), 4 3460.2. xy ab cxy ebacc acc AcE cc xy FAFx xyAFxEAF 由得 将( 2,3)代入,有解得:椭圆的方程为 由( )知 F所以直线的方程为y= 即直线的方程为由椭圆的图形知,F的角平分线所在直线的斜率为正 12 12 346 2 5 346510,280, xy AFx xyxxy AF 数。 设 P( x,y )为F的角平分线所在直线上任一点,则有 若得其斜率为负,不合题意,舍去。 于是 3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以,F
11、的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 【规律总结】对于椭圆解答题,一般都是设椭圆方程为 22 22 1 xy ab ,根据题目满足的条件 求出 22 ,ab ,得椭圆方程,这一问通常比较简单;(2)对于角平分线问题,利用角平分线 的几何意义,即角平分线上的点到角两边距离相等得方程 3.(北京卷文19)已知椭圆C的左、 右焦点坐标分别是 (2,0) , ( 2, 0) ,离心率是 6 3 , 直线 y=t 椭圆 C交与不同的两点M ,N,以线段MN 为直径作圆P,圆心为 P。 ()求椭圆C的方程; ()若圆P与 x 轴相切,求圆心P的坐标; ()设Q (x, y)是圆 P上的动点,当t
12、变化时,求y 的最大值。 解:()因为 6 3 c a ,且 2c ,所以 22 3,1abac 所以椭圆C的方程为 【命题意图】本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题. 问 题的设置由浅入深,符合学生的思维能力的生成过程,问题的设置也兼顾考查了应用代数的 思想解决几何问题的能力. 【点评】 圆锥曲线问题是每年的必考题型,其试题的难度会有所增加,但是其试题一般都是 有梯度的,且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高. 求解 此类问题往往要应用到代数 的方法和思想来求解,故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线 的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型
13、的掌握和熟练. 4. (福建卷理17)已知中心在坐标原点 O的椭圆C 经过点 (2 3)A, ,且点 (2 0)F, 为其右焦 点。 ()求椭圆 C的方程; ()是否存在平行于 OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离 等于 4?若存在,求出直线 l的方程;若不存在,说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】( 1)依题意,可设椭圆C的方程为 22 22 1(a0,b0) xy ab ,且可知左焦点为 F(-2 ,0),从而有 c=2 2a=|AF|+|AF |
14、=3+5=8,解得 c=2 a=4, 又 222 a =b +c ,所以 2 b12,故椭圆 C的方程为 22 1 1612 xy 。 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 3 y=x+t 2 , 由 22 3 y=x+t 2 xy +=1 1612 得 22 3x +3tx+t -12=0 , 因为直线 l与椭圆有公共点,所以有 22 3t) -43(t -12)0( ,解得 4 3t4 3 , 另一方面,由直线OA与l的距离 4 可得: |t| =4 9 1 4 ,从而 t=2 13 , 由于 2 13 4 3,4 3 ,所以符合题意的直线l不存在。 5.(江苏卷18)在平面直角坐标
15、系 xoy中,如图, 已知椭圆 1 59 22 yx 的左右顶点为A,B, 右焦点为F,设过点T( mt, )的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点M ),( 11 yx , ),( 22 yxN ,其 中 m0, 0, 0 21 yy 设动点P满足4 22 PBPF, 求点 P的轨迹 设 3 1 ,2 21 xx ,求点 T 的坐标 设 9t , 求证:直线MN必过 x 轴上的一定点(其坐标与m无关) 解析 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运 算求解能力和探究问题的能力。满分16 分。 (1)设点 P(x,y),则: F(2,0)、 B(3,0)、 A(-
16、3,0)。 由4 22 PBPF,得 2222 (2)(3)4,xyxy 化简得 9 2 x 。 故所求点P的轨迹为直线 9 2 x 。 (2) 将3 1 ,2 21 xx 分别代入椭圆方程,以及 0, 0 21 yy 得:M (2, 5 3) 、N ( 1 3, 20 9) 直线 MTA方程为: 03 5 23 0 3 yx ,即 1 1 3 yx , 直线 NTB 方程为: 03 201 03 93 yx ,即 55 62 yx 。 联立方程组,解得: 7 10 3 x y , 所以点 T 的坐标为 10 (7,) 3。 (3)点 T的坐标为 (9,)m 直线 MTA方程为: 03 093
17、 yx m ,即 (3) 12 m yx , 直线 NTB 方程为: 03 093 yx m ,即 (3) 6 m yx 。 分别与椭圆 1 59 22 yx 联立方程组,同时考虑到 12 3,3xx , 解得: 2 22 3(80)40 (,) 8080 mm M mm 、 2 22 3(20)20 (,) 2020 mm N mm 。 (方法一)当 12 xx 时,直线 MN 方程为: 2 22 22 22 22 203(20) 2020 4020 3(80)3(20) 8020 8020 mm yx mm mm mm mm mm 令 0y ,解得: 1x 。此时必过点D(1,0); 当
18、12 xx 时,直线MN方程为: 1x ,与 x 轴交点为 D(1,0)。 所以直线MN必过 x 轴上的一定点D(1, 0)。 (方法二)若 12 xx ,则由 22 22 2403360 8020 mm mm 及 0m ,得 2 10m , 此时直线MN的方程为 1x ,过点 D(1,0)。 若 12 xx ,则 2 10m ,直线 MD 的斜率 2 22 2 40 10 80 240340 1 80 MD m m m k mm m, 直线 ND的斜率 2 2 2 2 20 10 20 36040 1 20 ND m m m k mm m ,得 MDND kk ,所以直线MN过 D点。 因此
19、,直线MN必过 x轴上的点( 1,0)。 6. (江西卷理21)设椭圆 1 C : 22 22 1(0) xy ab ab ,抛物线 2 C : 22 xbyb . (1) 若 2 C 经过 1 C 的两个焦点,求 1 C 的离心率; (2) 设 5 (0, ),(3 3,) 4 AbQb ,又 MN、 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两 个交点,若AMN的垂心为 3 (0,) 4 Bb ,且 QMN 的重心在 2 C 上, 求椭圆 1 C 和抛物线 2 C 的方程 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: 2
20、2 cb ,由 2 2222 2 12 2, 22 c abcce a 有 。 (2) 由题设可知M 、N关于 y 轴对称, 设 11111 (,),(,)(0)MxyN xyx , 由 AMN 的垂心为B,有 2 111 3 0()()0 4 BMANxybyb 。 由点 11 (,)N x y 在抛物线上, 22 11 xbyb ,解得: 11 () 4 b yyb或舍去 故 1 555 ,(,),(,) 22424 bb xb MbNb ,得 QMN 重心坐标 ( 3,) 4 b . 由重心在抛物线上得: 2 2 3,=2 4 b bb所以 , 11 (5,),( 5,) 22 MN ,
21、又因为 M 、 N在椭圆上得: 2 16 3 a ,椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy ,抛物线方程为 2 24xy 。 N x Q M O y 7.(江西卷文21)已知抛物线 1 C : 22 xbyb 经过椭圆 2 C : 22 22 1(0) xy ab ab 的两 个焦点 . (1) 求椭圆 2 C 的离心率; (2) 设 (3, )Qb ,又 ,M N 为 1 C 与 2 C 不在 y 轴上的两个交点, 若 QMN 的重心在抛物线 1 C 上,求 1 C 和 2 C 的方程 . 解:(1)因为抛物线 1 C 经过椭圆 2 C 的两个焦点 12 (,0),( ,0)FcFc ,
22、所以 22 0cbb ,即 22 cb ,由 2222 2abcc 得椭圆 2 C 的 离心率 2 2 e . (2)由( 1)可知 22 2ab ,椭圆 2 C 的方程为: 22 22 1 2 xy bb 联立抛物线 1C 的方程 22 xbyb 得: 22 20ybyb , 解得: 2 b y 或 yb (舍去),所以 6 2 xb , 即 66 (,),(,) 2222 bb MbNb ,所以 QMN 的重心坐标为 (1,0) . 因为重心在 1 C 上,所以 22 10bb ,得 1b . 所以 2 2a . 所以抛物线 1C 的方程为: 2 1xy , 椭圆 2C 的方程为: 2 2
23、 1 2 x y . 8.(辽宁卷理20)设椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F,过点 F的直线与椭圆C 相交于 A,B两点,直线l 的倾斜角为60o,2AFFB. (I) 求椭圆 C的离心率; N x Q M O y N x Q M O y (II)如果 |AB|= 15 4 ,求椭圆 C的方程 . 解析: 9. (辽宁卷文20)设 1 F , 2 F 分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab 的左右焦点,过 2 F 的 直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线 l的倾斜角为60 , 1 F 到直线l的距离为 2 3 。 ()求椭圆 C的焦距; ()如
24、果 22 2AFF B , 求椭圆 C的方程。 解:()设焦距为 2c,由已知可得 1 F 到直线 l 的距离 32 3,2.cc故 所以椭圆 C 的焦距为4. ()设 112212 (,),(,),0,0,A x yB xyyy由题意知 直线 l 的方程为 3(2).yx 联立 22224 22 22 3(2), (3)4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 122222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 因为 2212 2,2.AFF Byy所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22
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