江苏省苏州市中考数学指导复习例析坐标系中三角形周长最小值问题练习.pdf
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1、1 畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考,改变命运。凌风破浪击长空,擎天揽日跃龙门 例析坐标系中三角形周长最小值问题 在近几年的各地中考中,与线段相关的最值问题频频出现,已然成为一道亮丽的风景线. 而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题,更是中考命题所关注的热点 之一本文以近几年中考题为例,归纳其类型与解法,供参考. 1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点 例 1 (2015年河南省, 有改动 ) 如图 1, 边长为 8 的正方形OABC的两边在坐标轴上, 以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上点A、C间的一个动点 ( 含端点 ),过点 P作PFBC于点F. 点D、E
2、的坐标分别为 (0,6),(-4,0),连接,PD PE DE. 是否存 在点P,使PDE的周长最小 ?若存在,求出点P的坐标 ; 若不存在,请说明理由. 分 析存 在 .理 由 :易 求 抛 物 线 的 解 析式 为 21 8 8 yx.设 2 1 (,8) 8 P mm( 80)m, 则 2 22222 1111 8(8),()6(8)2 8888 PFmmPDmmm ,故 2PDP F, PDE的周长 =2DEEPPDDEEPPF. 如图2,过E点作EGBC于点G. 当,E P F三点共线,即点P为EG与抛物线的 交点时,EPPF的值最小,此时 2 1 4,( 4)86 8 PEP xx
3、y,所以PDE周 长最小时点P的坐标为 (-4,6). 点评本例三角形的三个顶点中,点P为动点,点,D E均为定点 . 由于DE的长为定 值,欲使PDE的周长最小,只需满足PDPE的值最小即可. 进而利用“点P运动的过 程中,PD与PF的差为定值” 这一有力武器, 将问题转化为“求定直线BC上一动点F与 直线外一定点E的距离的最小值” , 最终借助 “连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短”确定点P的位置 . 例 2 (2012年山西省, 有改动 )如图 3,在平面直角坐标系中,抛物线 2 23yxx 与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. 请在直线AC上找
4、一 点M,使BDM的周长最小,求出M点的坐标 . 2 分析易知( 1,0),(3,0),(0,3),(1,4)ABCD,故 22 4,10ABACOAOC, 直线AC的解析式为33yx. 如图4,作点B关于直线AC的对称点B,连接B D, 交AC于点M,则BDM即 为符合题意的周长最小的三角形.( 证明如下 : 不妨在直线AC上取异于点M的任一点M, 连接,B MDMBM. 由对称性可知:,BMB M BMB M,于是BDM的周长 =B M,DMBDBDM的 周 长 =B MDMBD. 而 在B D M中 , B MD MB,即BMDMBMDM,所以BDM的周长大于BDM的 周长 .) 若BB
5、交AC于点E,则 90,22cos2cosABECAOACO BBBEABABEABACO 312 241010 105 . 过B点作B Fx轴于点F,则 3621 33c os3 55 B xBFBBABE, 3112 sinsin1010 10105 B yB FBBABEBBACO, 故 2 11 2 (,) 55 B, 易求直线B D的解析式为 448 1313 yx. 联立解方程组 448 1313 33 yx yx ,得 9 35 132 35 x y ,所以M点的坐标为 9132 (,) 3535 . 点评本例三角形的三个顶点中,点M为动点, 点B、D均为定点, 且均位于动点M
6、所在直线AC的同一侧 . 通过寻找定点B关于动点M所在直线AC的对称点B , 将问题 转化为“求定直线AC上一动点M与直线异侧两定点B,B的距离和的最小值” ,从而可利 用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决( 当B、M、D三点共线,即点M为直 线B D与直线AC的交点时,DMBM的值最小,此时BDM的周长最小 ). 2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点 3 例 3 (2013年湖南张家界,有改动) 如图5,抛物线 2 (0)yaxbxc a过点 (0,1)C,顶点为(2,3)Q,点D在x轴正半轴上,且ODOC. 将直线CD绕点C逆时针 方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E,若点P
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