沪科版2018-2019年九年级数学上册冲刺复习资料二次函数压轴题面积类含答案.pdf
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1、冲刺复习资料 :二次函数压轴题面积类 【例 1】 如图 1,已知抛物线经过点A(1,0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点 (1)求抛物线的解析式 (2)点 M 是线段 BC 上的点(不与B,C 重合) ,过 M 作 MNy 轴交抛物 线于 N,若点 M 的横坐标为m,请用 m 的代数式表示MN 的长 (3)在( 2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使 BNC 的面积最大?若存在,求m 的值; 若不存在,说明理由 【考点:二次函数综合题专题:压轴题;数形结合】 【巩固 1】 如图 2,抛物线02 2 3 2 axaxy的图象与x 轴交于 A、B 两点, 与 y 轴交于 C 点, 已知
2、B 点坐标为( 4,0) (1)求抛物线的解析式; (2)试探究 ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求MBC 的面积的最大值,并求出此时M 点的坐标 【考点:二次函数综合题专题:压轴题;转化思想】 图 1 图 2 平行四边形类 【例 2】 如图 3,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n 经过点 A(3,0) 、 B(0, 3) ,点 P 是 直线 AB 上的动点,过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M,设点 P 的横坐标为t (1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式 (2)若点 P 在第四象限,连接AM、BM,当线段 P
3、M 最长时,求ABM 的面积 (3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接 写出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 等腰三角形类 【例 3】 如图,点A 在 x 轴上, OA=4,将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120 至 OB 的位置 (1)求点 B 的坐标; (2)求经过点A、O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若 存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由【考点:二次函数综合题专题:压轴题;分类讨论】 【巩固 3】 在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板
4、ABC 放在第 二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2) ,点 C( 1,0) ,如图所示:抛物线y=ax2+ax2 经过 点 B (1) 求点 B 的坐标; (2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P (点 B 除外) ,使 ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由 图 3 规律探索类 【例 4】如图,已知点A 1、A2 、A 3、A4 、A n 在 x 轴的正半轴上,且横坐标依次为连续的正整数, 过点 A 1、A2 、A 3、A4、An 分别作 x 轴的垂线,交抛物线y=x 2 +x 于点 B1、B 2 、B3、B 4
5、、Bn, 交过点B1的直线y=2x 于点 C2、C 3、C4、Cn。若 B1C2B2、 B2C3B3、 B3C4B4、 B n C 1n B 1n 的面积分别为S1、S 2 、S3、Sn。 求 S2S1与 S3S2的值;猜想 SnS 1n 与 n 的数量关系,并说明理由; 若将抛物线“ y=x 2 +x” 改为 “ y=x 2 +bx+c” , 直线 “ y=2x” 改为“ y=(b+1)x+c” ,其它条件不变,请猜想Sn Sn-1与 n 的数量关系(直接写出答案)。 综合类 【例 5】 如图,已知抛物线y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为B(5,0) ,另一个交点为A,且与 y
6、 轴交于点C(0,5) (1)求直线BC 与抛物线的解析式; (2)若点 M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN y轴交直线BC 于点 N,求 MN 的最 大值; C C C B B B B y x AAAA O (3)在( 2)的条件下, MN 取得最大值时,若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点,以BC 为 边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ 的面积为S1, ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2,求点 P 的坐标 【考点:二次函数综合题专题:压轴题】 【巩固 6】 如图,抛物线y=ax 2+bx+c(a0 )的图象过点 C(0,1) ,顶点为 Q(2,
7、3) ,点 D 在 x 轴 正半轴上,且OD=OC (1)求直线CD 的解析式;( 2)求抛物线的解析式; (3) 将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45 所得直线与抛物线相交于另一点E, 求证: CEQ CDO; (4)在( 3)的条件下,若点P 是线段 QE 上的动点,点F 是线段 OD 上的动点,问:在P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由 冲刺复习资料 :二次函数压轴题【参考答案】 【例题 1】考点:二次函数综合题专题:压轴题;数形结合 分析: (1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析
8、式 (2)先利用待定系数法求出直线BC 的解析式,已知点M 的横坐标,代入直线BC、抛物线的 解析式中,可得到M、N 点的坐标, N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长 (3)设 MN 交 x 轴于 D,那么 BNC 的面积可表示为:SBNC=SMNC+SMNB=MN(OD+DB) =MN? OB, MN 的表达式在( 2)中已求得, OB 的长易知,由此列出关于SBNC、m 的函数关系式, 根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值 解答: (1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1) (x3) ,则: a( 0+1) (03)=3,a=1; 抛物线的解析式:y=( x+1) (x3)=
9、 x2+2x+3 (2)设直线BC 的解析式为: y=kx+b,则有:,解得;故直线BC 的解析式: y= x+3 已知点 M 的横坐标为m,MNy,则 M(m, m+3) 、N(m, m 2+2m+3) ; 故 MN=m2+2m+3( m+3)=m2+3m( 0m3) (3)如图 2; SBNC=SMNC+SMNB=MN( OD+DB)=MN? OB, SBNC=( m2+3m)?3=( m) 2+ (0m3) ; 当 m=时, BNC 的面积最大,最大值为 【巩固 1】 【考点:二次函数综合题专题:压轴题;转化思想】 分析: (1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B 点坐标代入解析式中
10、即可 (2)首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标,然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出直径AB 和圆 心的位置,由此确定圆心坐标 (3) MBC 的面积可由SMBC=BC h 表示, 若要它的面积最大,需要使 h 取最大值, 即点 M 到直线 BC 的距离最大,若设一条平行于BC 的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是 点 M 解答: (1)将 B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:抛物线的解析式为:y=x 2x2 (2)由( 1)的函数解析式可求得:A( 1,0) 、C(0, 2) ; OA=1, OC=2,OB=4, 即: OC 2=OA? OB,又: OCAB,
11、OAC OCB,得: OCA=OBC; ACB=OCA+OCB= OBC+OCB=90 , ABC 为直角三角形,AB 为 ABC 外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB 的中点,且坐标为: (, 0) (3)已求得: B(4,0) 、C(0, 2) ,可得直线BC 的解析式为:y=x2; 设直线 lBC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l 与抛物线只有一个交点时,可列方程: x+b=x 2 x2,即: x2 2x2 b=0,且 =0;44 ( 2b)=0,即 b= 4;直线 l:y=x4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有:,解得:即 M(2, 3) 过 M 点作
12、MNx 轴于 N, SBMC=S梯形 OCMN+SMNB SOCB= 2 (2+3)+ 2 3 2 4=4 【例 2】考点:二次函数综合题;解一元二次方程因式分解法;待定系数法求一次函数解析式;待 定系数法求二次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定. 专题:压轴题;存在型 分析: (1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:把A(3, 0)B(0, 3)分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b,得到关于m、n 的两个方程组,解方程组即可; (2)设点 P 的坐标是( t,t3) ,则 M(t, t22t3) ,用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标得到PM 的长,即PM=(t3)( t22
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