线性代数测试试卷及答案.pdf
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1、线性代数( A 卷) 一选择题 ( 每小题 3 分, 共 15 分) 1. 设 A B是任意n阶方阵 , 那么下列等式必成立的是( ) (A) ABBA (B) 222 ()ABA B (C) 222 ()2ABAABB (D)ABBA 2. 如果n元齐次线性方程组0AX有基础解系并且基础解系含有()s sn个解向量 , 那 么矩阵 A的秩为 ( ) (A) n (B) s (C) ns (D) 以上答案都不正确 3. 如果三阶方阵 3 3 () ij Aa的特征值为1,2,5, 那么 112233 aaa及 A 分别等于 ( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10,8 (D
2、) 10,8 4. 设实二次型 1 1212 2 22 (,)(,) 41 x f x xx x x 的矩阵为 A, 那么( ) (A) 23 31 A (B) 22 41 A (C) 21 21 A (D) 10 01 A 5. 若方阵 A的行列式0A,则( ) (A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关 (C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关 二填空题 ( 每小题 3 分, 共 30分) 1 如果行列式 D 有两列的元对应成比例 , 那么该行列式等于; 2. 设 100 210 341
3、A, * A 是 A的伴随矩阵,则 *1 ()A; 3. 设,是 非 齐 次 线 性 方 程 组 AXb 的 解 , 若也 是 它 的 解 , 那 么 ; 4. 设向量(1, 1,1) T 与向量(2,5, ) T t正交, 则 t; 5. 设 A为正交矩阵 , 则 A; 6. 设, ,a b c是互不相同的三个数 , 则行列式 222 111 abc abc ; 7. 要使向量组 123 (1, ,1) ,(1,2,3) ,(1,0,1) TTT 线性相关,则; 8. 三阶可逆矩阵 A的特征值分别为1, 2, 3, 那么 1 A 的特征值分别为; 9. 若二次型 222 1231231213
4、23 (,)52- 24f x xxxxxt x xx xx x是正定的,则 t的取值范围 为; 10. 设 A 为n阶 方 阵 , 且 满 足 2 240AAI, 这 里 I 为n阶 单 位 矩 阵 , 那 么 1 A . 三计算题(每小题9 分,共 27 分) 1. 已知 210 121 012 A, 1 0 0 1 0 0 B,求矩阵 X 使之满足 AXXB. 2. 求行列式 1234 2341 3412 4123 的值. 3 求向量组 1234 (1,0,1,0),( 2,1,3, 7),(3, 1,0,3,),(4, 3,1, 3,)的一个最大无 关组和秩 . 四(10 分)设有齐次
5、线性方程组 123 123 123 (1)0, (1)0, (1)0. xxx xxx xxx 问当取何值时 , 上述方程组 (1) 有唯一的零解 (2) 有无穷多个解 , 并求出这些解 . 五(12 分)求一个正交变换 XPY , 把下列二次型化成标准形 : 222 123123121323 (,)444fx xxxxxx xx xx x. 六(6 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1 2 3 :230, :230, :230. laxbyc lbxcya lcxayb 试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为0abc. 线性代数( A卷)答案 一 1. D 2. C 3. B 4.
6、 A 5. A 二 1. 0 2. *1 ()AA 3. 1 4. 3 5. 1或 -1 6. ()()()cacbba 7. 0 8. 11 1, 23 9. 4 0 5 t 10. 11 42 AI 三 1. 解 由AXXB得 1 ()XAIB. (2分) 下面求 1 ()AI. 由于 110 111 011 AI (4分) 而 1 ()AI 011 111 110 . (7分) 所以 1 0111 001 ()1110 111 1100 011 XAIB. (9分) 2. 解 1234 2341 3412 4123 10234 10341 10412 10123 1234 1341 10
7、 1412 1123 (4分) 1234 0113 10 0044 0004 (8分) 160 (9 分) . 3. 解 由于 31 12341234 01130113 13010533 07330733 rr uuu uu r 32 42 1234 50113 002127 00424 rr rr uuu uu uu r 43 1234 0113 2 00212 0000 rr u uuu uu u r (6 分) 故向量组的秩是 3 , 123 ,是它的一个最大无关组。(9 分) 四解方程组的系数行列式 111 111 111 A 2 (1)(2) (2分) 当 2 (1)(2)0A, 即
8、 1且2时, 方程组有唯一的零解 ; (4分) 当1时, 2 (1)(2)0A, 方程组的系数矩阵为 121 211 112 A, 它有一个二阶子式 12 30 21 , 因此秩 (A)2n( 这里3n), 故方程组有无穷多个解. 对A施 行初等行变换 , 可得到方程组的一般解为 13 23 33 , , , xx xx xx 其中 3 x 可取任意数 ; (7分) 当2时, 2 (1)(2)0A, 方程组的系数矩阵为 11 1 11 1 11 1 A, 显然 , 秩 (A)1n( 这里3n), 所以方程组也有无穷多个解.对A施行初等行变换 可得方程组的一般解为 123 22 33 , , ,
9、 xxx xx xx 其中 23 ,xx 可取任意数 . (10分) 五解 二次型的矩阵为 122 212 221 A, (2分) 因为特征多项式为 2 122 212 (1) (5) 221 IA, 所以特征值是1( 二重 ) 和5. (4分) 把特征值1代入齐次线性方程组()0IA X得 123 123 123 2220, 2220, 2220, xxx xxx xxx 解此方程组可得矩阵A的对应于特征值1的特征向量为 12 (1,0, 1) ,(0,1, 1) TT . 利用施密特正交化方法将 12 ,正交化 : 11 (1,0, 1) T , 2 11 (,1,) 22 T , 再将
10、12 ,单位化得 1 22 (,0,) 22 T , 2 666 (,) 636 T , (8分) 把特征值5代入齐次线性方程组()0IA X得 123 123 123 4220, 2420, 2240, xxx xxx xxx 解此方程组可得矩阵A的对应于特征值5的特征向量为 3 (1,1,1) T . 再将 3单位化得 3 333 (,) 333 T . (10分) 令 123 263 263 63 (,)0 33 263 263 P 则P是一个正交矩阵, 且满足 1 100 010 005 T PAPP AP. 所以 , 正交变换XPY为所求 ,它把二次型化成标准形 222 123123
11、 (,)5f x xxyyy. (12分) 六证明 : 必要性 由 123 ,l ll交于一点得方程组 230 230 230 axbyc bxcya cxayb 有解 , 可知 231 ( )()230() 10 231 abcbc R AR Abcaabcca cabab (2分) 由于 2221 2 1 1()()() 0 1 bc cabacbac ab , 所以0abc (3分) 充分性:0()abcbac 22222 2 2()2() () 0 2 231 2366() 10 231 ab acbacacacac bc abcabcbc bcabcaabcca cabcabab 又
12、因为 ( )()2R AR A, (5分) 因此方程组 230 230 230 axbyc bxcya cxayb 有唯一解,即 123 ,l ll交于一点 . (6分) 线性代数习题和答案 第一部分选择题 ( 共 28 分) 一、单项选择题(本大题共14 小题,每小题2 分,共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1. 设行列式 aa aa 1112 2122 =m , aa aa 1311 2321 =n,则行列式 aaa aaa 111213 212223 等于() A. m+n B. - (m+n) C. n-
13、m D. m- n 2. 设矩阵 A= 100 020 003 ,则 A - 1 等于() A. 1 3 00 0 1 2 0 001 B. 100 0 1 2 0 00 1 3 C. 1 3 00 010 00 1 2 D. 1 2 00 0 1 3 0 001 3. 设矩阵 A= 312 101 214 , A *是 A的伴随矩阵,则 A * 中位于( 1, 2)的元素是() A. 6 B. 6 C. 2 D. 2 4. 设 A是方阵,如有矩阵关系式AB =AC ,则必有() A. A = 0B. BC时 A=0 C. A0 时 B=CD. | A|0 时 B=C 5. 已知 34 矩阵
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