考研数学真题归纳线性代数.pdf
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1、专题一:行列式 1、利用行列式的性质计算 例、 设 123 , 均为 3 维列向量 ,记矩阵 123 (,)A , 123123123 (,24,39)B , 如果1A,那么B. 例、 已知: 100 010 001 001 a a A a a , 1 1 0 0 b (1)计算行列式|A; (2)已知线性方程组Axb有无穷多解,求a,并求Axb的通解。 例、 设矩阵 2 2 21 2 1 2 n n a aa aa A,现矩阵A满足方程AXB, 其中 1, , T n xxX,1,0,0B, (1)求证1 n naA. (2)a为何值 ,方程组有唯一解,求 1 x. (3)a为何值 ,方程组
2、有无穷多解,求通解 . 2、利用矩阵的性质计算 例、 设矩阵 21 12 A,E为 2 阶单位矩阵 ,矩阵B满足2BABE,则B= . 例、设矩阵 210 120 001 A,矩阵B满足 * 2ABABAE,其中 * A为A的伴随矩阵 ,E是 单位矩阵 ,则B=_ . 专题二:矩阵 1、逆矩阵 例、 设 2 4AAEO,则 1 (2 )AE= _. 例、 设A为n阶非零矩阵 ,E为n阶单位矩阵 . 若 3 0A,则 (A)EA不可逆 ,EA不可逆(B)EA不可逆 ,EA可逆 (C)EA可逆 ,EA可逆(D)EA可逆 ,EA不可逆 例、 设矩阵A的伴随矩阵 * 1000 0100 , 1010
3、0308 A 且 11 3ABABAE,其中E为 4 阶单 位矩阵 ,求矩阵 B. 例、 设,A B均为2 阶矩阵 , * ,AB分别为,A B的伴随矩阵 ,若2,3AB,则分块矩阵 OA BO 的伴随矩阵为 (A) * * 3 2 OB AO (B) * * 2 3 OB AO (C) * * 3 2 OA BO (D) * * 2 3 OA BO 2、初等矩阵 例、 设A是 3 阶方阵 ,将A的第 1 列与第 2 列交换得B,再把B的第 2 列加到第3 列得C,则 满足AQC的可逆矩阵Q为 (A) 101 001 010 (B) 100 101 010 (C) 110 001 010 (D
4、) 100 001 110 例、 设 A 为 3 阶矩阵,把A 的第二列加到第一列得到矩阵B ,再交换B 的第二行与第3 行得到单位阵E,记 100 011 001 1 P, 010 100 001 2 P,则 A= () A 21P PB 2 1 1PPC 12PPD 1 21 P P 例、 设A为 3 阶矩阵 ,将A的第 2 行加到第 1 行得B,再将B的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得C, 记 110 010 001 P,则 (A) 1 CP AP(B) 1 CPAP (C) T CP AP(D) T CPAP 例、 设A为 3 阶矩阵,P为 3 阶可逆矩阵,且 1 1 1 2 P
5、AP , 123 ,P, 1223 ,Q则 1 QAQ() (A) 1 2 1 ( B) 1 1 2 (C) 2 1 2 ( D) 2 2 1 例、 设A为(2)n n阶可逆矩阵 ,交换A的第 1 行与第2 行得矩阵 * .,B AB分别为,A B的 伴随矩阵 ,则 (A) 交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(B)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B (C)交换 * A的第 1 列与第 2 列得 * B(D)交换 * A的第 1 行与第 2 行得 * B 3、矩阵的秩 例、 TT A, T 为的转置 , T 为的转置 .证明 : (1)()2r A. (2)若,线性相关
6、,则()2r A. 例、 设 X 为三维单位向量,E 为三阶单位矩阵,则矩阵 T xxE的秩为 _。 例、 设矩阵 0100 0010 0001 0000 A,则 3 A的秩为 _. 例、 设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵 ,若,ABE则 (A) 秩(),mA秩( )mB(B)秩(),mA秩()nB (C)秩(),nA秩()mB(D)秩(),nA秩()nB 专题三:线性方程组 1、解的判定定理 例、 已知方程组 1 2 3 1211 2323 120 x ax ax 无解 ,则a= _. 例、 设有齐次线性方程组 12 12 12 (1)0, 2(2)20, (2), ()0, n n n a
7、 xxx xa xx n nxnxna x 试问a取何值时 ,该方程组有非零解,并求出其通解 . 例、已知四阶方阵 1234 (,)A , 1234 , 均为四维列向量,其中 234 , 线性无 关, 123 2.若 1234 ,求线性方程组 xA的通解 . 例、 已知3 阶矩阵 A的第一行是cbacba,),( 不全为零 ,矩阵 123 246 36k B(k为常数 ), 且ABO,求线性方程组0xA的通解 . 2、基础解系 例、 设有齐次线性方程组0xA和0xB,其中,A B均为nm矩阵 ,现有 4 个命题 : 若0xA的解均是0xB的解 ,则秩()A秩()B 若秩()A秩()B,则0xA
8、的解均是0xB的解 若0xA与0xB同解 ,则秩()A秩()B 若秩()A秩()B, 则0xA与0xB同解 以上命题中正确的是 (A) (B) (C)(D) 例、 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 4351 31 xxxx xxxx axxxbx 有 3 个线性无关的解, (1)证明方程组系数矩阵A的秩2r A. (2)求,a b的值及方程组的通解. 例、 设 11 010 ,1 , 111 a Ab已知线性方程组Axb存在两个不同的解. (1)求, . a (2)求方程组Axb的通解 . 例、 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 , 40 xxx xxa
9、x xxa x 与方程 123 21,xxxa 有公共解 ,求a的值及所有公共解. 例、 设 12 , s 为线性方程组AXO的一个基础解系, 1112221223121 , ss tttttt , 其中 21,t t为实常数 ,试问 21,t t满足什么条件时 12 , s 也为AXO的一个基础解系? 例、 设)( 4321 A是 4 阶矩阵, * A为 A 的伴随矩阵。若 T )0, 1 , 0, 1(是0Ax的一 个基础解系,则0 * xA的基础解系可为() A 31 B 21 C 321 D 432 3、应用(数学一数学二) 例、 已知平面上三条不同直线的方程分别为 : 1 l032c
10、byax, : 2 l032acybx, : 3 l032baycx. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba 例、设有三张不同平面,其方程为 iiii dzcybxa(3, 2, 1i)它们所组成的线性方程组的 系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 专题四:向量 1、线性表示 例 、 设 123 , 是3维 向 量 空 间 3 R的 一 组 基 , 则 由 基 123 11 , 23 到 基 12233 , 的过渡矩阵为 (A) 101 220 033 (B) 120 023 103 (C) 111 246 111 246 111 246 (D) 111 22
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