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1、1 几何图形探究题 1(1)问题发现 如图,在 RtABC 中,BAC90 ,AB 2,AC4,点 D 为 BC 的中 点,过点 D 作射线 DEDF, 分别交 AB, AC 于点 E,F, 当 DEAB,DFAC 时, DE DF _; (2)类比探究 若EDF 绕着点 D 旋转到图的位置,(1)中其他条件不变, DE DF _; 若改变点 D 的位置,当 CD BD a b时,求 DE DF 的值,请就图的情形写出解答过程; 图图 第 1 题图 (3)问题解决 如图, AB2,AC4,连接 EF,当 CD_时,DEF 为等腰直角三 角形;当 CD_时,DEF 与ABC 相似 图 第 1 题
2、图 解:(1)2; 【解法提示】 DEAB,DFAC,BAC90 ,DFAE,DEAC, 2 BEDBAC,CDFCBA, DE AC BD BC, DF AB CD BC,点 D 为 BC 的中点, AB2,AC4, DE 4 1 2, DF 2 1 2,DE2,DF1, DE DF 2. (2)2; 【解法提示】如解图,过点D 作 DMAB 于点 M,作 DNAC 于点 N, ADMADNA90 , MDN90 ,MDEEDNNDF EDN, MDENDF,又 DMEDNF, DEMDFN, DE DF DM DN ,由(1)可得 DM DN 2, DE DF2. 第 1 题解图 如解图,
3、过点D 作 DGAB 于点 G,作 DHAC 于点 H, GDH90 , EDGGDFFDHGDF90 , EDGFDH, 又 DGEDHF90 , 第 1 题解图 DGEDHF, DE DF DG DH , BAC90 , 3 DGAC,DHAB, BDGBCA,CDHCBA, DG AC BD BC, CD BC DH AB, CD BD a b, BD BC BD BDCD b ab, CD BC CD BDCD a ab, DG 4 b ab, DH 2 a ab, DE DF DG DH 2b a ; (3)4 5 3 ;8 5 5 或5. 【解法提示】 EDF90 ,当 DEF 为
4、等腰直角三角形时,DEDF, 由(2)中的结论可知, DE DF 2b a 1,a2b,BC3b,在 RtABC 中,AB 2,AC4,由勾股定理得 BC22422 5,CD2 3BC 4 5 3 .EDF A90 , DEF 与ABC 相似有两种情况:当DEFABC 时, DE AB DF AC ,即 DE DF AB AC 1 2 , 2b a 1 2 , a4b,CD 4 5 BC 8 5 5 ;当 DEFACB 时, DE AC DF AB,即 DE DF AC AB2, 2b a 2,ab,CD1 2BC 5.综上所述,当 CD8 5 5 或5时,DEF 与ABC 相似 2在数学兴趣
5、小组活动中,小亮进行数学探究活动ABC 是边长为 2 的 等边三角形,E是 AC上一点, 小亮以 BE为边向 BE的右侧作等边三角形BEF, 连接 CF. (1)如图,当点 E 在线段 AC 上时,EF、BC 相交于点 D,小亮发现有两个 三角形全等,请你找出来,并证明; (2)当点 E 在线段 AC 上运动时,点 F 也随着运动,若四边形ABFC 的面积 4 为7 3 4 ,求 AE 的长; (3)如图,当点 E 在 AC 的延长线上运动时,CF、BE 相交于点 D,请你 探求ECD 的面积 S1与DBF 的面积 S2之间的数量关系,并说明理由; (4)如图,当 ECD 的面积 S1 3 6
6、 时,求 AE 的长 图图 第 2 题图 解:(1)ABECBF.理由如下: ABC与EBF 都是等边三角形, ABCB,BEBF,ABCEBF60 , CBFABE60 CBE, ABECBF(SAS); (2)由(1)知点 E 在运动过程中始终有 ABECBF. S四边形BECFSBCFSBCE, S四边形BECFSABC, ABC是边长为 2 的等边三角形, SABC 3 4 2 2 3, S四边形BECF3, 又S四边形ABFC7 3 4 , 5 SABES四边形ABFCS四边形BECF3 3 4 , 在ABE中, A60 ,AB 边上的高为 AE sin60 , 则 S ABE1 2
7、AB AE sin60 1 2 2 3 2 AE 3 3 4 ,AE 3 2; (3)S2S1 3. 理由如下:ABC 与EBF 都是等边三角形,ABCB, BEBF, ABC EBF60 , CBFABE60 CBE, ABECBF, SABESCBF,SFDBSECDSABC, SFDBSECDSABC 3,即 S2S13; (4)由(3)知 S2S13,即 SFDBSECD3, 由 SECD 3 6 得 SBDF7 3 6 , ABECBF, AECF,BAEBCF60 , 又 BAE ABC60 ,得ABCBCF, CFAB,则在 BDF 中,DF 边上的高是 AC sin60 3,
8、1 2DF 3 7 3 6 ,解得 DF7 3,设 CEx,则 2xCDDFCD 7 3, CDx1 3, 在ABE中,由 CDAB 得, CD AB CE AE,即 x 1 3 2 x x2, 6 化简得 3x2x20,x1 或 x 2 3(舍), 即 CE1,AE3. 3 如图, 在菱形 ABCD 中, ABC60 , 若点 E在 AB的延长线上,EFAD, EFBE,点 P 是 DE 的中点,连接 FP 并延长交 AD 于点 G,连接 FB. (1)过 D 点作 DHAB, 垂足为点 H, 若 DH2 3, BE 1 4AB, 求 DG 的长; (2)连接 CP,求证: CPFP; (3
9、)如图,若点 E 在 CB 的延长线上运动, 点 F 在 AB 的延长线上运动, 且 BEBF,连接 DE,点 P 为 DE 的中点,连接 FP,CP,那么第 (2)问的结论成 立吗?若成立,求出 PF CP的值;若不成立,请说明理由 图图 第 3 题图 (1)解:四边形 ABCD 为菱形, ABC60 , DABC,CDCB,CDGCBA60 , DAHABC60 , DHAB, DHA90 , 在 RtADH 中,sinDAH DH AD , 7 AD DH sinDAH 2 3 3 2 4, 又ABAD, BE1 4AB 1 4 41, EFAD, PDGPEF, P 为 DE 的中点,
10、 PDPE, 又 DPGEPF, PDGPEF(ASA) , DGEF, 又EFBE, DGEF1; (2)证明:如解图,连接CG,CF, 第 3 题解图 由(1)知PDGPEF, PGPF, EFAD,ADBC, 8 EFBC, FEBCBA60 , EFBE, BEF 为等边三角形, BFEFBE,EBF60 , DGEF,ABC60 , BFDG,CBF ABCCDG60 , 在CDG 与CBF 中, CDCB CDGCBF DGBF , CDGCBF(SAS), CGCF, PGPF, CPFP; (3)解:CPFP 仍成立 如解图,过 D 作 EF 的平行线,交 FP 的延长线于点
11、G,连接 CG,CF, 第 3 题解图 易证PEF PDG, 9 DGEFBF, DGEF, GDPFEP, DABC, ADPPEC, GDPADP FEPPEC, GDABEF60 , CDGADCGDA120 , CBF180 ABC120 , 在CDG 和CBF 中, CDCB CDGCBF, DGBF CDGCBF(SAS), CGCF,DCGFCB, PGPF, CPPF,GCPFCP, DCB180 ABC120 , DCGGCE120 , FCEGCE120 , 即GCF120 , 10 FCP1 2GCF60 , 在 RtCPF 中,tanFCPtan60PF CP 3. P
12、F CP 3. 4 已知点 O 是ABC 内任意一点,连接 OA 并延长到点 E, 使得 AEOA, 以 OB,OC 为邻边作 ? OBFC,连接 OF,与 BC 交于点 H,再连接 EF. (1)如图,若 ABC 为等边三角形,求证:EFBC;EF3BC; (2)如图,若 ABC 为等腰直角三角形 (BC 为斜边 ),猜想(1)中的两个结论 是否成立?若成立,直接写出结论即可;若不成立,请说明理由; (3)如图,若 ABC 是等腰三角形,且ABACkBC,求 EF 与 BC 之间 的数量关系 图图图 第 4 题图 (1)证明:如解图,连接AH, 11 第 4 题解图 四边形 OBFC 是平行
13、四边形, BHHC1 2BC,OHHF, ABC是等边三角形, ABBC,AHBC, 又OAAE,OHHF, AH 是OEF 的中位线, AH1 2EF,AHEF, EFBC; 由得 AHBC,AH 1 2EF, 在 RtABH 中,AH2AB2BH2, AHBC2( 1 2BC) 2 3 2 BC, 3 2 BC1 2EF, EF3BC; (2)解:EFBC 仍然成立, EFBC; 【解法提示】如解图,连接AH, 12 第 4 题解图 四边形 OBFC 是平行四边形, BHHC1 2BC,OHHF, 又 ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形, AHBC,AHBH1 2BC, 又OAAE
14、,OHHF, AH 是OEF 的中位线, AH1 2EF,AHEF, EFBC,EF2AHBC, (1)中的结论 EFBC 仍成立,但结论不成立,EF 与 BC 的关系应为 EFBC; (3)解:如解图,连接AH, 第 4 题解图 四边形 OBFC 是平行四边形, BHHC1 2BC,OHHF, 又 ABC 是等腰三角形, ABkBC, 13 AHBC, 在 RtABH 中, AH2AB2BH2(kBC)2(1 2BC) 2(k21 4)BC 2, AH 4k 21 2 BC, 又OAAE,OHHF, AH 是OEF 的中位线, AH1 2EF, 4k 21 2 BC1 2EF, EF4k21
15、 BC. 5如图,在 ABC 中, ABC45 ,AHBC 于点 H,点 D 在 AH 上, 且 DHCH,连接 BD. (1)求证: BDAC; (2)将BHD 绕点 H 旋转,得到 EHF(点 B,D 分别与点 E,F 对应),连接 AE. 如图,当点F 落在 AC 上(F 不与 C 重合)时,若 BC4,tanC3,求 AE 的长; 如图, EHF 是由 BHD 绕点 H 逆时针旋转 30 得到的,设射线CF 与 AE 相交于点 G,连接 GH.试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系,并 说明理由 14 图图图 第 5 题图 (1)证明: ABC45 ,AHBC, ABH 是等腰
16、直角三角形, BHAH, 在BHD 和AHC 中, BHAH BHDAHC DHCH , BHDAHC(SAS), BDAC; (2)解:如解图,过点H 作 HMAE 交 AE 于点 M, 第 5 题解图 在 RtAHC 中,tanC3, AH HC3, BHAH3CH, 又BC4, BCBHHC4CH4, 15 CH1,BH3, 由旋转的性质可以得到, HEBH3,HFDHHC1,EHFAHBAHC90 , EHAFHC, EAHCAEH, AMEM, tanEAHtanC3, 设 AMx, 则 HMAM tanEAH3x, 在 RtAHM 中,由 AH2AM2HM 2,得 32x2(3x)
17、2, x3 10 10 , AE2AM2x 3 10 5 ; EF2GH. 理由:设 AH 交 CG 于点 N,如解图, 由旋转的性质可得, HEHBHA,HFHDHC, 旋转角度为 30 , FHDBHE30 ,EHAFHC120 , 16 第 5 题解图 FCHGAH30 , 又 ANGHNC, ANGCNH, AGNCHN90 , GN AN HN CN, 又 GNHANC, GNHANC, GH AC GN AN 1 2, 由(1)可知, BHD AHC. EHFAHC, EFAC, EF GH AC GH2, EF2GH. 6我们定义:如图,在 ABC 中,把 AB 绕点 A 顺时针
18、旋转 (0 180 )得到 AB , 把 AC 绕点 A 逆时针旋转 得到 AC , 连接 B C.当 180 时,我们称 AB C 是ABC 的“ 旋补三角形 ” ,AB C 边 BC 上的中线 AD 叫 做ABC 的“ 旋补中线 ” ,点 A 叫做“ 旋补中心 ” 特例感知 (1)在图,图中, ABC是ABC 的“ 旋补三角形 ” ,AD 是ABC 的“ 旋 补中线 ” 17 如图,当ABC为等边三角形时,AD 与 BC的数量关系为 AD_BC; 如图,当 BAC90 ,BC8 时,则 AD 长为 _; 猜想论证 (2)在图中,当ABC 为任意三角形时, 猜想 AD 与 BC 的数量关系,
19、 并给 予证明; 拓展应用 (3)如图,在四边形 ABCD 中, C90 , D150 , BC12, CD2 3, DA6.在四边形内部是否存在点P,使PDC 是PAB 的“ 旋补三角形 ” ?若 存在,给予证明,并求 PAB 的“ 旋补中线 ” 长;若不存在,说明理由 图图 图图 第 6 题图 18 解:(1) 1 2; 4; 【解法提示】由旋转可得到ABAB ACAC , BAC60 , BAC 120 , ABC30 ,又 AD 为 B C 上的中线, ADB C , AD 1 2AB 1 2AB 1 2BC;由 “ 旋补三角形 ” 定义可得: B AC 90 ,易证 ABC ABC,
20、B CBC,点 D 为 BC 的中点, AD 1 2BC4. (2)AD 1 2BC. 证明:如解图,延长AD 至 E,使 DEAD. 第 6 题解图 AD 是ABC 的“ 旋补中线 ” , BDC D. 四边形 AB EC 是平行四边形, ECB A,EC B A, ACEBAC180 . 由定义可知 BAC BAC180 ,BABA,ACAC, ACEBAC,EC BA, ACECAB, AEBC, 19 AD1 2AE, AD1 2BC; (3)存在; 证明:如解图,作 PE 垂直平分 BC,且使 PECD,连接 PA,PB,PC, PD, 可得 PCPB, DCECEP90 , PEC
21、D; 四边形 PECD 为矩形; PECD2 3,PDCEAD6,PDC90 ; tanPCEPE CE 3 3 , PCEPBE 30 ,即 BPC120 , 又由 ADC150 ,可得 ADP60 , P AD 为等边三角形, 第 6 题解图 PDPA,APD60 . BPCDPA120 60 180 , PCD 是PAB 的“ 旋补三角形 ” ; 取 CD 的中点 M,连接 PM, 20 可得 DM3,PD6. 由勾股定理得 PMDM 2PD2 (3) 262 39, P AB 的“ 旋补中线 ” 长为39. 7如图,在 ABC 中,矩形 EFGH 的一边 EF 在 AB 上,顶点 G、
22、H 分别 在 BC、AC 上,CD 是边 AB 上的高, CD 交 GH 于点 I,若 CI4,HI3, AD9 2,矩形 DFGI 恰好为正方形 (1)求正方形 DFGI 的边长; (2)如图,延长 AB至 P,使得 ACCP,将矩形 EFGH 沿 BP 的方向向右平 移,当点 G 刚好落在 CP 上时,试判断移动后的矩形与CBP 重叠部分的形 状是三角形还是四边形,为什么? 第 7 题图 解:(1)四边形 EFGH 为矩形, HGEF, HI AD CI CD,即 3 9 2 4 CD,解得 CD6, IDCDCI2,即正方形 DFGI 的边长为 2; (2)移动后的矩形与 CBP 重叠部
23、分的形状是三角形 理由如下: 如解图,设在移动过程中,当点G 刚好落在 CP 上时,矩形 EFGH 移动到 21 矩形 E F G H, ACPC,CDAB, AP,ADPD, 在AEH 和PF G 中, AP AEHPF G EHF G , 第 7 题解图 AEHPF G(AAS) , AEPF, ADPD, ADAEPDPF , 即 DEDF 3, HGAB, CHGCAB, HG AB CI CD,即 32 AB 4 42, 解得 AB 15 2 , DBABAD3, 22 DBDF, 即点 F与点 B 重合,也就是说在移动过程中,当点G 刚好落在 CP 上时, 矩形 EFGH 的 F
24、点刚好运动到点B, 移动后的矩形与 CBP 重叠部分的形状是三角形 8如图,在 ? ABCD 中,DHAB 于点 H,CD 的垂 直平分线交 CD 于点 E,交 AB 于点 F,AB6,DH4,BFFA15. (1)如图,作 FGAD 于点 G, 交 DH 于点 M, 将DGM 沿 DC 方向平移, 得到CGM ,连接 M B. 求四边形 BHMM 的面积; 直线 EF 上有一动点 N,求DNM 周长的最小值 (2)如图,延长 CB 交 EF 于点 Q,过点 Q 作 QKAB,过 CD 边上的动点 P 作 PKEF,并与 QK 交于点 K,将PKQ 沿直线 PQ 翻折,使点 K 的对应 点 K
25、 恰好落在直线 AB 上,求线段 CP 的长 图图 23 图备用图 第 8 题图 解:(1)在? ABCD 中,AB6,直线 EF 垂直平分 CD, EFCD, CDAB, EFBH, 又DHAB, 四边形 EFHD 为矩形, DEFH3, 又BFFA15, AH2, 第 8 题解图 RtAHDRtMHF, HM FH AH DH , 即HM 3 2 4, HM1.5, 根据平移的性质, MMCD6, 24 如解图,连接 BM, 四边形 BHMM 的面积为 1 2 (64) 1.57.5; 如解图,连接CM 交直线 EF 于点 N,连接 DN, 第 8 题解图 直线 EF 垂直平分 CD, C
26、NDN, MH1.5, DM2.5, 在 RtCDM 中,MC2DC2DM 2, MC 262(2.5)2, 解得 MC6.5, MNDNMNCNMC, DNM 周长的最小值为 DMMC9; (2)BFCE, QF QF4 BF CE 1 3, QF2, PKPK6, 如解图,过点K 作 E F EF,分别交 CD 于点 E,交 QK 于点 F, 25 第 8 题解图 当点 P 在线段 CE 上时, 在 RtPK E 中, PE 2PK2E K2, PE2 5, RtPE KRtKF Q, PE KF EK QF , 即2 5 2 4 QF , 解得 QF 4 5 5 , 第 8 题解图 PE
27、PEEE 2 54 5 5 6 5 5 , CP156 5 5 , 同理可得, 26 如解图,当点 P 在线段 DE 上时, CP 156 5 5 , 综上所述, CP的长为 156 5 5 或 156 5 5 . 9问题发现 (1)如图,在 OAB 和OCD 中,OAOB,OCOD,AOB COD 40 ,连接 AC,BD 交于点 M.填空: AC BD的值为 _; AMB 的度数为 _ 类比探究 (2)如图,在OAB 和OCD 中,AOBCOD90 ,OABOCD 30 ,连接 AC 交 BD 的延长线于点M.请判断 AC BD的值及 AMB 的度数,并 说明理由; 拓展延伸 (3)在(2
28、)的条件下,将 OCD 绕点 O 在平面内旋转, AC,BD 所在直线交于 点 M.若 OD1,OB7,请直接写出当点C 与点 M 重合时 AC 的长 图图备用图 第 9 题图 27 解:(1)1;40 ; (2)AC BD 3, AMB90 ; 理由如下: AOBCOD90 ,OABOCD30 , CO DO AO BO 3, CODAODAOBAOD, 即AOCBOD, AOCBOD, AC BD CO DO 3,CAODBO. AOB90 , DBOABD BAO90 . CAOABDBAO90 , AMB90 ; (3)点 C 与点 M 重合时,如解图,同理得:AOCBOD, AMB9
29、0 , 设 BDx,则 AC3x, RtCOD 中,OCD30 ,OD1, CD2,BCx2, RtAOB 中, OAB30 ,OB7, AB2OB2 7, 28 在 RtAMB 中,由勾股定理得: AC2BC2AB2, ( 3x) 2(x2)2(2 7)2, 解得 x13,x22(舍去),AC3 3; 点 C 与点 M 重合时,如解图,同理可得:AMB90 , AC BD 3, 设 BDx,则 AC3x, 在 RtAMB 中,由勾股定理得: AC 2BC2AB2, ( 3x) 2(x2)2(2 7)2 解得 x13(舍去),x22, AC2 3, 综上所述, AC的长为 3 3或 2 3.
30、图图 第 9 题解图 10如图,已知 BAD 和BCE 均为等腰直角三角形,BADBCE 90 ,点 M 为 DE 的中点,过点 E 作 ENAD 交 AM 的延长线于点 N. 29 (1)当 A,B,C 三点在同一条直线上时 (如图 ),直接写出线段 AD 与 NE 的 数量关系为 _ (2)将图中的 BCE 绕点 B 旋转,当 A,B,E 三点在同一直线上时 (如图 ),判断ACN 是什么特殊三角形并说明理由 (3)将图中 BCE 绕点 B 旋转到图位置,此时A,B,M 三点在同一直 线上求证:若 AC3 2,AD1,则四边形 ACEN 的面积为 21 2 . 图图图 第 10 题图 (1
31、)解:ADNE. 【解法提示】 ENAD,MADMNE,ADMNEM.点 M 为 DE 的中点, DMEM.ADMNEM(AAS)ADNE; (2)解:ACN 为等腰直角三角形 理由如下: BAD 和BCE 均为等腰直角三角形, ABAD,CBCE,CBECEB45 . ADNE, DAENEA180 . DAE90 , NEA90 . 30 NEC135 . A,B,E 三点在同一条直线上, ABC180 CBE135 . ABCNEC. ADMNEM, ADNE. ADAB, ABNE, ABCNEC. ACNC,ACBNCE. ACNBCE90 . ACN为等腰直角三角形; (3)证明:如解图,连接CM. 第 10 题解图 ADNE,M 为 DE 的中点, 易得 ADMNEM, ADNE. ADAB,ABNE, 31 ADNE,ANNE, 在四边形 BCEN 中, BCEBNE90 , NBCNEC360 180 180 , NBCABC180 , ABCNEC, ABCNEC. ACNC,ACBNCE. ACNBCE90 . ACN为等腰直角三角形, 由(1)可知, AMDNME, AMMN,ADNE1, CMAN,AMCMMN, AC3 2, AMCMMN3, S四边形ACENSAMCS直角梯形MNEC1 2 3 3 1 2 (31) 3 21 2 .
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