人教版九年级数学复习:第二十四章圆的知识点总结及典型例题.pdf
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1、1 圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 知识归纳 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆; 圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论 1 (1
2、)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可 推出另外三个:过圆心;垂直于弦;平分弦(不是直径);平 分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧。 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。 2 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦相等; 所对的弦的弦 心距相等。 推论在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦
3、心距中有一 组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成: 在同圆或等圆中, 满足下面四个条件中的任何一个就能推出 另外三个:两个圆心角相等;两个圆心角所对的弧相等;两个圆心角或两条弧 所对的弦相等;两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相 等; 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径; 推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数
4、等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; (3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 例题分析 例 1. 已知:如图 1,在 O中,半径 OM 弦 AB于点 N 。 图 1 若 AB ,ON 1,求 MN 的长; 若半径 OM R ,AOB 1,求 MN的
5、长。 解: AB ,半径 OM AB ,AN BN ON 1,由勾股定理得 OA 2 MN OM ON OA ON 1 半径 OM AB ,且 AOB 1AOM 60 ON OA cosAON OM cos60 3 说明:如图 1,一般地,若 AOB 2n,OM AB于 N ,AO R,ON h,则 AB 2Rsin n 2htan n 例 2. 已知:如图 2,在ABC 中,ACB 90,B25,以点 C为圆心、 AC为半径作 C,交 AB于点 D,求的度数。 图 2 分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在 着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很
6、多解法,仅选几种供参考。 解法一:(用垂径定理求)如图21,过点 C作 CE AB于点 E,交于点 F。 图 21 又 ACB 90, B25, FCA 25 的度数为 25,的度数为 50。 解法二:(用圆周角求)如图22,延长 AC交C于点 E,连结 ED 图 22 AE是直径, ADE 90 ACB 90, B25, EB25 4 的度数为 50。 解法三:(用圆心角求)如图23,连结 CD 图 23 ACB 90, B25, A65 CA CD , ADC A65 ACD 50,的度数为 50。 例 3. 已知:如图 3,ABC内接于 O且 AB AC ,O的半径等于 6cm ,O点到
7、 BC的距离 OD等 于 2cm ,求 AB的长。 析:因为不知道 A是锐角还是钝角,因此圆心有可能在三角形内部,还可能在三角形外部,所 以需分两种情况进行讨论。 略解:( 1)假若 A是锐角, ABC是锐角三角形。如图3,由 AB AC ,可知点 A是优弧的 中点,因为 OD BC且 AB AC ,根据垂径定理推论可知,DO 的延长线必过点A,连结 BO BO 6,OD 2 在 RtADB 中,AD DO AO 628 图 3 图 31 (2)若 A是钝角,则 ABC 是钝角三角形,如图31 添加辅助线及求出,在 Rt ADB中,AD AO DO 624 AB 综上所述 AB 小结:凡是与三
8、角形外接圆有关的问题,一定要首先判断三角形的形状,确定圆心与三角形的位 置关系,防止丢解或多解。 5 例 4. 已知:如图 4,AB是O的直径,弦 CD AB ,F是 CD延长线上一点, AF交O于 E。 求证: AE EF EC ED 图 4 分析:求证的等积式AE EF EC ED中,有两条线段EF 、ED在EDF中,另两条线段 AE 、EC 没有在同一三角形中,欲将其置于三角形中,只要添加辅助线AC ,设法证明 FED CEA 即可。 证明:连结 AC 四边形 DEAC 内接于圆 FDE CAE ,FED DCA 直径 AB CD , DCA CEA , FED CEA FED CEA
9、,AE EF EC ED 小结:四边形内接于圆这一条件,常常不是在已知条件中明确给出的,而是隐含在图形之中,在 分析已知条件时,千万不要忽略这一重要条件。 例 5. 已知:如图 5,AM是O的直径,过 O上一点 B作 BN AM ,垂足为 N,其延长线交 O于 点 C,弦 CD交 AM于点 E。 图 5 (1)如果 CD AB ,求证: EN NM ; (2)如果弦 CD交 AB于点 F,且 CD AB ,求证 CE 2EF ED ; (3)如果弦 CD绕点 C旋转,并且与 AB的延长线交于点 F,且 CD AB ,那么(2)的结论是否仍 成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 证明:(
10、 1)连结 BM (如图 51) 图 51 AM是直径, ABM 90 6 CD AB ,BM CD ECN MBN ,又 AM BC ,CN BN RtCEN RtBMN ,EN NM (2)连结 BD ,BE ,AC (如图 52) 图 52 点 E是 BC垂直平分线 AM 上一点, BE EC CD AB , ACD BDC ,又 AB AC ,AE AE ABE ACE , ABE ACD BDC BED是公共角, BED FEB BE 2EF ED ,CE2EFED (3)结论成立。如图53 图 53 证明:仿( 2)可证 ABE ACE BE CE ,且 ABE ACE 又AB C
11、D , ACB DBC ,BD AC BDE ACE 180 而FBE ABE 180 BDE FBE ,而 BED是公共角 BED FEB BE 2EF ED ,CE2EFED (二)直线与圆的关系 1. 直线与圆的位置关系 直线和圆的位置相离相切相交 公共点的个数0 1 2 公共点名称无切点交点 直线名称无切线割线 圆心到直线的 距离 d 与半径 r 的 7 关系 2. 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3. 切线的性质 (1)圆的切线垂直于经过切点的半径; (2)推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (3)推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经
12、过圆心。 此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个:垂直于切线; 经过切点;经过圆心。 4. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 5. 弦切角定理 (1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角; (2)推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等; (3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 6. 和圆有关的比例线段 (1)相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等; (2)推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项; (3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,
13、切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项; (4)推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等。 7. 三角形的内切圆 (1)有关概念:三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的 外切多边形; (2)作图:作一个圆,使它和已知三角形的各边都相切。 例题分析 例 6. 已知:如图 6,AB是O的直径, C是 AB延长线上一点, CG切O于 D, DE AB于 E。 图 6 求证: CDB EDB 。 分析:由 AB是O的直径,联想到直径的三个性质: 8 图 61 图 62 图 63 (1)直径上的圆周角是直角。若连结AD ,则得
14、 RtABD ; (2)垂径定理。如图62,若延长 DE交O于 F,则可得 DE EF ,; (3)过直径外端的切线与直径垂直。如图63,若过 B点作 O的切线 BM ,则 AB BM 。 由 CD是O的切线,联想到切线的三个性质: (1)过切点的半径垂直于切线。如图61,若连结 OD ,则 OD CD ; (2)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结AD ,则 CDB A; (3)切割线定理。如图6,CD 2CB CA 。 由 DE AB于 E,联想到以下一些性质: (1)RtDEB中两锐角互余,即 EDB EBD 90; (2)垂径定理。如图62,只要延长 DE交O于 F,则可得到相等的线
15、段,相等的弧; (3)构造与射影定理相关的基本图形。即连结AD ,则可得到 ADB 是直角三角形, DE是斜边上 的高,又可得到两对相等的锐角,三个相似的三角形,还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。 证明:连结 AD ,如图 6,AB是直径, ADB 90。 DE AB , EDB A CD是O的切线, CDB A, CDB EDB 此例题还有许多证法,比如连结OD ,如图 61,利用切线的定义;又比如延长DE交O于 F, 连结 BF,如图 62,利用垂径定理;还可以过点B作O的切线交 CD于点 M ,如图 63,利用切线 长定理,等等,这诸多证法,读者不妨试证之。 小结:此例题证明 CD
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