广义逆矩阵及其应用.pdf
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1、Word 资料 题目广义逆矩阵及其应用 学院 专业通信与信息系统 学生 学号 Word 资料 目录 第一章 前言 1 第二章 广义逆矩阵2 2.1 广义逆矩阵的定义2 2.2 广义逆矩阵的性质3 第三章 广义逆矩阵的计算12 3.1 一般广义逆求解12 3.2 Moore-Penrose 广义逆 16 结论19 Word 资料 Word 资料 第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性 方程组,其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵,这种利用逆矩阵求解线性方程 组的方法将不适用。 为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组,我 们对逆矩阵进行推
2、广,研究广义逆矩阵,利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络 理论等许多领域中有着重要的应用,本文针对广义逆矩阵的定义、 性质、计算及其在 线性方程组中的应用进行研究,利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义,但在实际问题中, 遇到的矩阵不一定是 方阵,即使是方阵也不一定非奇异,这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此,人们 提出了下述关于逆矩阵的推广: (1)该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在; (2)它具有通常逆矩阵的一些性质; (3)当矩阵非奇异时,它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩
3、阵称之为广义逆矩阵。 1903 年,瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究,他讨论了关于积 分算子的一种广义逆。 1904 年,德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中,含 蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore) 教授在 1920 年提出了任 意矩阵广义逆的定义, 他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣 和美籍匈牙利数学家冯诺伊曼及其弟子默里分别在1933 年和 1936 年对希尔伯特 空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951 年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出 了穆尔 (Moore) 广义逆矩阵的定义, 并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。195
4、5 Word 资料 年,英国数学物理学家彭罗斯(Penrose) 以更明确的形式给出了与穆尔(Moore) 等价 的广义逆矩阵定义,因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵, 从此广义逆矩阵的研 究进入了一个新阶段。 现如今,Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、 多元分析、 信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用,使这 一学科得到迅速发展,并成为矩阵论的一个重要分支。 第二章 广义逆矩阵 2.1 广义逆矩阵的定义 一、Penrose 广义逆矩阵的定义 为了推广逆矩阵的概念, 我们引进了广义逆矩阵的定义, 下面给出广义逆矩阵的 Moore-Penr
5、ose 定义。 定义 2.1 设矩阵 nm CA,若矩阵 mn CX满足如下四个 Penrose 方程 AAXA() XXAX() AXAX H )(() XAXA H )(() Word 资料 中的一部分或全部方程,则称X为A的一个广义逆矩阵。 若X只满足()式,则X成为A的一个 1-逆,可记为 1 A,所有满足 1-逆 的X构成的集合记为1A。若 X 满足四个方程中的第kji,个方程,则称X为A的 一个kji,-逆,记为 kji A , ,所有满足kji,-逆的 X 构成的集合记为 kjiA,。 二、常见广义逆定义 按照广义逆定义,分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有 4
6、4 3 4 2 4 1 4 CCCC=15 类,其中常见的有1A,2, 1A,3 , 1A,4, 1A,4, 3,2, 1A。 定义 2.2 设有复矩阵 nm CA。若有一个mn复矩阵 X 存在,使下式成立,则 称 X 为A的减号逆: AAXA(2.1) 当 1 A存在时,显然 1 A满足上式,可见减号逆 X 是普通逆矩阵 1 A的推广;另外, 由AAXA得 HH AAXA)(, 即 HHHH AAXA 可见,当 X 为A的一个减号逆时, H X就是 H A的一个减号逆。 定义 2.3 设复矩阵 nm CA,若有一个mn矩阵X,满足: AAXA且XXAX 称X为A的一个自反逆矩阵,记作为 r
7、A, r A满足 Penrose 方程的(), ()式, 所以2, 1AAr。 显然,自反广义逆为减号逆的子集。 对矩阵X是矩阵A的 1 -逆,即1AX, 若 Word 资料 矩阵A也是矩阵X的 1 -逆,即1XA, 则X为A的一个自反逆矩阵。 定义 2.4 设复矩阵 nm CA,若有一个mn矩阵X,满足: AAXA及AXAX H )(, 则称X为A的最小二乘广义逆, 记作 l A, l A 满足 Penrose 方程的() , ()式, 所以 3, 1AAm 。 最小二乘广义逆是用条件AXAX H )(对减号逆进行约束后所得到的子集。 定义 2.5 设复矩阵 nm CA,若有一个mn矩阵X,
8、满足: AAXA及XAXA H )(, 则称X为A的最小数广义逆,记作 m A, m A 满足 Penrose 方程的(), ()式, 所以4, 1AAl。 显然,最小数广义逆也是减号逆的子集。 若X满足全部四个方程, 则称X为A的 Moore-Penrose广义逆矩阵, 记为A 。 2.2 广义逆矩阵的性质 将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积,是矩阵分解理 论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。 定义 2.6 设矩阵 nm r CA(r0) , 如果存在一个列满秩矩阵 rm r CF 与一个行满 秩矩阵 nr r CG使得 FGA, 则称上式为
9、A的一个满秩分解。 定理 2.1 对任意矩阵 nm r CA(r0) ,必存在着矩阵 rm r CF和 nr r CG使 Word 资料 FGA。 证明: 由rrankA,对A进行若干次初等行变换后, 可将A化为行阶梯矩阵B, 0 G B, 其中rrankG。故存在若干个 m 阶初等矩阵的乘积P,使得 BPA, 即BPA 1 , 将 1 P分块为MFP, 1 , rm r CF, )(rmm CM, 便有FG G MFA 0 ,。 因F是可逆矩阵 1 P的前 r 列,所以F是一个rm列满秩矩阵,G是nr行满秩 矩阵,故FGA是A的一个满秩分解。 上式FGA是A的一个满秩分解,但是A的满秩分解并
10、不是唯一的。任意取一 个 r 阶非奇异矩阵B,若FGA是一个满秩分解, 则显然GBFBA 1 也是A的一个 满秩分解。 一、1-逆的性质 定理 2.2设 nm CA,则A的 Moore-Penrose逆存在且唯一。 证设rrankA.若 r=0,则A是nm零矩阵,可以验证mn零矩阵满足四个 Penrose 方程。若 r0,则A有满秩分解分解FGA, 取 HHHH FFFGGGX 11 ,则 X 满足 4 个 Penrose 方程,所以, X 是 Word 资料 Moore-Penrose广义逆矩阵。 设X,Y均满足四个 Penrose 方程,则 YYYAYYAYYAXAXAY AYAXXAYA
11、XXAYAXXAXXAXXX HHHHH HHHHHHHHHHH 综上所诉, A 存在且唯一。 A 满足四个 Penrose 方程的所有方程,所以,A 属于 15 类广义逆矩阵中的任 意一类。上面我们证明了A 的存在性,所以,任意的类广义逆矩阵都是存在的。 对任意的C,定义为 0 0 ,0 , 1 (2.4) 下面给出 1-逆的一些性质。 定理 2.3设 nm CA, nm CB,C,则 (1) 1)( )1(HH AA; (2) 1)( )1( AA; (3)若 S和 T非奇异,则 1)( 1)1(1 SATSAT; (4)rankArankA 1 ; (5) 1 AA和AA 1 均为幂等矩
12、阵且与A 同秩; (6);)()(),()(),()( )1()1()1(HH ARAARANAANARAAR (7) n IAA 1 的充要条件是nrankA, m IAA 1 的充要条件是mrankA; (8)AAABAB 1 的充要条件是rankAABrank)(, BABABB 1 的充要条件是rankBABrank)(。 证(1)由 1 1 AA, 有AAAA 1 ,两边同时求共轭转置得 Word 资料 H H AAAA 1 ,即 HHHH AAAA)( 1 , 由定义知 1 1H H AA。 (2)AAAAAAA 11 , 由1-逆定义得, 1 1 AA。 (3)SATSATSAS
13、ATTSATSATSAT 111111 , 由1-逆定义得, 1 111 SATSAT。 (4) rankAAAArankAArankrankA 111 , 故 rankArankA 1 .。 (5) 111 2 1 AAAAAAAA,故 1 AA为幂等矩阵,又由 AAAAAAAA 111 2 1 ,故AA 1 为幂等矩阵,所以 rankAAArankAAArankrankA)()( )1()1( , 也即rankAAArank)( ) 1( 。 同理,rankAAArank)( )1( 。 (6)由)()()()( )1()1( ARAAARAARAR, 得)()( 1 ARAAR, 类似的
14、,由)()()()( )1()1( ANAAANAANAN,得)( )1( ANAAN。 又因为,)()()()()( )1()1()1(HHHHHHHH ARAAARAARAARAR, 所以AARAAR H H 1 。 (7)充分性:nrankA,所以,nAArank 1 ,由AA 1 为幂等矩阵且非奇异,易 知 n IAA 1 。 必要性:由 n IAA 1 ,nAArank 1 ,故nrankA。 另一式同理可证明。 Word 资料 (8)充分性:)()(ARABR,rankAABrank)(, 所以,)()(ARABR。 所以存在矩阵 X ,使ABXA,从而AABXABXABABAAB
15、AB )1()1( )()(。 必要性:rankAabrankAABABrankrankA)()( 1 ,故rankAABrank)(。 另一式同理可证明。 性质( 5)逆命题仍然成立,即 定理2.4 设nm复矩阵A,若存在mn矩阵X, 使 AX 为幂等矩阵,且 rankAAXrank)(,则矩阵 1AX。 证明: AX 幂等, 则AXAXAX, 而)()(ARAXR,又rankAAXrank)(,所 以,)()(ARAXR, 存在矩阵Y, 使得AXYA,有 AAXYAXAXYAXA, 即1AX。 二、2, 1-逆的性质 因为在 Penrose 方程(1) (2)中,A和X的位置是对称的,所以
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