高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案含解析新人教A版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22.1 向量加法运算及其几何意义 向量的加法 提出问题 问题 1:向量能进行运算吗?请举例说明 提示:能,如力的合成 问题 2:两个力F1,F2作用于同一个物体上,当物体静止时,说明了什么? 提示:F1F20. 问题 3:做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗?在竖直方向上有速度吗? 提示:有有 . 问题 4:在问题3 中,物体为什么没沿水平或垂直方向运动? 提示:力的合力不在这两个方向上 导入新知 1向量加法的定义 求两个向量和的运算叫做向量的加法 2求向量和的方法 (1)三角形法则: 已知非零向量a,b,在平面上任取一点A, 作AB uuu r
2、 a,BC uuu r b,则向量AC uuu r 叫做a与b的和或和向量, 记作ab,即abAB uuu r BC uuu r AC uuu r .上述求两个向量和的方法,称为向量加法的三角形法 则 (2)平行四边形法则: 已知两个不共线向量a,b,作OA uu u r a,OB uuu r b,以a,b为邻边作 ?OACB,则以O为 起点的对角线OC uuu r 就是a与b的和,如图 这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 对于零向量与任一向量a,规定:a00aa. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 化解疑难 准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则
3、的使用条件不同 三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量 求和 (2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的 如图所示,AC uuu r AB uuu r AD uuu r (平行四边形法则), 因为BC uuu r AD uuu r , 所以AC uuu r AB uuu r BC uuu r (三角形法则 ) (3)在使用三角形法则时,应注意“首尾连接”;在使用平行四边形法则时应注意范围的限 制及和向量与两向量起点相同. 向量加法的运算律 提出问题 问题 1:数的加法满足交换律和结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律? 提示:是 问题 2:你能验证向量
4、加法也满足结合律吗? 提示:如图,abc(ab)ca(bc) 导入新知 向量加法的交换律和结合律 (1)向量加法的交换律:abba; (2)向量加法的结合律:(ab)ca(bc) 化解疑难 向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 这n个向量的和这称为向量求和的多边形法则 (2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形,则它们的和为0. 求作向量的和 例 1 如图,已知a,b,求作向量ab. 解 在平面内任取一点O,如图所示,作OA uuu r a,AB uuu r b, 则OB uuu
5、r ab. 类题通法 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向 量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量 (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合 (3)求作三个或三个以上的向量和时,用三角形法则更简单 活学活用 如图,已知a,b,c,求作向量abc. 解:作法:在平面内任取一点O,如图所示, 作OA uu u r a,AB uuu r b,BC uuu r c,则OC uuu r abc. 向量加法运算 例 2 化简或计算: (1)CD uuu r BC
6、 uuu r AB uuu r ; (2)AB uuu r DF uuu r CD uuu r BC uuu r FA uu u r . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 (1)CD uuu r BC uuu r AB uuu r (AB uuu r BC uuu r )CD uuu r AC uuu r CD uuu r AD uuu r . (2)AB uuu r DF uuu r CD uuu r BC uuu r FA uu u r (AB uuu r BC uuu r )(CD uuu r DF uuu r )FA uuu r AC uuu r CF uuu r FA u
7、u u r AF uuu r FA uuu r 0. 类题通法 解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算 (2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列 顺序,特别注意勿将0 写成 0. 活学活用 如图,在ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC, AC,AB的中点,化简下列三式: (1)BC uuu r CE uuu r EA uuu r ; (2)OE uuu r AB uuu r EA uuu r ; (3)AB uuu r FE uuu r DC uuu r . 答案: (1)BA uuu r (2)OB uu
8、u r (3)AC uuu r 向量加法的应用 例 3 轮船从A港沿北偏东60方向行驶了40 km 到达B处,再由B处沿正北方向行驶 40 km 到达C处,求此时轮船与A港的相对位置 解 如图所示,设AB uuu r ,BC uuu r 分别是轮船的两次位移,则AC uuu r 表 示最终位移,且AC uuu r AB uuu r BC uuu r . 在 RtABD中, |DB uuu r | 20 km, |AD uuu r | 203km , 在Rt ACD中 , |AC uuu r | |AD| 2| DC| 240 3 km,CAD60,即此时轮船位于A港北偏东30,且 积一时之跬步
9、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 距离A港 403 km 处 类题通法 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 活学活用 雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s ,现在有风, 风使雨滴以 43 3 m/s 的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向 答案:速度大小是 83 3 m/s;方向与垂直方向成30角向东 8.对向量运算的几何意义理解不透彻致误 典例 (1)若向量a,b满足 |a| 8,|b| 12,则 |ab| 的最小值是 _; (2)当非零向量a,b(a,b不共线 )满足 _时,能使ab平分a,b的夹角 解析 由向量的三角形不等式,知 |ab| |b|
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