高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案含解析新人教A版必修20.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 23.1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 提出问题 问题 1:在物理中, 我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力,试想: 平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和? 提示:可以 问题 2:如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面内的任一向量a 能否用e1,e2表示?根据是什么? 提示:可以根据是数乘向量和平行四边形法则 问题 3:如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么? 提示:不一定当a与e1共线时可以表示,否则不能表示 导入新知 平面向量基本定理 条件e1,e2是同一平面内
2、的两个不共线向量 结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 1,2,使a1e12e2 基底不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 化解疑难 理解平面向量基本定理应关注的三点 (1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底,所以基底的选取不唯一 (2)零向量与任一向量都共线,因此零向量不能作为基底 (3) 1,2是唯一的 . 两向量的夹角 提出问题 问题 1:平面中的任意两个向量都可以平移至公共起点,它们存在夹角吗? 提示:存在 问题 2:若上题中的结论为存在夹角,向量的夹角与直线的夹角一样吗? 提示:不一样 导入新知 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 向
3、量的夹角 条件两个非零向量a和b 产生过程 作向量OA uuu r a,OB uuu r b,则AOB叫做向量a与b的夹角 范围0, 特殊 情况 0a与b同向 90a与b垂直,记作ab 180a与b反向 化解疑难 正确理解向量的夹角 (1)向量夹角的几何表示: 依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点,这样它们所 成的角才是两向量的夹角如图,已知两向量a,b,作OA uu u r a,OB uuu r b,则 AOB为a与b的夹角 (2)注意事项: 向量的夹角是针对非零向量定义的 向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是0, 和 0, 2 . 用基底表示向量 例
4、1 如图,梯形ABCD中,ABCD,且AB2CD,M,N分别是 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DC,AB的中点,若AB uuu r a,AD uuu r b,试用a,b表示DC uuu r ,BC uuu r ,MN uuuu r . 解 如图所示,连接CN,则四边形ANCD是平行四边形 则DC uuu r AN uuu r 1 2 AB uuu r 1 2a ; BC uuu r NC uuu r NB uuu r AD uuu r 1 2 AB uuu r b 1 2a ; MN uuuu r CN uuu r CM uuu r AD uuu r 1 2 CD uuu r AD
5、 uuu r 1 2 1 2 AB uuu r 1 4a b. 类题通法 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性 运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程 组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解 活学活用 如图所示,已知在?ABCD中,E,F分别是BC, DC边的中点若AB uuu r a,AD uuu r b,试用a,b为基底表示向量DE uuu r ,BF uuu r . 答案:DE uuu r a 1 2b; BF uuu r b 1 2a 向量夹角的简单求解 例 2 已知 |a| |b|
6、 2,且a与b的夹角为60,则ab与a的夹角是多少?ab与a 的夹角又是多少? 解 如图所示,作OA uuu r a,OB uuu r b,且AOB60. 以OA uu u r ,OB uuu r 为邻边作平行四边形OACB,则OC uuu r ab,BA uuu r a b. 因为 |a| |b| 2, 所以平行四边形OACB是菱形又因为AOB60,所以OC uuu r 与OA uuu r 的夹角为30,BA uu u r 与OA uuu r 的夹角为 60 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即ab与a的夹角是30,ab与a的夹角是60. 类题通法 求两个向量夹角的方法 求两个向
7、量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,根据向量夹角的概 念确定夹角,再依据平面图形的知识求解向量的夹角过程简记为“一作二证三算” 活学活用 如图,已知ABC是等边三角形 (1)求向量AB uuu r 与向量BC uuu r 的夹角; (2)若E为BC的中点,求向量AE uuu r 与EC uuu r 的夹角 答案: (1)120(2)90 平面向量基本定理的唯一性及其应用 例 3 (1)设向量e1与e2不共线,若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2,则实数x,y的值分 别为 ( ) A0,0 B1,1 C3,0 D3,4 (2)在?ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中
8、点若AC uuu r AE uuu r AF uuu r ,其中, R,求的值 解 (1)D (2)设AB uuu r a,BC uuu r b,则AF uuu r a 1 2b, AE uuu r b 1 2a ,AC uuu r ab,所以AC uuu r AE uuu r AF uuu r b 1 2a 1 2b a 1 2 b 1 2 a ab.又因为a,b不共线,所以 1 2 1, 1 2 1, 解得 2 3 ,所以 4 3. 类题通法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1平面向量基本定理唯一性的应用 设a,b是同一平面内的两个不共线向量,若x1ay1bx2ay2b,则 x1
9、x2, y1y2. 2重要结论 设e1,e2是平面内一组基底, 当1e12e2 0时恒有120 若a 1e12e2 当20时,a与e1共线 当10时,a与e2共线 120 时,a0 活学活用 若向量a,b不共线,且c2ab,d 3a2b,试判断c,d能否作为基底 答案:c,d能作为基底 5平面向量基本定理的应用 典例 (12 分)如图,在ABC中,点M是边BC的中点,点N在边AC上,且AN2NC, AM与BN相交于点P,求APPM的值 解题流程 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 规范解答 设BM uuu u r e1,CN uuu r e2, 则AM uuuu r AC uuu r C
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