高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修44.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3.1 平面向量基本定理 1.了解基底的含义, 理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.(重点 ) 2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点 ) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点 ) 基础初探 教材整理1 平面向量基本定理 阅读教材P93至 P94第六行以上内容,完成下列问题. 1.定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数 1,2,使 a 1e12e2. 2.基底:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 判断 (正确的打“
2、” ,错误的打“”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( ) (2)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则 1e12e2(1,2为实数 )可以表示该平面内 所有向量 .( ) (3)若ae1be2ce1de2(a,b,c,dR),则ac,bd.( ) (4)基底向量可以是零向量.( ) 【解析】(1)错误 .根据基底的概念可知,平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量 的基底 . (2)正确 .根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1,e2线性表示 . (3)错误 .当e1与e2共线时,结论不一定成立. (4)基底向量是不共线的,一定是非
3、零向量. 【答案】(1)(2)(3)(4) 教材整理2 两向量的夹角与垂直 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 阅读教材P94第六行以下至例1 内容,完成下列问题. 1.夹角:已知两个非零向量a和b,作OA a,OB b,则AOB叫做向量a与b的 夹角 (如图 2-3-1 所示 ). 图 2-3-1 (1)范围:向量a与b的夹角的范围是0180. (2)当0时,a与b同向;当 180时,a与b反向 . 2.垂直:如果a与b的夹角是90, 我们说a与b垂直,记作ab. 如图 2-3-2,在ABC中,AC ,AB 的夹角与CA ,AB 的夹角的关系为_. 图 2-3-2 【解析】根据向量夹角
4、定义可知向量AB ,AC 的夹角为BAC,而向量CA ,AB 夹角为 BAC.故二者互补 . 【答案】互补 小组合作型 用基底表示向量 (1)已知AD是ABC的BC边上的中线,若AB a,AC b,则AD ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 1 2(a b) B. 1 2(a b) C. 1 2(a b) D. 1 2(a b) (2)如图 2-3-3,设点P,Q是线段AB的三等分点,若OA a,OB b,则OP _, OQ _.(用a,b表示 ) 图 2-3-3 【精彩点拨】用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行 四边形法则 . 【自主解答】(1)
5、如图所示, 因为AE AB AC 2AD , 所以AD 1 2(a b). (2)OP AP AO 1 3AB OA 1 3(OB OA )OA 2 3OA 1 3OB 2 3a 1 3b, OQ AQ AO 2 3AB OA 2 3(OB OA )OA 1 3OA 2 3OB 1 3a 2 3b. 【答案】(1)D (2) 2 3a 1 3 b 1 3a 2 3b 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 平面向量基本定理的作用以及注意点: (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量,实质上 主要是利用三角形法则或平行四边形法则,进行向量的加减法运算. (2)
6、要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,利用已知向量表示未知向量,或找 到已知向量与未知向量的关系,用方程的观点求出未知向量. 再练一题 1.已知ABC中,D为BC的中点,E,F为BC的三等分点,若AB a,AC b,用a, b表示AD ,AE ,AF . 图 2-3-4 【解】AD AB BD AB 1 2BC a 1 2(b a) 1 2 a 1 2b; AE AB BE AB 1 3(b a) 2 3a 1 3b; AF AB BF AB 2 3BC a 2 3(b a) 1 3a 2 3b. 向量的夹角问题 (1)已知向量a,b,c满足|a|1,|b|2,cab,ca,则a,b的夹
7、角等于 _. (2)若a0,b0,且|a|b|ab|,求a与ab的夹角 . 【精彩点拨】可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【自主解答】(1)作BC a,CA b,则cabBA (如图所示 ), 则a,b夹角为 180C. |a|1,|b|2,ca, C 60, a,b的夹角为120. 【答案】120 (2)由向量运算的几何意义知ab,ab是以a,b为邻边的平行四边形两条对角线. 如图, |a| |b| |ab| , BOA60. 又OC ab,且在菱形OACB中,对角线OC平分BOA, a与ab的夹角是30. 两向量夹角的实质与求解
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