高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量优化训练北师大版必修74.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量 5 分钟训练 (预习类训练,可用于课前) 1.下列等式中不正确的是( ) A.AB+BC+CA=0 B.AB-AC=CB C.0AB=0 D.(a)= a 解析: 选项 A 说明首尾相连的向量之和为0,还可推广到n 个向量首尾相连.对零向量的运 算有明确规定,另外运算律也要熟练掌握. 0AB0. 答案: C 2.化简:(1)5(3a-2b)+4(2b-3a) ;( 2)6(a-3b+c)-4(-a+ b-c) ; (3) (x-y) (a+ b)-(x-y) (a-b) ;( 4) 3 1 (a+
2、2b)+ 4 1 (3a-2b)- 2 1 (a-b). 解: (1)5(3a-2b)+4( 2b-3a)=15a-10b+8b-12a=3a-2b; (2)6(a-3b+ c)-4(-a+b-c)=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c; (3) (x-y) (a+ b)-(x-y) (a-b)=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2(x-y)b; (4) 3 1 (a+2b)+ 4 1 (3a-2b)- 2 1 (a-b)=( 2 1 4 3 3 1 )a+ ( 2 1 2 1 3 2 )b= 12 7 a+ 3 2 b. 3.已知两个非零向量a、b,试作
3、OA= a+ b,OB=a+2b,OC=a+3b.你能判断A、B、C 三点 之间的位置关系吗?为什么? 解: 分别作向量OA、OB、OD,过点 A、C 作直线 AC,观察发现,不论向量a、b 怎样 变化,点B 始终在直线AC 上,猜想A、B、 C 三点共线 . 事实上,因为AB=OD-OB= a+3b-( a+2b)=b, 而AC=OD-OA= a+3b-(a+ b)=2b, 于是AC=2AB, 所以, A、 B、 C 三点共线 . 10 分钟训练 (强化类训练,可用于课中) 1.已知菱形的两邻边OA=a,OB=b,其对角线交点为D,则OD等于 ( ) A. 2 1 a+b B.a+ 2 1
4、b C. 2 1 (a+b) D.a+b 解析: 由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案. 答案: C 2.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括A、C 点) ,则AP等于 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A.(AB+AD) ,(0,1)B.(AB+BC) ,(0, 2 2 ) C.(AB-AD) ,(0,1)D.(AB-BC) ,(0, 2 2 ) 解析:由题意, 知AC=AB+AD, 又点 P 在 AC 上,故存在实数(0, 1) 使AP=AC. 答案: A 3.若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a、b 是已知向量,求m、 n. 解: 3m
5、+2n=a, m-3n=b, 3 ,得 3m-9n=3b. -,得 11n=a-3b. n=ba 11 3 11 1 . 将代入得m= b+3n=ba 11 2 11 3 . 4.在平行四边形ABCD 中,AC= a,BD= b,求AB、AD. 解法一: 利用平行四边形的性质得AO= 2 1 AC= 2 1 a,BO= 2 1 BD= 2 1 b. AB=AO+OB=AO-BO, AB= 2 1 a- 2 1 b. 又AD=AO+OD,OD= 2 1 BD, AD= 2 1 a+ 2 1 b. 解法二: 将AB、AD视为未知量,由向量的加法、减法得: AB+BC=AC,AD-AB=BD. 两式
6、相加得2AD=AC+BD, AD= 2 1 AC+ 2 1 BD= 2 1 a+ 2 1 b. 两式相减得2AB=AC-BD, AB= 2 1 AC- 2 1 BD= 2 1 a- 2 1 b. 5.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边,且其长度等于第三边长度的一半. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明: 如图, 已知 ABC 中,D、E 分别是边AB、AC 的中点 .求证: DE BC,且 DE= 2 BC . D、E 分别是边AB、AC 的中点, AD= 2 1 AB,AE= 2 1 AC. DE=AE-AD= 2 1 (AC-AB)= 2 1 BC. 又 D 不在
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