高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案新人教A版必修38.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 1.平面向量的数量积.(重点 ) 2.平面向量的数量积的几何意义.(难点 ) 3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点 ) 基础初探 教材整理1 向量数量积的定义及性质 阅读教材P103P104“例 1”以上内容,完成下列问题. 1.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,我们把数量 |a|b|cos 叫做a与b的数量积 (或内积 ),记作ab,即ab|a|b|cos . 规定零向量与任一向量的数量积为0. 2.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量,为a与b的夹角 . (1)ab
2、?ab0. (2)当a与b同向时,ab|a|b| ; 当a与b反向时,ab |a|b|. (3)aa|a| 2 或|a| aaa2. (4)cos ab |a|b| . (5)|ab| |a|b|. 判断 (正确的打“” ,错误的打“”) (1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( ) (2)两个向量的数量积是向量.( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)设向量a与b的夹角为,则 cos 0?ab0.( ) 【解析】(1).因向量的夹角包括180,直线的倾斜角不包括180. (2).因两个向量的数量积没有方向,不是向量. (3).由数量积的定义可知. 【答案】(1)(2)(3
3、) 教材整理2 向量的数量积的几何意义及运算律 阅读教材P104例 1 以下至 P105例 2 以上内容,完成下列问题. 1.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图 2-4-1 所示:OA a,OB b, 过B作BB1垂直于直线OA, 垂足为B1, 则OB1|b|cos . |b|cos 叫做向量b在a方向上的投影,|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影. 图 2-4-1 (2)数量积的几何意义: ab的几何意义是数量积ab等于a的长度 |a| 与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘 积. 2.向量数量积的运算律 (1)abba(交换律 ). (2)( a)b(ab)a( b)(结
4、合律 ). (3)(ab)cacbc(分配律 ). 已知 |a| 3,向量a与b的夹角为 3,则 a在b方向上的投影为_. 【解析】向量a在b方向上的投影为|a|cos 3cos 3 3 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【答案】 3 2 小组合作型 与向量数量积有关的概念 (1)以下四种说法中正确的是_. 如果ab0,则a0或b0; 如果向量a与b满足ab0,则a与b的夹角 为锐角;若a,b的夹角为,则 |b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影长. 其中正确的是_. 【解析】由于a 2 0,b20,所以,若 a 2 b 20,则 ab0,故正确; 若ab0,则ab,又a,b
5、,c是三个非零向量,所以acbc,所以 |ac| |bc| ,正确;a,b共线 ?ab |a|b| ,所以不正确; 对于,应有|a|b| ab; 对于,应该是aaa|a| 2a ; a2b2 2|a|b| 2ab,故正确; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当a与b的夹角为0 时,也有ab0,因此错; |b|cos 表示向量b在向量a方向上的投影的数量,而非投影长,故错.综上可知 正确 . 【答案】 数量积的基本运算 已知|a|4,|b|5,当 (1)ab; (2)ab;(3)a与b的夹角为135时,分别求 a与b的数量积.【导学号: 00680054】 【精彩点拨】(1)当ab时,a
6、与b夹角可能为0或180.(2)当ab时,a与b夹角 为90.(3)若a与b夹角及模已知时可利用ab|a| |b|cos (为a,b夹角 )求值 . 【自主解答】设向量a与b的夹角为, (1)ab时,有两种情况: 若a和b同向,则0,ab|a|b|20; 若a与b反向,则180,ab|a|b| 20. (2)当ab时,90, ab0. (3)当a与b夹角为 135时, ab|a|b|cos 135 102. 1.求平面向量数量积的步骤是:求a与b的夹角,0, ;分别求 |a|和|b|; 求数量积,即ab|a|b|cos . 2.非零向量a与b共线的条件是ab|a|b|. 再练一题 2.已知正三
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