高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案含解析新人教A版必修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 25 平面向量应用举例 导入新知 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转 化为向量问题; (2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系 2向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等 (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中 (3)动量mv是向量的数乘运算 (4)功是力F与位移s的数量积 化解疑难 向量法在平面几何中的应用 用向量法解决平面几何问题,一般来说有两个方向: (1)几何
2、法:选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底 表示,利用向量的运算法则、运算律或性质计算; (2)坐标法:建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、垂直、平 行等问题转化为代数运算 一般地,存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法 平面几何中的垂直问题 例 1 如图所示,在正方形ABCD中,P为对角线AC上任一点,PE AB,PFBC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DPEF. 证明 设正方形ABCD的边长为1,AEa(0a1), 则EPAEa,PFEB1a,AP2a, DP uuu r EF uuu r (DA uuu r AP uuu
3、r )(EP uuu r PF uuu r ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DA uuu r EP uuu r DA uuu r PF uuu r AP uuu r EP uuu r AP uuu r PF uuu r 1a cos 180 1(1a)cos 902aacos 452a(1a)cos 45 aa 2 a(1a)0. DP uuu r EF uuu r ,即DPEF. 类题通法 利用向量解决垂直问题 对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件(向量的数量积为0),而对于这一 条件的应用,可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式 活学活用 如图,在正方形A
4、BCD中,E,F分别为AB, BC的中点求证:AFDE(利用向量证明) 证明:设AB uuu r a,AD uuu r b, 则AF uuu r a 1 2b, ED uuu r b 1 2a , AF uuu r ED uuu r a 1 2b b 1 2a 1 2b 2 1 2a 2 3 4a b. 又AB uuu r AD uuu r ,且 |AB uuu r | |AD uuu r | , a2b2,ab 0, AF uuu r ED uuu r 0,AF uuu r ED uuu r ,即AFDE. 平面几何中的长度问题 例 2 已知 RtABC中,C90,设ACm,BCn. (1)
5、若D为斜边AB的中点,求证:CD 1 2AB; (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度 (用m,n表示 ) 解 (1)证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(0,m),B(n,0) D为AB的中点, D n 2 , m 2 , |CD uuu r | 1 2 n 2 m2,|AB uuu r | m2n2, |CD uuu r | 1 2 |AB uuu r | ,即CD 1 2AB. (2)E为CD的中点,E n 4, m 4 , 设F(x,0),则AE uuu r n
6、 4, 3 4m ,AF uuu r (x,m) A,E,F三点共线, AF uuu r AE uuu r . 即(x,m) n 4, 3 4m . 则 x n 4 , m 3 4m , 故 4 3,即 x n 3, F n 3,0 . |AF uuu r | 1 3 n2 9m2,即AF 1 3 n29m 2. 类题通法 利用向量法解决长度问题 向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解,一是利用图形特点选择基底,向 向量的数量积转化,用公式 |a| 2 a 2 求解; 二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式: 若a(x,y),则 |a| x2y2. 活学活用 如图,平行四边形AB
7、CD中,已知AD 1,AB2, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对角线BD 2,求对角线AC的长 答案:6 向量在物理中的应用 例 3 在水流速度为43 km/h 的河水中,一艘船以12 km/h 的实际航行速度垂直于对 岸行驶,求这艘船的航行速度的大小与方向 解 如图所示,设AB uuu r 表示水流速度,AC uuu r 表示船垂直于对岸行驶的 速度,以AB uuu r 为一边,AC uuu r 为一对角线作?ABCD,则AD uuu r 就是船的航行速 度 |AB uuu r | 43,|AC uuu r | 12, |AD uuu r | |BC uuu r | 83, ta
8、nACB 43 12 3 3 , CADACB30,BAD120. 即船的航行速度为83 km/h ,方向与水流方向的夹角为120 . 类题通法 利用向量法解决物理问题的步骤 (1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题; (2)建立以向量为主体的数学模型; (3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型; (4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题 活学活用 已知力F(斜向上 )与水平方向的夹角为30,大小为 50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数0.02 的水平面上运动了20 m求力F和摩擦力f所做的功分别为多 少 (g取 10 m/s 2) 答案:F和f所做的功
9、分别为5003 J和 22 J 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8.平面向量中的三角形“四心”问题 典例 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满 足OP uuu r OA uuu r (AB uuu r AC uuu r ),(0, ),则点P的轨迹一定通过ABC的_心 解析 由原等式得OP uuu r OA uuu r (AB uuu r AC uuu r ),根据平行四边形法则,知AB uuu r AC uuu r 是 ABC的中线所对应向量的2 倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心 答案 重 多维探究 探求动点轨迹经过某点,只要确定其轨迹与三角形中
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