高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修03.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.2.1 第 2 课时圆的一般方程 1了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和半径(易错点 ) 2会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一般方程解决简单问题(重点、难 点) 基础初探 教材整理圆的一般方程的定义 阅读教材 P109,完成下列问题 1圆的一般方程的定义 (1)当D2E24F0 时,方程x2y2DxEyF0 叫做圆的一般方程,其圆心为 D 2 , E 2 ,半径为 1 2 D2E 24F. (2)当D 2 E24F0 时,方程x2y2DxEyF 0表示点 D 2 , E 2 . (3)当D 2 E24F0),则其位置关系如下 表
2、: 位置关系代数关系 点M在圆外x20y20Dx0Ey0F0 点M在圆上x20y20Dx0Ey0F 0 点M在圆内x20y20Dx0Ey0F0.() 2圆x2y22x4y30 化为标准形式为_ 【解析】由x2y22x4y30,得 (x 1)2(y2)22. 故圆的标准形式为(x1)2(y2)22. 【答案】(x1)2(y2)22 3方程x2y24x2y5m0 表示圆的条件是_ 【解析】由题意可知,16(2) 220m0,解得 m1. 【答案】(, 1) 小组合作型 二元二次方程的曲线与圆的关系 下列方程能否表示圆?若能,求出圆心坐标和半径 (1)2x2y27x 50; (2)x22xyy26x
3、7y0; (3)x2y22x4y100; (4)2x22y24y0; (5)ax 2 ay 24(a 1)x4y0(a0) 【精彩点拨】根据二元二次方程表示圆的条件判断 【自主解答】(1)AB,不能表示圆 (2)xy前的系数不等于0,不能表示圆 (3)D 2 E2 4F(2)2(4)2 4100,原方程表示圆, 此时圆心坐标为 2a1 a , 2 a , 半径r 2a22a2 |a| . 法二:a0,原方程可化为 x 2 y 24 a1 a x 4 ay0. D 2E24F16 a 1 2 a 2 16 a 2 16a 1 216 a 2 0, 原方程表示圆, 此时圆心坐标为 2a1 a ,
4、2 a , 半径r 2a22a2 |a| . 形如x2y2DxEyF0 的二元二次方程,判定其是否表示圆时有如下两种方法: (1)由圆的一般方程的定义判断D 2 E 24F 是否为正若D2E 24F0, 则方程表示圆, 否则不表示圆 (2)将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示 圆 再练一题 1讨论方程x2y22ay10(aR)表示曲线的形状 【解】当a1 时,此方程表示的曲线是圆心为(0,a),半径为a21的圆; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当a 1 时,此方程表示的曲线是一个点,坐标为(0,a); 当 10) 此圆过A,B,C三点, 123
5、2 D3EF0, 1 2 1 2D EF0, 3 2523D5E F0, 解得 D4, E 4, F 2. 圆的方程为x2y24x4y20. 法二:设圆的方程为(xa)2(yb)2r2, 则 1a 2 3b 2 r2, 1a 2 1b 2r2, 3a 2 5b 2 r2, ,得 a2b20, 2ab60, 解得a 2,b2. r210. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 圆的方程为(x2)2(y2)210. 即圆的一般式方程为x2y24x4y 20. 法三:AB的中垂线方程为y1 1 2 (x0), BC的中垂线方程为y2 1 3(x2), 联立解得圆心坐标为(2,2) 设圆的半径为r
6、,则r2 (1 2)2(32)210, 圆的方程为(x2)2(y2)210, 即圆的一般式方程为x2y24x4y 20. 法四:由于kAB 13 112, kAC 53 31 1 2, kABkAC 1,ABAC, ABC是以A为直角的直角三角形, 外接圆圆心为BC的中点,即 (2,2), 半径r 1 2| BC| 10, 圆的方程为(x2)2(y2)210. 即圆的一般式方程为x2y24x4y 20. (2)M(1,2), 1 2224 142 2 10, 点N(4,5)在圆外 Q(2,3), 2 2324 243 270, 点Q(2,3)在圆外 本题法一、法二中采用了待定系数法用待定系数法
7、求圆的方程时: (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数 法求出常数D,E,F. 法三则是充分利用了圆的性质:“弦的中垂线过圆心” 通过求两条弦的中垂线的交点求 出圆心, 再求出半径后写出圆的标准方程,再将标准方程化成一般方程圆的标准方程和一 般方程有如下关系: (1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2,可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几 何特征明显 (2)由圆的一
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