高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案含解析新人教A版选修.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 21.1 合情推理 归纳推理 提出问题 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME -7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如 图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1A1A2A2A3A7A81,如果把图乙 中的直角三角形依此规律继续作下去,记OA1,OA2,OAn的长度构成数列an 问题 1:试计算a1,a2,a3,a4的值 提示:由图知:a1OA11, a2OA2OA 2 1A1A 2 21 212 2, a3OA3OA 2 2A2A 2 32 212 3, a4OA4OA 2 3A3A 2 43 212 42. 问题 2:由问题1中的结果,你
2、能猜想出数列an的通项公式an吗? 提示:能猜想出ann(n N *) 问题 3:直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180,你能猜想出什么 结论? 提示:所有三角形的内角和都是180. 问题 4:以上两个推理有什么共同特点? 提示:都是由个别事实推出一般结论 导入新知 1归纳推理的定义 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理 2归纳推理的特征 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 化解疑难 归纳推理的特点 (1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质
3、,结论是否正确,还需经过逻辑证明和实践 检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具 (2)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推广的一般性结论也就越 可靠 . 类比推理和合情推理 提出问题 问题 1:在三角形中,任意两边之和大于第三边,那么,在四面体中,各个面的面积之 间有什么关系? 提示:四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 问题2:三角形的面积等于底边与高乘积的 1 2,那么在四面体中,如何表示四面体的体 积? 提示:四面体的体积等于底面积与高乘积的 1 3. 问题 3:以上两个推理有什么共同特点? 提示:根据三角形的特征,推出四面体的特征 问题 4:以上两个推理是
4、归纳推理吗? 提示:不是归纳推理是从特殊到一般的推理,而以上两个推理是从特殊到特殊的推理 导入新知 1类比推理的定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 这些特征的推理,称为类比推理 2类比推理的特征 类比推理是由特殊到特殊的推理 3合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、 比较、联想,再进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理,它们统称为合情推理 化解疑难 对类比推理的定义的理解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)类比推理是两类对象特征之间的推理 (2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的,而是相互联系和相互制约的如
5、果两个对 象有些性质相似或相同,那么它们另一些性质也可能相似或相同 (3)在数学中,我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发,通过类比提出新问 题和获得新发现 数、式中的归纳推理 例 1 已知数列 an的前n项和为Sn,a1 2 3,且 Sn 1 Sn2a n(n2),计算 S1,S2, S3,S4,并猜想Sn的表达式 解 当n1 时,S1a1 2 3 ; 当n2 时, 1 S2 2 S1 4 3, 所以S2 3 4; 当n3 时, 1 S3 2 S2 5 4, 所以S3 4 5; 当n4 时, 1 S4 2 S3 6 5, 所以S4 5 6. 猜想:Sn n1 n2 ,nN *. 类题通
6、法 归纳推理的一般步骤 归纳推理的思维过程大致是:实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括 两个步骤: (1)通过观察个别对象发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 活学活用 (1)(陕西高考 )观察分析下表中的数据: 多面体面数 (F)顶点数 (V)棱数 (E) 三棱柱569 五棱锥6610 立方体6812 猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是_ (2)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律,则第n(n3)行从左向右数第3个数为 _ 解析:
7、(1)观察表中数据,并计算FV分别为 11,12,14 ,又其对应E分别为 9,10,12 , 容易观察并猜想FVE2. (2)前(n1)行共有正整数 12 (n1)个,即 n2n 2 个,因此第n行第 3 个数是全体 正整数中第 n2n 2 3 个,即为 n2n6 2 . 答案: (1)FVE2 (2)n 2 n 6 2 图形中的归纳推理 例 2 (1)有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图 案中有菱形纹的正六边形的个数是( ) A 26 B31 C32 D 36 (2)把 1,3,6,10,15,21 ,这些数叫做三角形数,这是因为个数等于这些数目的点可以分别
8、排成一个正三角形(如下图 ),则第七个三角形数是_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析 (1)法一:有菱形纹的正六边形个数如下表: 图案123 个数61116 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以 5 为公差的等差 数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(6 1) 31. 法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6 个有纹正六边形围绕(图案 1)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形 之间有一块“公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:6 5(61)31.故选 B
9、. (2)第七个三角形数为12 3456728. 答案: (1)B (2)28 类题通法 解决图形中归纳推理的方法 解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手: (1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关系 (2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发生一次变化后,与上一次比较, 数值发生了怎样的变化 活学活用 某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹 角为120;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 1 3的 线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120,依此规律得到n级分形图 n级分形图中共有_条线段 解析:
10、分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题图知,一级分形图有3(323)条线段, 二级分形图有9(3 2 23)条线段, 三级分形图中有21(3233)条线段, 按此规律n级分形图中的线段条数an32 n3. 答案: 32 n3 类比推理 例 3 设等差数列 an 的前n项和为Sn,则S4,S8S4,S12S8,S16S12成等差数列, 类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4, _,_,T 16 T12成等 比数列 解析 由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积 商有关, 因此当等差数列依次每4 项之和
11、仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4 项的积 成等比数列下面证明该结论的正确性: 设等比数列 bn的公比为q,首项为b1, 则T4b41q6,T8b81q1 2 7b81q 28, T12b121q1 2 11b121q66, T16b16 1q 1 2 15 b16 1q 120, T8 T4 b 4 1q 22,T12 T8 b41q38, T16 T12 b4 1q 54, 即 T8 T4 2T12 T8 T4, T12 T8 2T8 T4 T16 T12, 故T4, T8 T4, T12 T8 , T16 T12成等比数列 答案: T8 T4 T12 T8 类题通法 类比推理的一般步
12、骤 类比推理的思维过程大致是:观察、比较联想、类推猜测新的结论 该过程包括两个步骤: (1)找出两类对象之间的相似性或一致性; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质,得出一个明确的命题(猜想 ) 活学活用 如图所示,在ABC中,abcos Cccos B,其 中a,b,c分别为角A,B,C的对边,写出对空间四面体性质的猜想 解:如图所示, 在四面体P-ABC中,S1,S2,S3,S分别表示PAB, PBC,PCA,ABC的面积, ,依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小 猜想SS1cos S2cos S3cos . 1
13、.从平面到空间的类比 典例 三角形与四面体有下列相似性质: (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成 的最简单的封闭图形 (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成 的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的 图形 通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,并填写下表: 三角形四面体 三角形的两边之和大于第三边 三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心 解 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角
14、形的边对应四面体的面,即平 面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点 的三角形 ),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球具 体见下表: 三角形四面体 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三角形的两边之和大于第三边 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的 面积 三角形的中位线的长等于第三边长的一半, 且平行于第三边 四面体的中截面的面积等于第四个面的面积 的 1 4 ,且平行于第四个面 三角形的三条内角平分线交于一点,且这个 点是三角形内切圆的圆心 四面体的六个二面角的平分面交于一点,且 这个点是四面体内切球的球心 多维探究
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