高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教A版选修11.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 22.1 综合法和分析法 综合法 提出问题 阅读下面证明过程,回答问题 求证:是函数f(x)sin 2x 4 的一个周期 证明:因为f(x )sin 2x 4 sin 2x2 4 sin 2x 4 f(x),所以由周期 函数的定义可知,是函数f(x)sin 2x 4 的一个周期 问题 1:本题的条件和结论各是什么? 提示:条件:f(x)sin 2x 4 ;结论:是f(x)的一个周期 问题 2:本题的证明顺序是什么? 提示:从已知利用诱导公式到待证结论 导入新知 1综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等, 经过一系列的推理论证,最后推导
2、出所 要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 2综合法的框图表示 P?Q1Q1?Q2Q2?Q3Qn?Q (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示所要证明的结论) 化解疑难 综合法的特点 (1)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条 件 (2)综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,通过演绎推理,一 步一步完成命题的证明. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 分析法 提出问题 阅读下面证明过程,回答问题 求证:67225. 证明:要证原不等式成立,只需证(67)2(225)2,即证 242 240,该式 显然成立,因此原不等式
3、成立 问题 1:本题证明从哪里开始? 提示:从结论开始 问题 2:证明思路是什么? 提示:寻求每一步成立的充分条件 导入新知 1分析法的定义 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析 法 2分析法的框图表示 Q?P1P1?P2P2?P3 得到一个明显 成立的条件 化解疑难 分析法的特点 (1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知” ,其逐步推理实际上是寻 找使结论成立的充分条件 (2)分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公 理
4、、定理等 综合法的应用 例 1 已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2c 2) b(c2a 2) c(a 2 b2)6abc. 证明 a,b,c是正数,b2c2 2bc, a(b2c2)2abc. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 同理,b(c2a 2)2abc , c(a2b2)2abc. a,b,c不全相等, b2c22bc,c2a 22ca ,a 2b22ab三式中不能同时取到“” 式相加得 a(b2c2)b(c 2 a 2) c(a 2 b2)6abc. 类题通法 综合法的证明步骤 (1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等; (2)
5、转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程 特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程 活学活用 已知a0,b0,且ab1,求证: 4 a 1 b9. 证明:a0,b0,ab1, 4 a 1 b 4ab a ab b 4 4b a a b1 5 4b a a b52 4b a a b54 9. 当且仅当 4b a a b, 即a 2b时“”成立. 分析法的应用 例 2 设a,b为实数,求证a 2 b2 2 2 (ab) 证明 当ab0 时,a 2 b20, a 2 b2 2 2 (ab)成立 当ab0 时, 用分析法证明如下: 要证a 2 b2 2 2 (ab), 积一时
6、之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 只需证 (a 2b2)2 2 2 ab 2, 即证a2b2 1 2(a 2b22ab ),即证a 2 b22ab. a 2 b22ab对一切实数恒成立, a 2 b2 2 2 (ab)成立 综上所述,不等式得证 类题通法 分析法的证明过程及书写形式 (1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转 化,直到获得一个显而易见的命题即可 (2)书写形式:要证,只需证,即证,然后得到一个明显成立的条件,所 以结论成立 活学活用 在锐角ABC中,求证: tan Atan B1. 证明:要证tan Atan B 1,只需证 sin Asi
7、n B cos Acos B1. A,B均为锐角, cos A0,cos B0. 即证 sin Asin Bcos Acos B, 即 cos Acos Bsin Asin B0, 只需证 cos(AB)0. ABC为锐角三角形, 90AB180, cos(AB)0,因此 tan Atan B1. 综合法和分析法的综合应用 例 3 已知ABC的三个内角A,B,C为等差数列,且a,b,c分别为角A,B,C 的对边,求证:(ab) 1(bc) 13(abc) 1. 证明 法一: (分析法 ) 要证 (ab)1(bc) 13(abc) 1, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即证 1 ab
8、1 bc 3 abc , 只需证 abc ab abc bc 3, 化简,得 c ab a bc1, 即c(bc) (ab)a(ab)(bc), 所以只需证c 2 a 2 b2ac. 因为ABC的三个内角A,B,C成等差数列, 所以B60, 所以 cos B a 2 c2b2 2ac 1 2, 即a 2c2b2ac成立 (ab)1(bc)13(abc) 1成立 法二: (综合法 ) 因为ABC的三内角A,B,C成等差数列, 所以B60. 由余弦定理,有b2c 2 a 22ac cos 60, 所以c2a2acb2, 两边加abbc,得 c(bc)a(ab) (ab)(bc), 两边同时除以(a
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