高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法新人教A版必修3.pdf
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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2.1 数列的概念与简单表示法 第一课时数列的概念与简单表示法 (1)什么是数列?什么叫数列的通项公式? (2)数列的项与项数一样吗? (3)数列与函数有什么关系,数列通项公式与函数解析式有什么联系? 新知初探 1数列的概念 (1)定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列 (2)项:数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列 an的第 1 项(或称为首项 ),a2 称为第 2 项,an称为第n项 (3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,an,简记为 an 点睛 (1)数列中的数是按一定顺序排列的因此,如果组成两个数列的数相同而排列
2、顺序不同,那么它们就是不同的数列例如,数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同 的数列 (2)在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以 重复出现例如:1, 1,1, 1,1,; 2,2,2, . 2数列的分类 分类标准名称含义 按项的个数 有穷数列项数有限的数列 无穷数列项数无限的数列 按项的变化 趋势 递增数列从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列各项相等的数列 摆动数列 从第 2 项起, 有些项大于它的前一项,有些项小于它的 前一项的数列 3数列的通项公式 如
3、果数列 an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点睛 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集 1,2,3,n 为定义域的函数解析式 (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”) (1)数列 1,1,1,是无穷数列( ) (2)数列 1,2,3,4和数列 1,2,4,3是同一个数列( ) (3)有些数列没有通项公式( ) 解析: (1)正确每项都为1的常数列,有无穷多项 (2)错误,虽然都
4、是由1,2,3,4 四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同, 不是同一个数列 (3)正确,某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项 公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式 答案: (1)(2)(3) 2在数列 1,0, 1 9, 1 8, n2 n2 ,中, 0.08是它的 ( ) A第 100项B第 12 项 C第 10项D第 8 项 解析:选 C an n2 n2 ,令 n2 n2 0.08,解得n10 或n 5 2(舍去 ) 3数列的通项公式为an 3n1,n为奇数, 2n2,n为偶数, 则a2a3等于 ( ) A 70 B 28
5、 C20 D 8 解析:选 C 由an 3n1,n为奇数, 2n2,n为偶数, 得a22,a310,所以a2a320. 4在数列1,1,2,3,5,8 ,x,21,34,55,中,x_. 解析:通过观察数列各项的大小关系,发现从第三项起, 每项的值都等于前两项值之和, 因此x 5813. 答案: 13 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数列的概念及分类 典例 下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) A 1, 1 3, 1 3 2, 1 33, Bsin 13,sin 2 13,sin 3 13, sin 4 13 , C 1, 1 2, 1 3, 1 4, D 1,2,3,4,
6、 30 解析 数列1, 1 3, 1 3 2, 1 33,是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列 sin 13,sin 2 13,sin 3 13, sin 4 13,是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列; 数列 1, 1 2, 1 3, 1 4,是无穷数列,也是递增数列;数列 1,2,3,4,30 是递增数列, 但不是无穷数列 答案 C 1有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列是有限项还是无限项若数列 含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列 2数列单调性的判断 判断数列的单调性,则需要从第2 项起, 观察每一项与它的前一项的大小关系,
7、若满足 anan 1,则是递减数列;若满足anan1,则是常数列;若 an与an1的大小不确定时,则是摆动数列 活学活用 给出以下数列: 1, 1,1, 1,; 2,4,6,8, 1 000; 8,8,8,8,; 0.8,0.8 2,0.83,0.84, 0.810. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 其中, 有穷数列为 _;无穷数列为 _;递增数列为 _;递减数列为 _;摆动数列为 _;常数列为 _(填序号 ) 解析:有穷数列为;无穷数列为;递增数列为;递减数列为;摆动数列为 ;常数列为. 答案: 由数列的前几项求通项公式 典例 (1)数列 3 5, 1 2, 5 11, 3 7,的
8、一个通项公式是 _ (2)根据以下数列的前4 项写出数列的一个通项公式 1 24, 1 35, 1 46, 1 5 7,; 3,7, 15,31,; 2,6,2,6, . 解析 (1)数列可写为: 3 5, 4 8, 5 11, 6 14,分子满足: 3 12,422,53 2,64 2, 分母满足: 5312,8322,1133 2,14 342, 故通项公式为an n2 3n2. 答案 an n2 3n2 (2)解:均是分式且分子均为1,分母均是两因数的积,第一个因数是项数加上1,第 二个因数比第一个因数大2, an 1 n 1n3 . 正负相间,且负号在奇数项,故可用(1) n 来表示符
9、号,各项的绝对值恰是2 的整数 次幂减 1, an(1)n(2n11) 为摆动数列,一般求两数的平均数 26 2 4,而2 42,6 42,中间符号用(1)n 来表示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 an4(1)n2 或an 2,n是奇数, 6,n是偶数 . 由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列,分子、分母分别求通项,较复杂的还要考虑分子、分母的关系 (2)若n和n1 项正负交错,那么符号用(1)n或(1)n 1或(1)n1来调控 (3)熟悉一些常见数列的通项公式 (4)对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结 构形式加以变形,将数
10、列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差” “积”“商”后 再进行归纳 活学活用 写出下列数列的一个通项公式: (1)0,3,8,15,24 ,; (2)1, 3,5, 7,9,; (3)1 1 2,2 2 3,3 3 4,4 4 5,; (4)1,11,111,1 111 , . 解:(1)观察数列中的数,可以看到011,3 41,891,15161,24251, 所以它的一个通项公式是ann21. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9 ,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数 项为负,所以它的一个通项公式为an(1) n 1(2n1) (3)此数列的整数部分1,2,3,4,
11、恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为 n n1,故所 求的数列的一个通项公式为ann n n1 n 2 2n n1 . (4)原数列的各项可变为 1 99, 1 999, 1 9999, 1 99 999,易知数列 9,99,999,9 999 , 的一个通项公式为an10 n1.所以原数列的一个通项公式为 an 1 9(10 n1). 判定数列中项的问题 典例 已知数列 an的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2 倍 (1)求这个数列的第4 项与第 25 项; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)253和 153是不是这个数列中的项?如果是,是第几项? 解 (1)由题设条件
12、,知ann2n. a442410,a2525 22555. (2)假设 253是这个数列中的项,则253n2n,解得n121. 253 是这个数列的第 121项 假设 153 是这个数列中的项,则153n2n,解得n72 1 4,这与 n是正整数矛盾, 153不是这个数列中的项 已知数列 an的通项公式, 判断某一个数是否是数列an的项, 即令通项公式等于该数, 解关于n的方程,若解得n为正整数k,则该数为数列an的第k项,若关于n的方程无解 或有解且为非正整数解则该数不是数列an 中的项 活学活用 数列 1, 1 2, 2 1, 1 3, 2 2, 3 1, 1 4, 2 3, 3 2, 4
13、 1,则 8 9是该数列的 ( ) A第 127项B第 128项 C第 129项D第 130项 解析:选 B 把该数列的第一项1 写成 1 1,再将该数列分组,第一组一项: 1 1;第二组两 项: 1 2, 2 1;第三组三项: 1 3, 2 2 , 3 1;第四组四项: 1 4, 2 3, 3 2, 4 1;容易发现:每组中每个分 数的分子、分母之和均为该组序号加1,且每组的分子从1 开始逐一增加,因此 8 9应位于第 十六组中第八位由1 2 158128,得 8 9是该数列的第 128项 层级一学业水平达标 1有下面四个结论: 数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数;
14、数列的项数一定是无限的; 数列的通项公式的形式是唯一的; 数列 1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ,不存在通项公式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 其中正确的是( ) ABCD 解析:选 A 结合数列的定义与函数的概念可知,正确; 有穷数列的项数就是有限的, 因此错误;数列的通项公式的形式不一定唯一,错误;数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ,存在 通项公式,错误故选A. 2下列说法正确的是( ) A数列 1,3,5,7与数集 1,3,5,7 是一样的 B数列 1,2,3与数列 3,2,1是相同的 C数列1 1 n 是递增数列 D数列1 1 n n 是摆动数列
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